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浙江省杭州二中2012-2013学年高二下学期期中数学文试题


杭州二中 2012 学年第二学期高二年级期中考试数学试卷(文科)
注意:本试卷不得使用计算器 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.若复数 z ?

2?i 的共轭复数为 1? i 3?i 3?i A. B. 2 2

C.

1 ? 3i 2

D.

3 ? 3i 2

2.设 f 0 ( x) ? cos x ,且对任意的 n ? N ,都有 fn?1 ( x) ? fn' ( x) ,则 f 2013 ( x) ? A.

cos x

B. sin x

C. ? sin x

D. ? cos x

3. 设函数 y ? f ( x), x ? [a, b] ,其导函数的图象如右图所示,则函数 y ? f (x) 的减区间是 A. ( x1 , x3 ) 4.函数 f ( x) ? B. ( x2 , x4 ) C. ( x4 , x6 ) D. ( x5 , x6 )

cos x 在 (0,1) 处的切线方程是 1? x

A. x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0

B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

5. 有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f ( x) ,若 f ?( x0) ?0 ,则 x ? x0 是函数 f ( x) 的极值点.因为

f ( x) ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以 x ? 0 是 f ( x) ? x3 的极值点.以上推理中
A.大前提错误 B. 小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确

6.设 a, b, c ? (0,??) ,则三数 a ? A.都不小于 2 C.至少有一个不小 2 7.若函数 f ( x) ? mx ? A. [?

1 1 1 ,b ? ,c ? 中 a b c
B.都不大于 2 D.至少有一个不大于 2

x 在区间 [0,1] 单调递增,则 m 的取值范围为
B. [ ,?? )

1 ,?? ) 2

1 2

C. [?2,??)

D. [2,??)

8.设 a ? 17 ? 15 , b ? A. a ? b ? c

21? 19 , c ?
B. b ? a ? c

5 ,则 a, b, c 的大小关系为 10
C. c ? a ? b D. c ? b ? a

9.设函数 f ( x) ? a ? x ? ln x 有两个零点,则 a 的范围为
第1页

A. [1,??)

B. (1,??)

C. (??,?1)

D. (??,1]

10.若函数 f (x) 满足 f ( x) ? xf ' ( x) ? 0 ,设 a ? A. a ? 0 ? b B. b ? 0 ? a

f (1) , b ? f (2) ,则 a, b 与 0 的大小关系为 2
C. a ? b ? 0 D. b ? a ? 0

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 观察下列式子: 1 ? ln 2 , 1 ? 归纳出第 n 个式子为

1 1 1 1 1 1 ? ln 3 , 1 ? ? ? ln 4 , 1 ? ? ? ? ln 5 ,…… ,则可以 2 2 3 2 3 4
.

12.阅读如图所示的知识结构图,“求简单函数的导数”的“上位”要 素有________个. 13.在复平面内, 复数 1 + i 与 2i 分别对应向量 OA 和 OB , 其中 O 为坐标原点,则向量 AB 所对应的复数是 .

14. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? x ? 1 在 x ? 1 处时取得极值为 0,则 ab ?



15.在平面内,三角形的面积为 s,周长为 c,则它的内切圆的半径 r ?

2s .在空间中,三棱锥的体积为 V, c

表面积为 S,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径 R= .

2 16.函数 F ( x) ? ( x ?

1 2 1 3 ) ? ( x ? 2 ) 2 在区间 (0, ] 上的最小值为 x 2 x

.

17. 若 对 任 意 的 x ?[0,1] , 关 于 x 的 不 等 式 e x (e 2 x ? a 2 ) ? 2ae2 x ? 1 恒 成 立 , 则 是 .

a 的取值范围

杭州二中 2012 学年第二学期高二年级期中考试数学答题卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
第2页

项是符合题目要求的. 题号 答案 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在题中的横线上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17. 三、解答题:本大题共 4 小题.共 42 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 8 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 9 x ? m(m ? R) .
3 2

(Ⅰ)求 f (x) 的极值(用含 m 的式子表示); (Ⅱ)若 f (x) 的图象与 x 轴有 3 个不同交点,求 m 的取值范围.

