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2013-2014学年高中数学人教A版必修四同步辅导与检测:1.4.1正弦函数、余弦函数的图象


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三 角 函 数

1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

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1.理解:利用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象. 2.掌握“五点法”作图的方法,能熟练用“五点法” 作出正弦函数、余弦函数的图象.

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基础梳理 一、正弦函数、余弦函数的图象 1.正弦函数、余弦函数的概念:若对于任意给定的一个 实数x,都有唯一确定的值sin x(或cos x)与之对应,则称由这个 对应法则所确定的函数________(或________)为正弦函数(或余 弦函数),其定义域是________.

2.正弦函数和余弦函数的图象分别叫做________和 ________:
(1)利用单位圆中的正弦线画函数y=sin x的图象,其过程 可以概括为以下两点: 首先是等分单位圆、等分区间[0,2π]和正弦线的平移,进 而得到函数y=sin x在区间[0,2π]上的图象. 一、1.y=sin x(或y=cos x) R 2.正弦曲线 金品质?高追求 我们让你更放心! 余弦曲线

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其次是利用终边相同的角有相同的正弦值,推知函数y

=sin x在区间[2kπ,2(k+1)π],(k∈Z,k≠0)上的图象与函数y
=sin x在区间[0,2π]上的图象形状完全一样,从而可以通过左 右平移得到正弦函数y=sin x,(x∈R)的图象.

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(2)用同样的方法可以画出余弦函数y=cos x,(x∈R)的 图象.

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思考应用 1.你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过 适当的图形变换得到余弦函数的图象?

π 解析:根据诱导公式cos x=sin ?x+ ? ,可以把正弦函 ? 2? 数y=sin x,(x∈R)的图象向左平移 π 单位即得余弦函数y=
cos x,(x∈R)的图象.作简图如下:

2

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二、五点法作图 1.画正弦函数和余弦函数在[0,2π]上的简图:

五点法 在所作图形的精确度要求不太高时,我们常用“ ______” 作简图:
(1)对正弦函数y=sin x,取五点:A(0,0),B ?π,1? ,C(π,
?3π, ? ,0).这五点描出后,正弦函数y= sin E(2π ,- 1 ?2 ? x,x∈[0,2π]的图象就基本确定了.

?2

?

0),D

? , 0 C(π,-1),D ? ,E(2π,1).这五点描出后,余弦函数y ?2 ? =cos x,x∈[0,2π]的图象也就基本确定了.

π ? (2)对余弦函数y=cos x,取五点:A(0,1),B ,0? , 2 ? ? 3π

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思考应用 2.五点作图的基本步骤有哪些? 解析:五点作图法必须有三步:列表、描点、连线.连 线时要注意曲线的光滑和凸凹.

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自测自评 1.下列各式中,值为-1的是( )

A.sin

π 2

B.cos 3π

2

C.sin π

D.cos π

1.故选D.

π 解析:因为sin =1;cos 3π=0;sin π=0;cos π=- 2 2
答案: D

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2.以下对正弦函数 y=sin x 的图象描述不正确的是( C ) A.在 x∈[2kπ,2(k+1)π](k∈Z)上的图象形状相同,只 是位置不同 B.介于直线 y=1 与直线 y=-1 之间 C.关于 x 轴对称 D.与 y 轴仅一个交点

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3.函数 y= 2sin x+1的定义域为( A ) ? π 7π? ? A.?2kπ-6,2kπ+ 6 ? ?,k∈Z ? ?
? π 7π? ? B.?kπ-6,kπ+ 6 ? ?,k∈Z ? ? ? 7 π? ? C.?2kπ-6π,2kπ+6? ?,k∈Z ? ? ? 7 π? ? D.?kπ-6,kπ+6? ?,k∈Z ? ?

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用“五点法”作图 用“五点法”作函数y=2-sin x,x∈[0,2π]的简 图.

分析:用“五点法 x,x∈[0,2π] 简图时的五 ?3π ? ?π,1? ”作函数y=sin ,-1 2 ? ? 2 ? ? 个点为:A(0,0),B ,C (π,0) ,D ,E (2π,0).
解析:列表: x u=sin x y=2-u 0 0 2

π 2
1 1

π 0 2

3π 2
-1 3

2π 0 2

描点,并用光滑曲线连接起来.图略. 点评:用“五点法”作图一般是先取函数y=sin x图象上对 返回 应的五个点作为参照. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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跟踪训练

π? ? 1.用“五点法”作函数y=cos ?x-3?
图. 解析: 列表:
u

在一个周期内的简

0

π 2
5π 6
0

π

3π 2



π x=u+ 3
y=cos u

π 3
1

4π 3
-1

11π 6
0

7π 3
1

描点,并用光滑曲线连接起来.图略.
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有关三角函数的定义域 写出不等式sin x≥ 1的解集.

