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比较全的常用数学公式


常用数学公式
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

乘法与因式分解公式 三角不等式 一元二次方程 某些数列的前 n 项和 二项式展开公式 排列组合公式 三角函数公式 导数与微分 不定积分表(基本积分) 的解

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一些初等函数:两个重要极限
空间解析几何和向量代数

多元函数微分法及应用
微分法在几何上的应用 方向导数与梯度 多元函数的极值及其求法 重积分及其应用 柱面坐标和球面坐标 曲线积分 曲面积分 高斯公式 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关 级数收敛法 绝对收敛与条件收敛 幂级数 函数展开成幂级数 一些函数展开成幂级数 欧拉公式 三角级数 傅立叶级数 微分方程的相关概念 一阶线性微分方程 全微分方程 二阶微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法

二阶常系数非齐次线性微分方程
拉普拉斯变化公式 反拉普拉斯变换公式 付立叶变化公式 反付立叶变换公式 Z 变化公式 反 Z 变化公式

概率公式 数学上近似公式 泰勒公式

?

一、乘法与因式分解公式 1.1

1.2

1.4 二、三角不等式 2.1 2.2 2.3 2.4 2.6 三、一元二次方程 的解

3.2(韦达定理)根与系数的关系:

四、某些数列的前 n 项和

4.2

4.3

4.7

4.9 等比数列:An+1/An=q, n 为自然数。 通项公式:An=A1*q^(n-1); 推广式: An=Am·q^(n-m); 求和项 S n ?
a1 (1 ? q n ) 1? q

q ?1

五、二项式展开公式

排列组合 排列数 Pnm ?
n! (n ? m)!

组合数 Pnm ?

n! (n ? m)!*m!

六、三角函数公式

1 两角和公式 6.1 6.2

2 倍角公式 6.5 6.6

3 半角公式

4 和差化积

6.23 sin x ?

2u 1? u2 x 2du ,  x ? cos , u ? tg , dx ? 2 2 2 1? u 1? u 1? u2

6.24 诱导公式: 函数 角A -α 90° -α 90° +α 180° -α 180° +α 270° -α 270° +α 360° -α 360° +α sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα

6.25 正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

·余弦定理: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

6.26 反三角函数性质: arcsin x ?

?
2

? arccosx   arctgx ?

?
2

? arcctgx

七、导数与微分 1 求导与微分法则

2

导数及微分公式

7.21 高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
n

k (uv) ( n ) ? ? C n u ( n?k ) v ( k ) k ?0

? u ( n ) v ? nu ( n?1) v? ?

n(n ? 1) ( n?2) n(n ? 1)?(n ? k ? 1) ( n?k ) ( k ) u v?? ? ? ? u v ? ? ? uv( n ) 2! k!

7.22 中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理:f (b) ? f (a ) ? f ?(? )(b ? a ) f (b) ? f (a ) f ?(? ) 柯西中值定理: ? F (b) ? F (a ) F ?(? ) 当F( x) ? x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
7.23 曲率:

弧微分公式:ds ? 1 ? y?2 dx, 其中y? ? tg? 平均曲率: ? K ?? .?? : 从M点到M?点,切线斜率的倾角变化量;?s:MM ?弧长。 ?s y?? ?? d? M点的曲率:K ? lim ? ? . ?s ? 0 ?s ds (1 ? y?2 )3

直线:K ? 0; 1 半径为a的圆:K ? . a

八、不定积分表(基本积分)

九、定积分的近似计算:

矩形法:f ( x) ? ?
a

b

b?a ( y0 ? y1 ? ? ? y n?1 ) n b?a 1 [ ( y0 ? y n ) ? y1 ? ? ? y n?1 ] n 2 b?a [( y0 ? y n ) ? 2( y 2 ? y 4 ? ? ? y n?2 ) ? 4( y1 ? y3 ? ? ? y n?1 )] 3n

梯形法:f ( x) ? ?
a b

b

抛物线法:f ( x) ? ?
a

十、定积分应用相关公式:

功:W ? F ? s 水压力:F ? p ? A m1m2 , k为引力系数 r2 b 1 函数的平均值:? y f ( x)dx b?a ? a 引力:F ? k 均方根: 1 f 2 (t )dt b?a ? a
b