19. (本题满分 8 分)设 a ? 0, b ? 0 ,求证:

a?b a2 ? b2 a ? b . ? ab ? ? 2 2 2

第3页

20. (本题满分 12 分) 如图, ?ABC http://www. .com/中, 在 四边形 ACDE BC ? 1, AB ? 2, ?ABC ? 60 ,
?

为矩形,且平面 ACDE ? 平面 ABC http://www. .com/, DC ? 1 http://www. .com/http://www. .com/. (I)求证: BC ? http://www. .com/平面 ACDE http://www. .com/; (II)若点 M 为线段 ED 的中点,求平面 MAB http://www. .com/与平面 BCD http://www. .com/所成锐
第4页

二面角的正切值.

D M E

C

A

B

21. (本题满分 14 分)设函数 f ( x ) ?

1 mx 2 ? 2 x ? ln x . 2

(Ⅰ)判断 x ? 1 能否为函数 f ( x ) 的极值点,并说明理由;

第5页

(Ⅱ)若 m ? 0 ,求 f (x) 的单调递增区间; (Ⅲ)若存在 m ? [?4,?1) ,使得定义在 [1, t ] 上的函数 g ( x) ? f ( x) ? ln(x ? 1) ? x 3 在 x ? 1 处取得最大 值,求实数 t 的最大值.

杭州二中 2012 学年第二学期高二年级期中考试数学试卷(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 题号 1 2 3 4 5
第6页

6

7

8

9

10

答案

A

C

B

A

A

C

A

D

C

D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在题中的横线上. 11. 1 ?

1 1 ? ? ? ? ln( n ? 1) 2 n
?1 ? i

12.

3

13.

14.

-15

15.

3V S

16.

8

17.

0?a?

33 2 2

三、解答题:本大题共 4 小题.共 42 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 2 18.解: (Ⅰ)令 f ' ( x) ? 3x ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 2 x ? 3) ? 0 ,得: x ? 1 或-3.

当 x ? 1 或 x ? ?3 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 1 ? x ? 3 时, f ' ( x) ? 0 ; 故 f (x) 在区间 (1,??) , (??,?3) 单调递增;在区间 (?3,1) 单调递减…………..3’ 于是 f (x) 的极大值 f (?3) ? 27 ? m ,极小值为 f (1) ? ?5 ? m ………………...1’

(Ⅱ)令 ?

?27 ? m ? 0 ,………………………………………………………………3’ ?? 5 ? m ? 0 a?b a2 ? b2 a ? b ? ab ? ? 2 2 2

得 ? 27 ? m ? 5 ………………………………………………………………………1’ 19.(Ⅰ)证法一:要证:

即证: a ? b ?
2 2

a2 ? b2 ? ab 2 a2 ? b2 a 2 ? b2 ? ab ? 2 ab ? 2 2

即证: a ? b ? 2ab ? 即证:

a2 ? b2 a2 ? b2 ? ab ? 2 ab ? 2 2

由基本不等式,这显然成立,故原不等式得证………………… ……………………….8’

第7页

a?b a2 ? b2 a ? b ? ab ? ? 2 2 2 a ?b 2 a?b 2 ( ) ( ) 2 2 ? 即证: a?b a2 ? b2 a ? b ? ab ? 2 2 2
证法二:要证: 由基本不等式 ab ? …………..8’ 20. 如图,在 ?ABC http://www. .com/中, BC ? 1, AB ? 2, ?ABC ? 60? ,四边形 ACDE 为矩形,且平 面 ACDE ? 平面 ABC http://www. .com/, DC ? 1 http://www. .com/http://www. .com/. (I)求证: BC ? http://www. .com/平面 ACDE http://www. .com/; (II)若点 M 为线段 ED 的中点,求平面 MAB http://www. .com/与平面 BCD http://www. .com/所成锐 二面角的正切值. (I) 证明: 由 BC ? 1, AB ? 2, ?ABC ? 60? ,得 BC ? AC , 又平面 ACDE ? 平面 ABC ,平面 ACDE ? 平面
M E D

a?b a2 ? b2 ,可得上式成立,故原不等式得证. … ? 2 2

ABC ? AC , ? 平面 ABC , BC 于是 ACDE ? 平
ABC ……………………………………..5’