2

分析:解答本题可利用数形结合,分别画出y=sin x
和y=1 的图象,通过图象写出不等式的解集.

1 解析:画出y=sin x,x∈[0,2π]的图象,及y= , 2

2

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π 5 1 由图象知 sin6=sin6π=2, ∴当 x∈[0,2π]时, π 5π 6 ≤x ≤ 6 . 1 ∴不等式 sin x≥2的解集为 π 5π ? ? ?x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z?. 6 6 ? ?
π 5 ? ? 点评:本题易出现解集为 6,6π 的错误,错误的原因 ? ?

是忽视了定义域为R. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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跟踪训练 2.已知x∈(0,2π),在同一坐标系中,画出y=sin x和y

=cos x的图象,并由图象求出使sin x<cos x成立的x的取值
范围是( )
? ? ? π? ? ? ?5π B.?0,4?∪? 4 ,2π? ? ? ? ? ? ?π ? ?5π 3π? ? ? ? , D.?4,π?∪? ?4 2? ? ? ? ? ?π π? ? 5π? ? ? ? A.?4,2?∪?π, 4 ? ? ? ? ? ? ? C.? ?π,2π?

解析:观下图知:sin x<cos x 成立的 x 的取值范围是:
? ? ? π? ? ? ?5π ? 0 , , 2π ∪ ? ? ?,故选 4? ? ? ?4 ?

B.

答案:B
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用图象变换法作简图

作函数 y= 1-cos2x的图象.
分析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然 后作出相应函数的图象.

解析: ∵y= 1-cos2x=|sin x|, ? ?sin x,?2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z? ∴y=? , ? ?-sin x,?π+2kπ<x<2π+2kπ,k∈Z? 作图:略.
点评:画y=|sin x|的图象可分两步完成,第一步先画y =sin x,x∈[0,π]和y=-sin x,x∈[π,2π]的图象,第二步 将得到的图象向左、右平移,即可得到完整的曲线. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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跟踪训练

3.作函数 y= 1-sin x的图象.
解析: ∵y= 1-sin2x=|cos x|, π π ? ? 2 k π - ≤ x ≤ 2 k π + , k ∈ Z cos x , ? 2 2 ? ?

2

∴y=

? π 3π ? ? + 2 k π< x < + 2 k π , k ∈ Z - cos x , ? 2 ?2 ?



作图:略.

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正弦、余弦函数图象的初步应用 x 方程sin x= 的根的个数为( ) 10 A.7 B.8 C.9 D.10
x 3π 解析:当 x=3π 时,y=10=10<1; x 4π 当 x=4π 时,y=10=10>1. x 分别作出函数y=sin x及y= 10 的简图,观察图象知, x 直线y= 10 在y轴右侧与曲线y=sin x有且只有3个交点,又 由对称性可知,在y轴左侧也有3个交点,加上原点O(0,0), 一共有7个交点.答案选A.

答案:A 金品质?高追求 我们让你更放心!

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跟踪训练 4.已知函数y=1+sin x,x∈[0,2π],则该函数图象与 3 直线y= 的交点的个数为 ( ) 2 A.0 B.1 C.2 D.3 解析:分别作出函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象 3 及直线y= 3 ,观察图象知,直线y= 与曲线y=1+ 2 2 sin x,x∈[0,2π]有2个交点,答案选C.

答案:C

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一级训练 1.在同一坐标系中,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y= sin x,x∈[2π,4π]的图象( ) B A.重合 C.关于y轴对称 B.形状相同,位置不同 D.形状不同,位置不同

2.在同一坐标系中,函数y=-cos x的图象与余弦函数 y=cos x的图象( D )

A.只关于x轴对称
C.关于原点、x轴对称 金品质?高追求

B.关于原点对称
D.关于原点、坐标轴对称

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1.画正弦函数、余弦函数的图象只要五个点描出后,

图象的形状就基本确定了,因此,在图象的精确度要求不太
高时,常用五点法作正弦函数和余弦函数的简图. 2.数形结合是重要的数学思想,它能把抽象的数学关 系式转化为形象直观的图形,平时解题应注意运用并熟练掌 握.

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