十一、一些初等函数:两个重要极限
e x ? e?x 双曲正弦 : shx ? 2 x e ? e?x 双曲余弦 : chx ? 2 shx e x ? e ? x 双曲正切 : thx ? ? chx e x ? e ? x arshx ? ln( x ? x 2 ? 1) archx ? ? ln( x ? x 2 ? 1) 1 1? x arthx ? ln 2 1? x

lim

sin x ?1 x 1 lim (1 ? ) x ? e ? 2.7182818284 59045 ... x ?? x
x ?0

空间解析几何和向量代数:

空间2点的距离:d ? M 1 M 2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 向量在轴上的投影: ju AB ? AB ? cos? ,?是 AB与u轴的夹角。 Pr ? ? ? ? Pr ju (a1 ? a2 ) ? Pr ja1 ? Pr ja2 ? ? ? ? a ? b ? a ? b cos? ? a x bx ? a y b y ? a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角: ? ? cos i ? ? ? c ? a ? b ? ax bx j ay by k a x bx ? a y b y ? a z bz a x ? a y ? a z ? b x ? b y ? bz
2 2 2 2 2 2

? ? ? ? ? ? a z , c ? a ? b sin? .例:线速度:v ? w ? r . bz ay by cy az cz ? ? ? bz ? a ? b ? c cos? ,?为锐角时,

ax ? ?? ? ? ? 向量的混合积: b c ] ? (a ? b ) ? c ? bx [a cx 代表平行六面体的体积。

平面的方程: ? 1、点法式:A( x ? x0 ) ? B ( y ? y0 ) ? C ( z ? z 0 ) ? 0,其中n ? { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程:Ax ? By ? Cz ? D ? 0 x y z 3、截距世方程: ? ? ? 1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离:d ? Ax0 ? By0 ? Cz0 ? D A2 ? B 2 ? C 2

? x ? x0 ? mt x ? x0 y ? y 0 z ? z 0 ? ? 空间直线的方程: ? ? ? t , 其中s ? {m, n, p}; 参数方程:y ? y0 ? nt ? m n p ? z ? z ? pt 0 ? 二次曲面: x2 y2 z2 1、椭球面:2 ? 2 ? 2 ? 1 a b c 2 2 x y 2、抛物面: ? ? z(p, q同号) , 2 p 2q 3、双曲面: x2 y2 z 2 单叶双曲面:2 ? 2 ? 2 ? 1 a b c 2 2 x y z2 双叶双曲面:2 ? 2 ? 2 ?(马鞍面) 1 a b c
多元函数微分法及应用

全微分:dz ?

?z ?z ?u ?u ?u dx ? dy   du ? dx ? dy ? dz ?x ?y ?x ?y ?z

全微分的近似计算:?z ? dz ? f x ( x, y )?x ? f y ( x, y ) ?y 多元复合函数的求导法: dz ?z ?u ?z ?v z ? f [u (t ), v(t )]    ? ? ? ?   dt ?u ?t ?v ?t ?z ?z ?u ?z ?v z ? f [u ( x, y ), v( x, y )]    ?   ? ? ? ?x ?u ?x ?v ?x 当u ? u ( x, y ),v ? v( x, y )时, du ? ?u ?u ?v ?v dx ? dy   dv ? dx ? dy  ?x ?y ?x ?y

隐函数的求导公式: F F F dy dy d2y ? ? 隐函数F ( x, y ) ? 0,   ? ? x ,   2 ? (? x )+ (? x ) ? dx Fy ?x Fy ?y Fy dx dx Fy F ?z ?z 隐函数F ( x, y, z ) ? 0,  ? ? x ,   ? ? ?x Fz ?y Fz
?F ? F ( x, y , u , v ) ? 0 ? ( F , G ) ?u 隐函数方程组:    J ? ? ? ?G ? (u , v) ?G ( x, y, u , v) ? 0 ?u ?u 1 ?( F , G) ?v 1 ?( F , G) ?? ?      ? ? ? ?x J ? ( x, v ) ?x J ? (u , x) ?u 1 ?( F , G) ?v 1 ?( F , G) ?? ?      ? ? ? ?y J ? ( y, v) ?y J ? (u , y )
微分法在几何上的应用:

