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恩施高中 2013级理科数学周考试题(10)理科(教师版)


恩施高中 2013 级理科数学周测试题(10)
一.选择题答案卡 题号 答案 二.填空题 11. a ? 0或 1 C 2 C 3 B 4 B 5 B 6 D 7 A 8 C 9 A 10 C

1 ?a?4 4

12.97.5

13. 168

14.1、2 、4

>15

3;2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 从我校参加数学竞赛的成绩中抽取一个样本,将样本分成 6 组,得到频率分布直方图如图,从左到 右各小组的小长方形的高的比为 1:1:3:6:4:2,最右边的一组的频数是 8. (Ⅰ)样本容量是多少? (Ⅱ)估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数.

17. (本小题满分 12 分)

第1 页

A ? A [cos(? ? 2 A) ? 1]sin(? ? )sin( ? ) 2 2 2 ? cos 2 A 在 ?ABC 中,已知角 A 为锐角,且 f ( A) ? ? A A sin 2 ( ? ) ? sin 2 (? ? ) 2 2 2
(Ⅰ)求 f ( A) 的最大值; (Ⅱ)若 A ? B ?

7? , f ( A) ? 1, BC ? 2, 求 ?ABC 的三个内角和 AC 边的长。 12

18. (本小题满分 12 分) 已知

?

x ? 3 x 的二项展开式中所有奇数项的系数之和为 512,

?

n

(Ⅰ)求展开式的所有有理项(指数为正整数) . (Ⅱ)求 ?1 ? x? ? ?1 ? x? ? ? ? ?1 ? x? 展开式中 x 项的系数.
3 4 n
2

0 2 18. 解: (1) Cn ? Cn ? ? ? 2n ?1 ? 512 ? 29

∴ n ? 1 ? 9 , n ? 10
r r Tr ?1 ? C10 ( x )10 ? r (?3 x ) r ? (?1) r C10 x 10 ? r r ? 2 3

????2 分
r ? (?1) r C10 x 5? r 6

( r =0, 1, ?,10 )

第2 页

r ∵ 5 ? ? Z,∴ r ? 0 ,6 6

?????4 分

0 5 6 4 有理项为 T1 ? C10 x ? x5 , T7 ? C10 x ? 210x4 ?????????? 6 分 r r ?1 r r ?1 r r (2)∵ Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ,∴ Cn ?1 ? Cn 2 2 2 3 3 3 3 3 3 x 2 项的系数为 C3 ? C4 ? ? ? C10 ? (C4 ? C3 ) ? (C5 ? C4 ) ? ? ? (C11 ? C10 ) 3 3 ? C11 ? C3 ? 164 ????????12 分(其它方法也可)

19. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的二次函数 f ( x) ? ax2 ? 8bx ? 1. (Ⅰ)设集合 M ? ?1, 2,3? 和 N ? ??1,1,2,3,4,5? ,从集合 M 中随机取一个数作为 a ,从 N 中随机 取一个数作为 b ,求函数 y ? f ( x) 在区间 [2, ??) 上是增函数的概率;

?x ? y ? 6 ? 0 ? x?0 (Ⅱ) 设点 ? a, b ? 是区域 ? 内的随机点,求函数 y ? f ( x) 在区间 [2, ??) 上是增函数的概 ? y?0 ?
率. 4b , a

解(1)∵函数 f(x)=ax2-8bx+1 的图象的对称轴为 x=
2

要使 f(x)=ax -8bx+1 在区间[2,+∞)上为增函数, 4b 当且仅当 a>0 且 ≤2,即 2b≤a?????????????????2 分 a 若 a=1 则 b=-1, 若 a=2 则 b=-1,1

若 a=3 则 b=-1,1,;?????????????????????5 分 记事件 A 为“函数 y=f(x)在区间[2,+∞)上是增函数” 则事件 A 包含基本事件的个数是 1+2+2=5 ∴所求事件 A 的概率为 P(A)= 5 ???????????????????7 分 18
2

(2)由(1)知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时,函数 f(x)=ax -8bx+1 在区间[2,+∞)上为增函数,

? ?a+b-6≤0 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为?a>0 , ? ?b>0
而构成所求事件的区域为三角形 AOB 部分,如图所示.???9 分