C

(II)解:(综合几何法)延长 CD、AM 交于一点 F,连 FB,过 C 作 CG ? FB 于点 G,连 AG. 由于 BC ? AC , DC ? AC ,故 AC ? 平面 BCF , 于是 AC ? FB ,又 CG ? FB ,故 AG ? FB ,于是 ?CGA 为所求角………4’ 由 M 是 AF 的中点,于是 CF=2,故 CG ?

A

B

F

BC ? CF 2 ? ,……………….2 BF 5
E

D M G

于是在 ?ACG 中, tan?CGA ?

AC 15 …………………………………..1’ ? CG 2
A

C

(向量法)如图建立平面直角坐标系,设所求角为 ? , 则 C (0,0,0) , M (

B

3 ,0,1) , A( 3,0,0) , B(0,1,0) , 2
M

z

D

AB ? (? 3,1,0) , AM ? (?
设 平 面

3 ,0,1) , 2
, 于 是
x

E

C

A M B 法 向 量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 的
第8页

A

B

y

n1 ? AB ? 0, n1 ? AM ? 0 ,
即 ? 3x1 ? y1 ? 0,?

3 3 ,于是 x1 ? z1 ? 0 ,令 x1 ? 1 ,则 y1 ? 3 , z1 ? 2 2

n1 ? (1, 3 ,

3 ) .……………………………………………………………………………3’ 2

易得平面 DCB 的法向量 n2 ? (1,0,0) ,………………………………………………….3’ 于是 cos? ?

n1 ? n2 | n1 | ?| n 2 |

?

2 19

,于是 tan? ??

15 ………………………………….1’ 2

21. (Ⅰ) f ' ( x) ? mx ? 2 ? 当 m ? 1 时, f ' ( x) ?

1 ,令 f ' (1) ? 0 ,得 m ? 1 ;………………………………2’ x

( x ? 1) 2 ?0, x ?1

于是 f (x) 在 (0,??) 单调递, x ? 1 不是 f (x) 的极小值点……… …………….2’

m x2 ? 2 x ? 1 (Ⅱ) f ' ( x) ? , x
当 m ? 0 时, f (x) 在 (0, ) 上单调递增;…………………….1’ 当 0 ? m ? 1 时, f (x) 在 (0,

1 2

1? 1? m 1? 1? m ) 上单调递增, ( ,??) 上单调递增;………..1’ m m

当 m ? 1 时, f (x) 在 (0,??) 单调递……………………………………………………………………….2’ (Ⅲ) g ( x) ? f ( x) ? ln x ? x ? x ?
3 3

1 2 mx ? 2 x . 2

由题意,当 x ? [1, t ] 时, g ( x) ? g (1) 恒成立………………………………………………………..1’ 易 得 g ( x) ? g (1) ? ( x ? 1)[ x ? (1 ?
2

1 1 1 1 m) x ? m ? 1] ? 0 , 令 h( x) ? x 2 ? (1 ? m) x ? m ? 1 , 因 为 2 2 2 2

h(x) 必然在端点处取得最大值,即 h(t ) ? 0 ………………………………………………………2’
即 t ? (1 ?
2

1 1 ? t2 ? t ?1 1 ? 13 m)t ? m ? 1 ? 0 , 即 ? ?2 , 解 得 , 1 ? t ? ,所以 t 的最大值为 2 2 t ?1 2

1? 13 ……………………………………………………………………………..1’ 2

第9页


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