?F ?v ? Fu ?G Gu ?v

Fv Gv

? x ? ? (t ) x?x y ? y0 z ? z 0 ? 空间曲线? y ? ? (t )在点M ( x0 , y0 , z 0 )处的切线方程: 0 ? ? ? ?(t 0 ) ? ?(t 0 ) ? ?(t 0 ) ? z ? ? (t ) ? 在点M处的法平面方程:? ?(t 0 )( x ? x0 ) ? ? ?(t 0 )( y ? y0 ) ? ? ?(t 0 )( z ? z 0 ) ? 0 ? ? Fy Fz Fz Fx Fx ? F ( x, y , z ) ? 0 若空间曲线方程为: , 则切向量T ? { , , ? G y G z Gz G x Gx ?G ( x, y, z ) ? 0 ? 曲面F ( x, y, z ) ? 0上一点M ( x0 , y0 , z 0 ),则: ? 1、过此点的法向量:n ? {Fx ( x0 , y0 , z 0 ), Fy ( x0 , y0 , z 0 ), Fz ( x0 , y0 , z 0 )} x ? x0 y ? y0 z ? z0 3、过此点的法线方程: ? ? Fx ( x0 , y0 , z 0 ) Fy ( x0 , y0 , z 0 ) Fz ( x0 , y0 , z 0 ) Fy Gy }
方向导数与梯度:

2、过此点的切平面方程:Fx ( x0 , y0 , z 0 )( x ? x0 ) ? Fy ( x0 , y0 , z 0 )( y ? y0 ) ? Fz ( x0 , y0 , z 0 )( z ? z 0 ) ? 0

?f ?f ?f 函数z ? f ( x, y )在一点p ( x, y )沿任一方向l的方向导数为: ? cos? ? sin ? ?l ?x ?y 其中?为x轴到方向l的转角。 函数z ? f ( x, y )在一点p ( x, y )的梯度:gradf ( x, y ) ? ?f ? ?f ? i? j ?x ?y 多元函数的极值及其求法: ? ? ?f ? ? 它与方向导数的关系是: ? grad f ( x, y ) ? e ,其中e ? cos? ? i ? sin ? ? j ,为l方向上的 ?l 单位向量。 ?f 是gradf ( x, y )在l上的投影。 ?l

?

设f x ( x0 , y0 ) ? f y ( x0 , y0 ) ? 0,令:f xx ( x0 , y0 ) ? A,  f xy ( x0 , y0 ) ? B,  f yy ( x0 , y0 ) ? C ? ? A ? 0, ( x0 , y0 )为极大值 2 ? ? AC ? B ? 0时, ? A ? 0, ( x0 , y0 )为极小值 ? ? 2 则: AC ? B ? 0时,      无极值 ? ? AC ? B 2 ? 0时,        不确定 ? ? ?
重积分及其应用:

?? f ( x, y)dxdy ? ?? f (r cos? , r sin? )rdrd?
D D?

曲面z ? f ( x, y )的面积A ? ??
D

? ?z ? ? ?z ? 1 ? ? ? ? ? ? dxdy ? ? ? ?x ? ? ?y ?
2

2

M 平面薄片的重心:x ? x ? M

?? x? ( x, y)d?
D

?? ? ( x, y)d?
D D

,   y ?

My M

?

?? y? ( x, y)d?
D

?? ? ( x, y)d?
D D

柱面坐标和球面坐标:

平面薄片的转动惯量:对于x轴I x ? ?? y 2 ? ( x, y )d? ,   对于y轴I y ? ?? x 2 ? ( x, y )d? 平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M (0,0, a ), (a ? 0)的引力:F ? {Fx , Fy , Fz },其中: Fx ? f ??
D

? ( x, y ) xd?
(x2 ? y2 ? a )
3 2 2

,  Fy ? f ??
D

? ( x, y ) yd?
(x2 ? y 2 ? a )
3 2 2

,  Fz ? ? fa ??
D

? ( x, y ) xd?
3

(x2 ? y 2 ? a2 ) 2

? x ? r cos? ? 柱面坐标:y ? r sin? ,     f ( x, y, z ) dxdydz ? ??? F (r ,? , z )rdrd?dz, ? ??? ? ? ? z?z ? 其中:F (r ,? , z ) ? f (r cos? , r sin? , z ) ? x ? r sin ? cos? ? 球面坐标:y ? r sin ? sin? ,  dv ? rd? ? r sin ? ? d? ? dr ? r 2 sin ?drd?d? ? ? z ? r cos? ?

曲线积分:

??? f ( x, y, z )dxdydz ? ??? F (r ,? ,? )r
? ?

2

sin ?drd?d? ? ? d? ? d?
0 0

2?

?

r (? ,? )

? F (r ,? ,? )r
0

2

sin ?dr

重心:x ?

1 M

??? x?dv,   y ? M ??? y?dv,   z ? M ??? z?dv,  其中M ? x ? ??? ?dv
? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ?

