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绵阳南山中学高2012级自主招生考试模拟试题


绵阳南山中学高 2012 级自主招生考试模拟试题 数 学

卷 I(选择题,共 36 分)
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 1、 (-4)2 的平方根是( A.4 2、函数 y= A. x ? 1 4 B. -4 )

16 C. ±


4 D. ±

1-x 中自

变量 x 的取值范围是( x+3
B. ? 3 ? x ? 1

C. x ? 1且x ? ?3 )

D. x ? ?3

3、方程 3(x-5)2 =2(5-x) 的解是( A.x ?

13 3

B.x1 ? 5,x

2

?

13 3

C.x1 ? 5,x

2

?

17 3

D.x1 ? 4,x

2

??

13 3

4、 如图, P 是函数 y ? ? 设

4 在第二象限的图象上的任意一点, P 关于原点的对称点 P' 点 , x


过 P 作 PA//y 轴,过 P'作 P?A // x轴 , PA与P?A交于点A, 则?PAP?的面积是( y A.2 B.4 P O C.8 x D.随 P 的变化而变化 A P'

5、一次数学测试后,随机抽取九年级(3)班 6 名同学的成绩如下:80、85、86、88、88、 95,关于这组数据错误的说法是( ) A.极差是 15 B.众数是 88 C.中位数是 86 D.平均数是 87 6、如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图,那么搭成这个几何体所用 的小立方块的个数是( )

(正视图) (左视图) A.5 个 7、若 M( ? 则( B.6 个 C.7 个 (俯视图) D.8 个

1 1 1 k ,y 1 ) 、N( ? , y 2 ) 、P( , y3 )三点都在函数 y ? (k ? 0) 的图象上, 2 2 x 4
B. y 2 ? y3 ? y1 C. y3 ? y 2 ? y1 D.无法确定



A. y 2 ? y1 ? y3

8、如图所示,图中的两个转盘分别被均匀地分成 5 个和 4 个扇形,每个扇形上都标有数字, 同时自由转动两个转盘,转盘停止后,指针都落在奇数上的概率是( ) 4 3 1 2 B. 8 4 9 3

5

A.

2 5

3 10

C.

3 20

D.

1 5

9、用 120 根长短相同的火柴,首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形,已知最大边是 最小边的 3 倍,则最小边用了( ) A.20 根火柴 B.19 根火柴 C.18 或 19 根火柴 D.20 或 19 根火柴

10.如图边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针方向旋转 300 到正方形 AB / C / D / , 则图中阴影部分的面积为(
1 2
C B B'

);
C' D A D'

A.

B.

3 3

3 C. 1 ? 4

3 D. 1 ? 3

11.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图所示 , 有下列 5 个结论 : ①
abc ? 0; ② b ? a ? c; ③ 4a ? 2b ? c ? 0; ④ 2c ? 3b; ⑤ a ? b ? m(am ? b) ( m ? 1 的实 y x=1 数) ; 其中正确的结论有( )
A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个

-1

O 1

2

3

x

12.如图矩形 ABCD 中 , AB ? 1, AD ? 2, M 是 CD 的中点 , 点 P 在矩形 ABCD 的边 上沿 A ? B ? C ? M 运动 , 则 ?APM 的面积 y 与点 P 经过的路程 x 之间的函数 关系用图象表示大致是下图中的( ) ; y A. B. y
1 -1 O1 2 3 3.5 x -1 1 P O 1 2 3 3.5 x A B D M C

C.
y
1 -1 O1 2 3 3.5

D.
1 -1

y

x

O1

2

3 3.5

x

卷Ⅱ(非选择题 , 共 114 分)
二、填空题(每小题 4 分 , 共 24 分) 13.实数范围内分解因式 : x 3 ? 5x 2 ? 6 x ? ____________________ ;

?x ? a ? 0 14.已知关于 x 的不等式组 ? 的整数解共有 6 个 , 则 a 的取值范围是 3 ? 2x ? 0 ?
____________________ ; 15.如图将 Rt?ABC 绕直角顶点 C 顺时针方向旋转 900 到
?A B C 的位置 , D, D 分别是 AB, A B 的中点 , 已知
/ /

A B’ D B

/

/

/

D’ C A’

AC ? 12cm, BC ? 5cm, 则线段 DD / 的长为_______ cm ;