? ?a+b-6=0 由? a 解得交点为 B(4,2).????????11 分 ?b= 2 ?
第3 页

S△AOB ∴所求事件的概率为 P= S△AOC

1 ×6×2 2 1 = = ????????12 分 1 3 ×6×6 2

20. (本小题满分 13 分) 袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中 任取一球 ? 表示所取球的标号. (Ⅰ)求 ? 的分布列,期望和方差; (Ⅱ)若? ? a?-b , E? ? 1, D? ? 11, 试求 a , b 的值. 解: (Ⅰ) ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

1 1 3 1 20 10 20 5 1 1 1 3 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 1.5. ∴ E ? ? 0 ? ? 1? 2 20 10 20 5 1 1 1 3 1 2 2 ? (2 ? 1.5) 2 ? ? (3 ? 1.5) 2 ? ? (4 ? 1.5) 2 ? ? 2.75. D ? ? (0 ? 1.5) ? ? (1 ? 1.5) ? 2 20 10 20 5
(Ⅱ)由 D? ? a D? ,得 a2×2.75=11,即 a ? ?2. 又 E? ? aE? ? b, 所以
2

1 2

当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ∴?

? a ? 2, ?a ? ?2, 或? 即为所求. ?b ? ?2 ? b ? 4

?????????????????13 分 21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?xn ? 满足 xn?1 ? xn ? ? ?

3 1 ? 1? * ? , n ? N , 且x1 ? 1.设an ? xn ? , 4 2 ? 2?

n

且 T2n ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (2n ? 1)a2n?1 ? 2na2n . (Ⅰ)求 xn 的表达式; (Ⅱ)求 T2 n ;

第4 页

(Ⅲ)若 Qn ? 1 ?

3n ? 1 (n ? N * ) ,试比较 9T2n与Qn 的大小,并说明理由. (2n ? 1) 2
1 2
n

解析: (I)? x n ?1 ? x n ? ( ? ) ,

? x n ? x1 ? ( x 2 ? x1 ) ? ( x3 ? x 2 ) ? ? ? ( x n ? x n ?1 ) 1 1 1 ? 1 ? (? ) ? (? ) 2 ? ? ? (? ) n ?1 2 2 2

1 n ?1 n ?1 1 ? (? ) 2 ? 2 ? 1 ? ? 1 ? 当 n ? 1 时上式也成立,? x ? 2 ? 1 ? ? 1 ? (n ? N * ). ? ? ? ? ? n 1 3 3? 2? 1 ? (? ) 3 3 ? 2 ? 2
(Ⅱ) an ?

3 1 1? 1? xn ? ? ? ? ? 4 2 4? 2?

n ?1

? 1? ? ?? ? ? 2?

n ?1

.

?T2n ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (2n ? 1)a2n?1 ? 2na2n

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? (2n ? 1)? ? ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
3 4 5

2

3

4

2n

? 1? ? 2n? ? ? ? 2?
2 n ?1

2 n ?1

1 ?1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ? T2n ? ? ? ? 2? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? (2n ? 1)? ? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
作差得: T2n ? ? ?

? 1? ? 2n? ? ? ? 2?

2n?2

3 2

? 1? ? 1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2? ? 2? ? 2?

2

3

2 n ?1

? 1? ? 2n? ? ? ? 2?

2 n? 2

2n 1 ? ? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? 2n?2 2n 2n 4? ? ? 2? ? ? 3 1 1? 1? n? 1? ? 1? ? T2 n ? ? 2n? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? . 1 2 2? 6 6? 2? 2? 2? ? 1? 2

1 1? 1? T2n ? ? ? ? ? 9 9? 2?

2n

n? 1? ? ?? ? 3 ? 2?

2n

1 ? 3n ? 1 ? ? ?1 ? 2n ?. 9? 2 ?

(Ⅲ)由(Ⅱ)可得 9T2 n ? 1 ? 当 n ?1 时,2
2n

3n ? 1 3n ? 1 . 又 Qn ? 1 ? 2n 2 (2n ? 1) 2

? 4, (2n ? 1) 2 ? 9,?9T2n ? Qn ;

当 n ? 2时,22n ? 16, (2n ? 1) 2 ? 25,?9T2n ? Qn ;
0 1 2 n 2 当 n ? 3时,2 2n ? [(1 ? 1) n ]2 ? (Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? (2n ? 1) 2 .

? 9T2n ? Qn .
第5 页

综上所述,当 n ? 1,2时,9T2n ? Qn;当n ? 3时,9T2n ? Qn.

第6 页


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