1

1

转动惯量:I x ? ??? ( y ? z ) ?dv,  I y ? ??? ( x ? z ) ?dv,  I z ? ??? ( x ? y ) ?dv

第一类曲线积分(对弧长的曲线积分): ? x ? ? (t ) 设f ( x, y )在L上连续,L的参数方程为: ,    ? t ? ? ), 则: (? ? ? y ? ? (t )

?
L

? x?t f ( x, y )ds ? ? f [? (t ),? (t )] ? ? 2 (t ) ? ? ? 2 (t )dt   ? ? )   特殊情况: (? ? ? y ? ? (t ) ?

?

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分): ? x ? ? (t ) 设L的参数方程为? ,则: ? y ? ? (t )

? P( x, y)dx ? Q( x, y)dy ? ? {P[? (t ),? (t )]? ?(t ) ? Q[? (t ),? (t )]? ?(t )}dt ?
L

?

两类曲线积分之间的关系:Pdx ? Qdy ? ? ( P cos? ? Q cos ? )ds,其中?和?分别为 ?
L L

L上积分起止点处切向量的方向角。 格林公式: ( ??
D

?Q ?P ?Q ?P ? )dxdy ? ? Pdx ? Qdy格林公式: ( ?? ?x ? ?y )dxdy ? ? Pdx ? Qdy ?x ?y L D L

?Q ?P 1 当P ? ? y, Q ? x,即: ? ? 2时,得到D的面积:A ? ?? dxdy ? ? xdy ? ydx ?x ?y 2L D · 平面上曲线积分与路径无关的条件: 1、G是一个单连通区域; 2、P ( x, y ),Q( x, y )在G内具有一阶连续偏导数,且 减去对此奇点的积分,注意方向相反! · 二元函数的全微分求积: 在 ?Q ?P = 时,Pdx ? Qdy才是二元函数u ( x, y )的全微分,其中: ?x ?y
( x, y )

?Q ?P = 。注意奇点,如(0,0),应 ?x ?y

u ( x, y ) ?

? P( x, y)dx ? Q( x, y)dy,通常设x

0

? y0 ? 0。

( x0 , y0 )

曲面积分:
2 2 对面积的曲面积分: f ( x, y, z )ds ? ?? f [ x, y, z ( x, y )] 1 ? z x ( x, y ) ? z y ( x, y ) dxdy ?? ? Dxy

对坐标的曲面积分: P ( x, y, z )dydz ? Q ( x, y, z )dzdx ? R ( x, y, z )dxdy ,其中: ??
?

?? R( x, y, z )dxdy ? ? ?? R[ x, y, z ( x, y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;
? Dxy

?? P( x, y, z )dydz ? ? ?? P[ x( y, z ), y, z ]dydz,取曲面的前侧时取正号;
? D yz

高斯公式:

?? Q( x, y, z )dzdx ? ? ?? Q[ x, y( z, x), z ]dzdx,取曲面的右侧时取正号。
? Dzx

两类曲面积分之间的关系: Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy ? ?? ( P cos? ? Q cos ? ? R cos? )ds ??
? ?

??? ( ?x ? ?y ? ?z )dv ? ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy ? ?? ( P cos? ? Q cos ? ? R cos? )ds
? ? ?

?P

?Q

?R

高斯公式的物理意义 — —通量与散度: ? ?P ?Q ?R ? 散度:div ? ? ? ? ,即:单位体积内所产生的流体质量,若div ? ? 0, 则为消失... 斯托克斯公式 ?x ?y ?z ? ? 通量: A ? n ds ? ?? An ds ? ?? (P cos? ? Q cos ? ? R cos? )ds, ?? ? 因此,高斯公式又可写成: div Adv ? ?? An ds ???
? ? ? ? ?

——曲线积分与曲面积分的关系:

?? ( ?y ? ?z )dydz ? ( ?z ? ?x )dzdx ? ( ?x ? ?y )dxdy ? ? Pdx ? Qdy ? Rdz
? ?

?R

?Q

?P

?R

?Q

?P

dydz dzdx dxdy cos? ? ? ? ? 上式左端又可写成: ?? ?x ?y ?z ? ?? ?x ? ? P Q R P

cos ? ? ?y Q

cos? ? ?z R

?R ?Q ?P ?R ?Q ?P 空间曲线积分与路径无关的条件: ? ,  ? ,  ? ?y ?z ?z ?x ?x ?y i j k ? ? ? ? 旋度:rotA ? ?x ?y ?z P Q R ? ? ? 向量场A沿有向闭曲线?的环流量:Pdx ? Qdy ? Rdz ? ? A ? t ds ?
? ?