16.如图所示 ?ABC 中 , AB ? AC, ?BAC ? 900 , 直角 ?EPF 的顶点 P 是 BC 中点 , 两 边 PE 、 PF 分别交 AB 、 AC 于点 E 、 F , 给出以下四个结论 : ① AE ? CF ; ② ?EPF 为等腰直角三角形; ③ S四边形 AEPF
B E F A P C

1 ? S ?ABC; EF ? AP ; ?EPF 在 ?ABC 内绕顶点 P 旋转时(点 E 不 ④ 当 2

与点 A 、 B 重合) , 上述结论始终正确的有____________(填序号) ; 17.已知 ?,? 是关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x 2 ? x ? 1 ? 0 两个实根 , 且满足 (? ?
1)(? ? 1) ? m ? 1, 则 m 的值为_____________ ;
B

18.如图是一回形图 , 其回形通道的宽和 OB 的 长均为 1, 回形与射线 OA 交于点 A1 , A2 , A3 ,... 若从
A 3 A 2 A 1

O

O 点到 A1 点的回形线为第 1 圈 , 从 A1 到 A2 点的

回形线为第 2 圈 ,...依次类推 , 第 10 圈的长为____ ; 三、解答题 19.本题共 2 小题 , 每题 8 分 , 共 16 分 . (1)计算 : 16 ? (?2) 3 ? (2009?

?

1 2 ) 0 ? tan600 ? 1 ? ( ) ?1 ? ; 6 3 3

(2)先化简 , 再求值 : 20.(本题 12 分)

1 x 2 ? 2x 2x ? 1 ? (x ?1 ? ), 其中 x ? . 2 2 x ?1 x ?1

某公司现有甲、乙两种品牌的打印机 , 其中甲品牌有 A 、 B 两种型号 , 乙品 牌有 C 、 D 、 E 三种型号 . 光明中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的 打印机 . (1)利用树状图或列表法写出所有选购方案 ; (2)若各种型号的打印机被选购的可能性相同 , 那么 C 型号打印机被选购的概率 是多少 ? (3)各种型号打印机的价格如下表 : 甲品牌 型号 价格(元)
A B

乙品牌
C
D E

2000

1700

1300

1200

1000

光明中学购买了两种品牌的打印机共 30 台 , 其中乙品牌的只选购了 E 型号 , 共用去 5 万元 , 问 E 型号的打印机购买了多少台 ? 21. (本题 12 分) 如 图已知在梯形 ABC D 中 , AD ∥ BC, AB ? DC ? AD ? 6, ?ABC ? 600 , 点
E 、 F 分别在线段 AD 、 DC 上(点 E 与点 A 、 D 不重合)且 ?BEF ? 1200 , 设

AE ? x, DF ? y.

A

E

D F

(1)求 y 与 x 的函数表达式 ; (2)当 x 为何值时 , y 有最大值 ? 最大值是多少 ?
B

C

22. (本题 12 分) 如图所示 , 在平面直角坐标系内点 A 和点 C 的坐标分别为 (4,8), (0,5), 过点
A 作 AB ? x 于点 B, 过 OB 上的动点 D 作直线 y ? kx ? b 平行于 AC, 与 AB 相交于

点 E , 连结 CD, 过点 E 作 EF ∥ CD 交 AC 于点 F .
y A F

(1)求经过 A 、 C 两点的直线的解析式 ; (2)当点 D 在 OB 上移动时 , 能否使四边形
CDEF 为矩形 ? 若能 , 求出此时 k, b 的值 ;
C E O M D B x

若不能 , 请说明理由 . 23. (本题 12 分)

如 图 ?ABC 中 , 过 点 A 分 别 作 ?ABC 、 ?ACB 的 外 角 的 平 分 线 的 垂 线
AD, AE, D, E 为垂足 . 求证 :
A

(1) ED ∥ BC;
1 ( AB ? AC ? BC ). 2 24. (本题 12 分)

D B C

E

(2) ED ?

