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数列求和的经典方法(含答案)


数列前 n 项和的求法
知识归纳: 1.拆项求和法:将一个数列拆成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数数列等等) ,然后分 别求和.(“拆项”的典型例子是数列“ S n = 1

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n n ”的求和) 2 4 8 2

2.并项求和法:将数列的相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新的且更容易求和的 数列.(“并项”的典型例子是数列“ S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? (?1) n?1 ? n ”的求和.) 3.裂项求和法:将数列的每一项拆(裂开)成两项之差,使得正负项能互相抵消,剩下首尾若干项. (“裂项”的典型例子是数列“ S n ?

1 1 1 ? ??? ”的求和) 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

4.错位求和法:将一个数列的每一项都作相同的变换,然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的 各项相减,这是仿照推导等比数列前 n 项和公式的方法.若 {an } 是等差数列, { b n }是等比数列,则数列 { an ? bn }的求和运用错位求和方法.(比如: an ? (n) ? (

9 n ) , 求{an }的前 n项和 S n . ) 10

5.倒序求和法:将一个数列的倒数第 k 项(k=1,2,3,?,n)变为顺数第 k 项,然后将得到的新数 列与原数列进行变换(相加、相减等) ,这是仿照推导等差数列前 n 项和公式的方法.
n ?1

例 1(错位求和法) :求数列 {nq 解:Ⅰ、若 q =0, 则 S n =0

} ( q 为常数)的前 n 项和。

Ⅱ、若 q =1,则 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? Ⅲ、若 q ≠0 且 q ≠1, 则 S n ? 1 ? 2q ? 3q 2 ? ?? nqn?1 ① ②

1 n(n ? 1) 2

qSn ? q ? 2q 2 ?3q 3 ? ?? nqn

①式—②式: (1 ? q)S n ? 1 ? q ?q 2 ?q 3 ? ?? q n?1 ? nqn

? Sn ?

1 (1 ? q ? q 2 ? q 3 ? ? ? q n ?1 ? nqn ) 1? q

? Sn ? ? Sn ?

1 1? qn ( ? nqn ) 1? q 1? q

1? qn nqn ? (1 ? q) 2 1 ? q
1

? ?0(q ? 0) ? ?1 综上所述: S n ? ? n(n ? 1)(q ? 1) ?2 ? 1? qn nqn ? (q ? 0且q ? 1) ? 2 1? q ? (1 ? q)
例二(裂项求和法) : 1、乘积形式,如: (1) 、 an ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(2) 、 an ?

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(3) 、 an ?

(4) 、 an ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

2、根式形式,如:

an ?

1 n ?1 ? n

? n ?1 ? n

练习 1:求数列

1 1 1 1 , , ,?, ,?的前 n 项和 S n 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

解:∵

1 1 1 = ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 2 2 3 3 n n ?1 1 ? Sn ? 1 ? n ?1 Sn ? 1 ?
练习 2:求数列

1 1 1 1 , , ,?, ,?的前 n 项和 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ( n ? 2)

解:由于:

1 1 1 1 = ( ? ) n ( n ? 2) 2 n n ? 2

则: S n ?

1? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 2 4 n n?2 ? ?
2

1 1 1 1 ? ) ? S n ? (1 ? ? 2 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 ? ? Sn ? ? 4 2n ? 2 2n ? 4

2x 例三(倒序法) :已知函数 f ? x ? ? x 2 ? 2
(1)证明: f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1; (2)求 f ?

?1? ?? ? 10 ?

? 2? f ? ?? ? 10 ?

?8? ? f ? ?? ? 10 ?

?9? f ? ? 的值. ? 10 ?

练习:若函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 。 (1) a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( (2)求数列 {

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) ,数列 {an } 是等差数列吗?是证明你的结论; n

1 } 的的前 n 项和 Tn 。 a n ? a n ?1

解: (1) 、 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (

1 2 n ?1 ) ? f (1) (倒序相加) n n n n ?1 n?2 1 )? f( ) ? ? ? f ( ) ? f (0) ? a n ? f (1) ? f ( n n n 1 n ?1 2 n ? 2 1? 0 ? ? ? ? ???1 n n n n

则,由条件:对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 。

2 n ?1 ) ? 2an ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (

? an ? n ? 1 ? an?1 ? n ? 2 ? an?1 ? an ? 1
从而:数列 {an } 是 a1 ? 2, d ? 1 的等差数列。 (2) 、

1 1 1 1 ? ? ? a n ? a n?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

3

? Tn =

1 1 1 1 ? ? ??? 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ? 1 ) ? (n ? 2)

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ? ? Tn = ? ? ? ? ? ? 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2n ? 4
故: Tn =

n 2n ? 4

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n n 2 4 8 2 1 1 解:由于: a n ? n n ? n ? n 2 2 1 1 1 1 则: S n = (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ( ? ? ? ? ? ? ? n ) (等差+等比,利用公式求和) 2 4 8 2 1 1 (1 ? ( ) n ) 1 2 = n(n ? 1) ? 2 1 2 1? 2 1 1 n = n( n ? 1) ? 1 ? ( ) 2 2
例四(拆项求和) :求 S n = 1 练习:求数列 9,99,999,? 的前 n 项和 S n 分析:此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式 an ? 10n ? 1 可转化为一 个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。 解:由于: an ? 10n ? 1 则: S n ? 9 ? 99 ? 99 ? ?