级数审敛法:

1、正项级数的审敛法 — —根植审敛法(柯西判别法): ? ? ? 1时,级数收敛 ? 设:? ? lim n u n ,则? ? ? 1时,级数发散 n ?? ? ? ? 1时,不确定 ? 2、比值审敛法: ? ? ? 1时,级数收敛 U n ?1 ? 设:? ? lim ,则? ? ? 1时,级数发散 n ?? U n ? ? ? 1时,不确定 ? 3、定义法: s n ? u1 ? u 2 ? ? ? u n ; lim s n 存在,则收敛;否则发散。
n ??

交错级数u1 ? u 2 ? u3 ? u 4 ? ?(或 ? u1 ?u 2 ?u3 ? ?, u n ? 0)的审敛法 — —莱布尼兹定理: ? u n ? u n?1 绝对收敛与条件收敛: ? 如果交错级数满足? ,那么级数收敛且其和s ? u1 , 其余项rn的绝对值 rn ? u n?1。 ?lim u n ? 0 ?n??
(1)u1 ? u 2 ? ? ? u n ? ?,其中u n为任意实数; (2) u1 ? u 2 ? u3 ? ? ? u n ? ? 如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数; 如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。 1 (?1) n 调和级数: 发散,而? 收敛; ?n n 1   级数: 2 收敛; ?n p?1时发散 1   p级数: p    ?n p ? 1时收敛
幂级数:

1 x ? 1时,收敛于 1? x 1 ? x ? x ? x ? ? ? x ? ?   x ? 1时,发散
2 3 n

对于级数(3)a0 ? a1 x a2 x 2 ? ? ? an x n ? ?,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全 ? x ? R时收敛 数轴上都收敛,则必存在R,使 x ? R时发散,其中R称为收敛半径。 x ? R时不定
函数展开成幂级数:

? ? 0时,R ?

1

a 求收敛半径的方法:设lim n?1 ? ?,其中an,an?1是(3)的系数,则 ? ? 0时,R ? ?? n ?? a n ? ? ??时,R ? 0

?

函数展开成泰勒级数:f ( x) ? f ( x0 )( x ? x0 ) ? 余项:Rn ?

f ??( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x ? x0 ) 2 ? ? ? ( x ? x0 ) n ? ? 2! n!
一些函数展开成幂级数:

f ( n ?1) (? ) ( x ? x0 ) n ?1 , f ( x)可以展开成泰勒级数的充要条件是: Rn ? 0 lim n ?? (n ? 1)! f ??(0) 2 f ( n ) ( 0) n x ??? x ?? 2! n!

x0 ? 0时即为麦克劳林公式:f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x ?

m(m ? 1) 2 m(m ? 1)?(m ? n ? 1) n x ??? x ? ?    1 ? x ? 1) (? 2! n! x3 x5 x 2 n?1 n ?1 sin x ? x ? ? ? ? ? (?1) ? ?     ? x ? ??) (?? 3! 5! (2n ? 1)! (1 ? x) m ? 1 ? mx ?
欧拉公式:

? e ix ? e ? ix cos x ? ? ? 2 e ix ? cos x ? i sin x   或? ix ?ix ?sin x ? e ? e ? 2 ?
三角级数:

f (t ) ? A0 ? ? An sin(n?t ? ? n ) ?
n ?1

?

a0 ? ? ? ( a n cos nx ? bn sin nx) 2 n ?1

其中,a0 ? aA0,a n ? An sin ? n,bn ? An cos? n,?t ? x。 正交性:sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 x ?sin nx, cos nx?任意两个不同项的乘积在[?? ,? ] 1, 上的积分=0。
傅立叶级数:

f ( x) ?

a0 ? ? ? (an cos nx ? bn sin nx),周期 ? 2? 2 n?1

? ? 1 a n ? ? f ( x) cos nxdx    ? 0,1,2?) (n ? ? ?? ? 其中? ? ?b ? 1 f ( x)sinnxdx    ? 1,2,3?) (n ? n ? ? ?? ?

1 1 ?2 1? 2 ? 2 ?? ? 8 3 5   1 1 1 ?2 ? 2 ? 2 ?? ? 24 22 4 6 正弦级数:an ? 0,bn ? 余弦级数:bn ? 0,an ?

1 1 1 ?2 ? 2 ? 2 ? ? ? (相加) 6 22 3 4 1 1 1 ?2 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (相减) 12 2 3 4 1? 2
?