某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果 , 物价部门规定每箱售价不得高 于 55 元 . 市场调查发现 , 若每箱以 50 元的价格销售 , 平均每天销售 90 箱 , 价格每 提高 1 元 , 平均每天少销售 3 箱 . (1)求平均每天销售 y (箱)与销售价 x (元/箱)之间的函数关系 ; (2)求该批发商平均每天的销售利润 W (元)与销售价 x (元/箱)之间的函数关系 ; (3)当每箱苹果的销售价为多少元时 , 可以获得最大利润 ? 最大利润是多少 ?
y

25. (本题 14 分) 如图在直角坐标系中 , 以点 A( 3,0) 为圆心 , 以 2 3 为半径的圆与 x 轴交 于 B 、 C 两点 , 与 y 轴交于 D 、 E 两点
B O D N P E A C M

x

(1)求 D 点的坐标 ; (2)若 B 、 C 、 D 三点在抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 上 , 求这个抛物线的解析式 ; (3)若⊙ A 的切线交 x 轴正半轴于点 M , 交 y 轴的负半轴于点 N , 切点为 P 且
?OMN ? 300. 试判断直线 MN 是否经过所求抛物线的顶点 ? 说明理由 .

绵阳南山中学 2012 级自主招生考试数学模拟试题答案
一、选择题 2 题号 1 答案 D C 二、填空题 13、 x( x ? 6)(x ? 1) 16、①②③ 三、解答题 19、 (1)原式= 3 (2)原式= 3 B 4 C 5 C 6 D 7 A 8 B 9 C 10 D 11 B 12 A

14、 ? 5 ? a ? ?4 17、 ? 1

15、 18、

13 2 2

79

……………………………………………………….. 8 分

1 1 ,当 x ? 时,原式= ? 2 …………………………..8 分 x ?1 2 20、 (1)结果为(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E) 、 、 、 、 、 …………………4 分 2 1 (2)由(1)知 C 型号的打印机被选购的概率为 ? ………………..4 分 6 3 (3)E 型号的打印机应选购 10 台。……………………………………..4 分 1 21、 (1)函数表达式为: y ? ? x 2 ? x ………………………………………6 分 6 1 3 3 (2) y ? ? ( x ? 3) 2 ? ,故当 x ? 3 时 y 有最大值 …………………..6 分 6 2 2 3 22、 (1)直线 AC 的解析式为: y ? x ? 5 ………………………………….4 分 4 3 45 (2)能使四边形 CDEF 为矩形,此时 k ? , b ? ? ………………..8 分 4 16 23、 (1)分别延长 AD、AE 与直线 BC 交于点 F、G,由 AD ? BD ,得
?ADB ? ?FDB ? 90? ,又 BD ? BD, ?ABD ? ?FBD ,? ?ABD ? ?FBD
? AD ? FD ,同理可得 AE ? EG ,? DE // BC ………………………….6 分 1 (2)由(1)知? ?ABD ? ?FBD , AB ? BF ,同理 AC ? CG ,又 DE ? FG 2 1 ? GF ? FB ? BC ? GC ? AB ? BC ? AC , DE ? ( AB ? BC ? AC ) …….6 分 ? 2

24、 (1) y ? ?3x ? 240(50 ? x ? 55) ………………………………………………4 分 (2)? ? ( x ? 40)(?3x ? 240) ? ?3x 2 ? 360x ? 9600 50 ? x ? 55) ……………4 分 ( (3)? ? ?3x 2 ? 360x ? 9600 50 ? x ? 55) ,? a ? ?3 ? 0 ,故抛物线开口向下, (
b ? 60 时, ? 有最大值,又 x ? 60 , ? 随 x 的增大而增大 2a ? 当 x ? 55 时, ? 的最大值为 1125 元。 即当每箱苹果的销售价定为 55 元时,楞以获得 1125 元的最大利润。…4 分

当x ? ?

25、 (1)D 点的坐标为 (0,?3) …………………………………………………….3 分 (2)易知: B(? 3,0),C(3 3,0) ,将 B、C、D 的坐标分别代入抛物线解得:

1 2 3 1 2 3 x?3 a ? ,b ? ? , c ? ?3 ,故抛物线的解析式为: y ? x 2 ? 3 3 3 3
………………………………………………………………………………….4 分 (3)连结 AP 易得 N 的坐标为( 0,?5 ) , 从而可得直线 MN 的解析式为 y ?
3 x ? 5 ,……………………………..3 分 3 3 ? 3 ? 5 ? ?4 …….3 分 3

又抛物线的顶点坐标是 ( 3,?4) ,即 x ? 3 当时有

故点 ( 3,?4) 在直线 MN 上,即直线 MN 经过抛物线的顶点。………….1 分


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