? S n ? (101 ? 1) ? (102 ? 1) ? (103 ? 1) ? ?? (10n ? 1) ? S n ? (101 ? 102 ? 103 ? ?? 10n ) ? (1 ? 1 ? 1 ? ?? 1) ? Sn ?
10 ? 10n ? 10 ?n 1 ? 10

10n ?1 ? 10 ?n ? Sn ? 9

2 2 2 2 2 2 例五(并项求和法) : 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ? ? 2 ? 1

4

【同步练习】
1.数列 {an } 的通项公式是 an ? A.11 B.99

1 n ? n ?1

(n ? N ? ) ,若它的前 n 项和为 10,则其项数 n 为
D.121

C.120

1 1 1 , , ?, ,? 的前 n 项和为 2.数列 1, 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ??? n 2n 2n n?2 n A. B. C. D. 2n ? 1 n ?1 n ?1 2n ? 1 a ? a2 ? ? ? an 3.数列 {an } 的通项是 an ? 4n ? 1, bn ? 1 ,则数列 {bn } 的的前 n 项和为 n 2 A. n B. n(n ? 1) C. n(n ? 2) D. n(2n ? 1)
4.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? 4n ? 1 ,则 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | a10 | 的值是 A.65 B.67 C.61 D.56

1 1 1 1 5.数列 1 ,3 ,5 , ?, (2n ? 1) ? n , ? 的前 n 项和为 S n ,则 S n ? 2 4 8 2 1 1 1 1 2 2 2 2 A. n ? 1 ? n B. n ? 1 ? n ?1 C. 2n ? n ? 1 ? n D. n ? n ? 1 ? n 2 2 2 2 n 2 2 2 6.在等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? ?? an ? 2 ?1 ,则 a1 ? a2 ? ?? an ?
A. (2n ? 1) 2 B.

( 2 n ? 1) 2 3

C. 4 ? 1
n

D.

4n ? 1 3

7.数列 1,(1 ? 2),(1 ? 2 ? 22 ),

,(1 ? 2 ? 22 ?

? 2n?1 ),

的通项公式_________,前 n 项和_________.

8.若数列 {an } 满足 a1 ? 2 , nan?1 ? (n ? 1)an ? 2 ,则数列 {an } 的通项公式__________. 9.已知数列 {an } 是等差数列,其前 n 项和为 S n , a 3 ? (I)求数列 {an } 的通项公式;

1 ? S 3 ? 6. 2 1 1 1 (II)求和: . ? ??? S1 S 2 Sn

2 10.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n , {bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 .

(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

5

第五课时 数列综合测试
1.在等差数列{an}中,若 a4+a6=12,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S9 的值为 ( A.48 B.54 C.60 D.66 2 2 * 2.正项数列{an}满足 an+1=an+4(n∈N ),且 a1=1,则 a7 的值为 ( A.4 B.5 C.6 D.7 x x 3.若 log32,log3(2 -1),log3(2 +11)成等差数列,则 x 的值为 ( ) A.7 或-3 B.log37 C.log27 D.4 4. 设 { a n } 是 等 差 数 列 , S n 是 其 前 n 项 的 和 , 且 S 5 ? S 6 , S 6 ? S 7 ? S 8 , 则 下 列 结 论 错 误 的 是 ( ) B. S 9 ? S 5 D. S 6 与 S 7 是 S n 的最大值 ( ) ) )

A. d ? 0 C. a7 ? 0

5.等差数列中 a1+3a8+a15=120,则 2a9-a10 的值是

A.24 C.20

B.22 D.-8 ( )

6.在等差数列中,已知 a1+a4+a7=45, a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9 的值是 A.33 C.27 B.30 D.24

7.等差数列中 a1+3a8+a15=120,则 2a9-a10 的值是
6





A.24 C.20
x x

B.22 D.-8 ( )

8.若 log32,log3(2 -1),log3(2 +11)成等差数列,则 x 的值为 A.7 或-3 C.log27 B.log37 D.4

9.已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 S9=18,Sn=240,an-4=30,则 n 的值是( A.10 C.15 10. 已知 an =2×3 A.3 -1
n n ?1



B.12 D.18 ,则数列{ an }的偶数项所组成的新数列的前 n 项和 S n 的值为(
n



B.3(3 -1)

C.

9n ?1 4

D.

3(9 n ? 1) 4

11. 三 个 数 成 等 比 数 列 , 它 们 的 积 为 512 , 如 果 中 间 一 个 数 加 上 2 , 则 成 等 差 数 列 , 这 三 个 数 是 .

12.在等比数列{an}中,已知 a2=6,且 a5-2a4-a3+12=0,则 an=______. 13.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,an ? ?512 ,S n ? ?341,则 q ? 14.已知数列 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则 ,n ? 。

a1+a2 的值为________. b2 15.在等差数列{an}中,Sn 为它的前 n 项和,若 a1>0,S16>0,S17<0, 则当 n=______时,Sn 最大.
16.设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 ,求

{an } , {bn } 的通项公式.

7

17.已知数列{ an }满足 a1 ? 2, an ? 3an?1 ? 2,(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项 an 。

18.数列{an}的前 n 项和为 Sn=2-2an ,n∈N .求证:数列{an}为等比数列,并求通项 an.

*

19.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=a·2 +b,且 a1=3. (1)求 a、b 的值及数列{an}的通项公式;

n

(2)设

求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

20.已知 f(x)=3x -2x,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上.
8

2

*

(1)求数列{an}的通项公式; 3 m * (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 对所有 n∈N 都成立的最小正整数 m. anan+1 20

9


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