?
2

? f ( x) sin nxdx  n ? 1,2,3?  f ( x) ? ? b
0 0

n

sin nx是奇函数

f ( x) cos nxdx  n ? 0,1,2?  f ( x) ? ??

?

a0 ? ? a n cos nx是偶函数 2

周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数:

f ( x) ?

a0 ? n?x n?x ? ? (an cos ? bn sin ),周期 ? 2l 2 n?1 l l

l ? 1 n?x dx    ? 0,1,2?) (n ?an ? ? f ( x) cos l ?l l ? 其中? l ?b ? 1 f ( x) sin n?x dx    ? 1,2,3?) (n ? n l? l ?l ?

微分方程的相关概念:

一阶微分方程:y ? ? f ( x, y )  或 P ( x, y )dx ? Q( x, y )dy ? 0 可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为g ( y )dy ? f ( x)dx的形式,解法:

? g ( y)dy ?? f ( x)dx  得:G ( y) ? F ( x) ? C称为隐式通解。
dy y ? f ( x, y ) ? ? ( x, y ),即写成 的函数,解法: 一阶线性微分方程: dx x y dy du du dx du y 设u ? ,则 ? u ? x ,u ? ? ? (u ), ? ? 分离变量,积分后将 代替u, x dx dx dx x ? (u ) ? u x 齐次方程:一阶微分方程可以写成 即得齐次方程通解。
dy 1、一阶线性微分方程: ? P ( x) y ? Q ( x) dx
? P ( x ) dx 当Q ( x) ? 0时, 为齐次方程,y ? Ce ?

当Q ( x) ? 0时,为非齐次方程,y ? ( ? Q ( x)e ? dy 2、贝努力方程: ? P ( x) y ? Q ( x) y n, ? 0,1) (n dx
全微分方程:

P ( x ) dx

? P ( x ) dx dx ? C )e ?

如果P ( x, y )dx ? Q ( x, y )dy ? 0中左端是某函数的全微分方程,即: ?u ?u du( x, y ) ? P ( x, y )dx ? Q ( x, y )dy ? 0,其中: ? P ( x, y ), ? Q ( x, y ) ?x ?y ? u ( x, y ) ? C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程:

f ( x) ? 0时为齐次 d2y dy ? P( x) ? Q( x) y ? f ( x), 2 dx dx f ( x) ? 0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:

(*) y ?? ? py ? ? qy ? 0,其中p, q为常数; 求解步骤: 1、写出特征方程: )r 2 ? pr ? q ? 0,其中r 2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y ??, y ?, y的系数; (? 2、求出(?)式的两个根r1 , r2

3、根据r1 , r2的不同情况,按下表写出(*)式的通解:
r1,r2的形式
两个不相等实根 ( p ? 4q ? 0)
2

(*)式的通解

y ? c1e r1x ? c2 e r2 x

两个相等实根 ( p ? 4q ? 0)
2

y ? (c1 ? c2 x)e r1x y ? e?x (c1 cos ?x ? c2 sin ?x)

一对共轭复根 ( p ? 4q ? 0)
2

r1 ? ? ? i?,r2 ? ? ? i?

? ? ? ,? ?

p 2

4q ? p 2 2

二阶常系数非齐次线性微分方程

y ?? ? py ? ? qy ? f ( x),p, q为常数 f ( x) ? e ?x Pm ( x)型,?为常数; f ( x) ? e ?x [ Pl ( x) cos?x ? Pn ( x ) sin ?x]型

附录 A 拉普拉斯变换及反变换
1.表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 叠加性

L[af (t )] ? aF(s)
L[ f 1 (t ) ? f 2 (t )] ? F1 (s) ? F2 (s)
df (t ) ] ? sF ( s ) ? f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] ? s 2 F ( s ) ? sf (0) ? ? f ? 0) ( dt 2 ?????? ? L[
n d n f (t ) ? ? s n F (s) ? ? s n ? k f n dt k ?1 k ?1 d f (t ) f ( k ?1) (t ) ? dt k ?1 ??????

2

微分定理

一般形式

L?

( k ?1)

( 0)

初始条件为 0 时

d n f (t ) L[ ] ? s n F ( s) n dt
L[ ? f (t )dt] ? F ( s ) [ ? f (t )dt]t ? 0 ? s s
2 F ( s ) [ ? f (t )dt]t ? 0 [ ?? f (t )( dt) ]t ? 0 ? ? s2 s2 s

一般形式 3 积分定理

L[ ?? f (t )( dt) 2 ] ? ?
共 n个

共 n个 ? ? F (s) n 1 n L[ ? ?? f (t )(dt) ] ? n ? ? n ? k ?1 [ ? ?? f (t )( dt) n ]t ? 0 s k ?1 s
共 n个 ? F (s) L[ ? ?? f (t )( dt) n ] ? n s

初始条件为 0 时 4 5 6 7 延迟定理(或称 t 域平移定理) 衰减定理(或称 s 域平移定理) 终值定理 初值定理

L[ f (t ? T )1(t ? T )] ? e ?Ts F ( s)

L[ f (t )e ? at ] ? F ( s ? a)
lim f (t ) ? lim sF ( s )
t ?? s ?0

lim f (t ) ? lim sF ( s )
t ?0 s ??

8

卷积定理

L[? f1 (t ? ? ) f 2 (? )d? ] ? L[? f1 (t ) f 2 (t ? ? )d? ] ? F1 (s) F2 (s)
0 0

t

t

2.表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序 号 拉氏变换 E(s) 1 时间函数 e(t) δ (t)
? T (t ) ? ? ? (t ? nT )
n ?0 ?

Z 变换 E(z) 1
z z ?1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1 ? e ?Ts
1 s

1(t )

z z ?1

1 s2
1 s3

t
t2 2

Tz ( z ? 1) 2
T 2 z ( z ? 1) 2( z ? 1) 3

1 s n ?1
1 s?a

tn n!

lim

(?1) n ? n z ( ) n a ?0 n! ?a z ? e ? aT
z z ? e ? aT

e ? at
? at

1 (s ? a) 2
a s( s ? a) b?a ( s ? a )( s ? b)

te

Tze ? aT ( z ? e ? aT ) 2
(1 ? e ? aT ) z ( z ? 1)( z ? e ? aT )

1? e

? at

e ? at ? e ?bt

z z ? ? aT z ?e z ? e ?bT
z sin ?T z ? 2 z cos?T ? 1
2

?
s ??
2 2

sin ?t
cos?t

s s ??2
2

z ( z ? cos?T ) z ? 2 z cos?T ? 1
2

?
( s ? a) ? ?
2 2

e ? at sin ?t
e ? at cos?t
at / T

ze ? aT sin ?T z 2 ? 2 ze ? aT cos?T ? e ? 2 aT
z 2 ? ze ? aT cos ?T z 2 ? 2 ze ? aT cos ?T ? e ? 2 aT
z z?a

s?a (s ? a) 2 ? ? 2
1 s ? (1 / T ) ln a

3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设 F (s ) 是 s 的有理真分 式

F (s) ?

B( s ) bm s m ? bm ?1 s m ?1 ? ? ? b1 s ? b0 ? A( s ) a n s n ? a n ?1 s n ?1 ? ? ? a1 s ? a 0

( n ? m)

式中系数 a0 , a1 ,..., a n ?1 , a n , b0 , b1 ,?bm?1 , bm 都是实常数; m, n 是正整数。按代数定理可将 F (s ) 展开为部分分式。分以下

两种情况讨论。 ①

A( s) ? 0 无重根
这时,F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
n c c c c1 c ? 2 ??? i ??? n ? ? i s ? s1 s ? s 2 s ? si s ? s n i ?1 s ? si

F (s) ?

(F-1)

式中, s1 , s 2 ,?, s n 是特征方程 A(s)=0 的根。 c i 为待定常数,称为 F(s)在 s i 处的留数,可按下式计算:

ci ? lim ( s ? si ) F ( s )
s ? si

(F-2)



ci ?

B( s ) A?( s) s ? s

(F-3)
i

式中, A?(s ) 为 A(s ) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数
n ?n c ? f (t ) ? L?1 ?F ( s )? ? L?1 ?? i ? = ? ci e ? s t ? i ?1 s ? si ? i ?1
i

(F-4)



A( s) ? 0 有重根 设 A( s) ? 0 有 r 重根 s1 ,F(s)可写为
F ?s ? ? B( s) ( s ? s1 ) ( s ? s r ?1 )? ( s ? s n )
r

=

c c cr cr ?1 c1 c ? ??? ? r ?1 ? ? ? i ? ? ? n r r ?1 ( s ? s1 ) ( s ? s1 ) ( s ? s1 ) s ? s r ?1 s ? si s ? sn

式中, s1 为 F(s)的 r 重根, s r ?1 ,…, s n 为 F(s)的 n-r 个单根; 其中, cr ?1 ,…, c n 仍按式(F-2)或(F-3)计算, c r , c r ?1 ,…, c1 则按下式计算:

c r ? lim ( s ? s1 ) r F ( s )
s ? s1

c r ?1 ? lim

s ? s1

d [( s ? s1 ) r F ( s )] ds

?
cr ? j ? 1 d ( j) lim ( j ) ( s ? s1 ) r F ( s) j! s ?s1 ds
(F-5)

?
c1 ?
原函数 f (t ) 为

1 d ( r ?1) lim ( r ?1) ( s ? s1 ) r F ( s ) (r ? 1)! s ? s1 ds

f (t ) ? L?1 ? F ( s) ?
? cr c c ? c r ?1 c1 c ? L?1 ? ? ??? ? r ?1 ? ? ? i ? ? ? n ? r r ?1 ( s ? s1 ) s ? s r ?1 s ? si s ? sn ? ( s ? s1 ) ? ( s ? s1 )

n c r ?1 r ? 2 ? c ? ? ? r t r ?1 ? t ? ? ? c 2 t ? c1 ? e s t ? ? c i e s t ( r ? 2)! i ? r ?1 ? ( r ? 1)! ?
1 i

(F-6)

表 2-1 几种典型波形的傅立叶变换表
名 称 波形函数 f ? t ? 波形图 频谱函数 F ?? ? 频谱图

矩 形 脉 冲

? ?E, ? ? ?0, ? ?

t ? t ?

? ?
2 2
?

f ?t ?
E

? ?? ? sin ? ? ? 2 ? E?

?
2

0

?
2

??
2

t

三 角 形 脉 冲

? ?0, ? ? ? 2t ? ? E ?1 ? ?, ? ? ? ? ?

t ? t ?

?
2
?

f ?t ? E

?
2

?
2

?
2

t

? ? ?? sin E? ? ? 4 ? ? 2 ? ?? ? 4 ?

?? ?? ?? ? ? ?

2

余 弦 脉 冲

? ?0, ? ? ? E cos ? ? ? ? ?? ?

t ? ? t ?, ? t ?

?
2

f ?t ?
E

?
2
?

?
2

0 ?
2

t

? ?? ? cos ? ? 2 E? ? 2 ? 2 ? ? ?? ? 1? ? ? ?? ?

F ? j? ?
2E?

?
5? 3? 3? 5?

?

?

?

?

?

?

?

名 称

波形函数 f ? t ?

波形图

频谱函数 F ?? ?

频谱图

梯 形 脉 冲

? ? t ? ?0, 2 ? ? 2E ? ? ? t ? , ? ? ? t ? ? ?1 ?? ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? 1 ? ? ? ? ?E, ? 1 ?t? 1 ? 2 2 ? 2E ? ?1 ? ? ? ? ?t ? ? ? t ?, 2 2 ? ?? ? ? 1 ? 2 ?
f ?t ?

? ? ?? ? ? 1 ? ? ? ? ?? ? ? 1 ? ? sin ? ? sin ? ? 4 4 E ?? ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 1 ? ? ?? ? ? 1 ? 2 4 4

指 数 ? Ee?? t , t ? 0 尖 ? 0, t?0 脉 ? 冲

E

E?

F ? j? ?
E ? 2? ?

?? ? 0 ?
0

E ? ? j?
t
0

3?

?

阶 跃 ?0, t ? 0 ? 脉 ?1, t ? 0 冲

f ?t ?

1
0

F ? j? ? ?

1 j?

t

名 称 指 数 脉 冲

波形函数 f ? t ?

波形图

频谱函数 F ?? ?

频谱图

? E ? e ?? t ? e ? ? t ? , t ? 0 ? ? ? ?? ?0, t?0 ?

?? ? ? ?

?? ? j? ?? ? ? j? ?

E

衰 减 ? Ee?? t sin ?0t , t ? 0 正 ? 0, t?0 弦 ? 振 荡

f ?t ?
? ?E 0
?0 E 2 ?? ? j? ? ? ?02

t

矩 形 调 幅 振 荡

? ? E cos ?0t , ? ? ?0, ? ?

t ? t ?

? ?
2

E
?

f ?t ?

?
2
0

2

? ?? ? sin ? ? ?0 ? sin ?? ? ?0 ? ? E? ? ? 2? 2 ?? ? ? ? ? t2 ? ?? ? ? ? ?? ? ?0 ? ? 0 2 ? 2 2 ?

表 Z 变换表


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