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浙江省温州中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷


温州中学 2015 学年第一学期期末考试 高一数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 已知平面向量 a ? (1, 2) ,且 a // b ,则 b 可能是( A. (2,1) B. (?2, ?1) C. (4, ?2)

?

?

?

?

) D. (?1, ?2)

?? 1 ? x ?? ? , x ? 0 2. 已知函数 f ? x ? ? ?? 2 ? ,若 f ? x0 ? ? 2 ,则 x0 ? ( ?log x ? 2 , x ? 0 ? ? 2?
A. 2 或 ?1 B. 2 C. ?1 D. 2 或 1 3.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? 图象( )



?
4

) ,为了得到函数 g( x) ? sin 2 x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的

A. 向左平移 C. 向左平移

?

?

8 4

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D. 向右平移

?

?

8 4

个单位长度 个单位长度

4.已知 cos ?? ? ? ? ? ?

10 ? ? ? ,且 ? ? ? ? , 0 ? ,则 tan ? 的值为( 5 ? 2 ?
6 3
C.



6 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 5.已知点 P 在正 ?ABC 所确定的平面上,且满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则 ?ABP 的面积
A. ? B. D. ? 与 ?BCP 的面积之比为( A. 1:1 B. 1: 2 ) C. 1: 3 D. 1: 4

6 3

6 2

6. 已 知 函 数 y ? log a ( x 2 ? ax ? ) , 对 任 意 的 x1 , x2 ? ?1, ?? ? , 且 x1 ? x2 时 , 满 足

1 2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是( x2 ? x1
A. (1, )



3 2

B. ? , ?? ?

?3 ?2

? ?

C. ?1, 2?

D. ? 2, ?? ?

7. 已知函数 y ? f ( x) 对任意的 x ? R ,恒有 f ? x ? ? sin x 列关于函数 y ? f ( x) 的说法正确的是( A.最小正周期是 2? )

?

? ? f ? x ? ? cos x ? ? 0 成立,则下

B.值域是 ? ?1,1?
1

C.是奇函数或是偶函数 8. 已知函数 f ( x) ? ?

D.以上都不对

?ax 2 ? 2 x ? 1 x ? 0 为偶函数, 方程 f ( x) ? m 有四个不同的实数解, 2 ? x ? bx ? c x ? 0
) C. (?1, 0) D. (1,2) ) B. (?2, ?1)

则实数 m 的取值范围是( A. (?3, ?1)

9.已知函数 f ( g ? x ?) ? sin 2 x, g ? x ? ? tan ? x ? A.

? ?

??

1 ? ,则 f (? ) ? ( 7 4?
D. ?

4 3

B. ?

4 3

C. ?

24 25

24 7

10. 设 k ? R , 对 任 意 的 向 量 a , b 和 实 数 x ? ? 0,1? , 如 果 满 足 a ? k a ? b , 则 有

?

? ?

? ? ? ? a ? xb ? ? a ? b 成立,那么实数 ? 的最小值为(
A. 1 B. k C.

) D.

k ? 1? | k ? 1 | 2
▲ .

k ? 1? | k ? 1 | 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 求值: cos 75? cos15? ? sin 75? sin15? ?

12. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,若当 x ? ? 0, 2 ? 时, f ( x) ? 2 ,
x

则 f (3) ?



.

13. 已知 ? 为正整数,若函数 f ( x) ? sin ?? x ? 在区间 (

? ?

?? ▲

, ) 上不单调,则最小的正整数 6 3

.

14.设 ? 为锐角,若 sin ? ? ? 15. 已知集合 M ?

? ?

??

3 ? ? ? ? ? ,则 cos ? 2? ? ? 的值为 6? 5 12 ? ?



.

?? a, b ? a ? ?1 ,且

0 ? b ? m? ,其中 m ? R .若任意 (a, b) ? M ,均
▲ .

有 a ? log 2 b ? b ? 3a ? 0 ,求实数 m 的最大值

三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

2

16.设函数 f ( x) ? lg x 2 ? 3 x 的定义域为集合 A ,函数 g ( x) ? 定义域为集合 B (其中 a ? R ,且 a ? 0 ). (1)当 a ? 1 时,求集合 B ; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

?

?

? x 2 ? 4ax ? 3a 2 的

17. 在等腰直角 ?ABC 中, ?A ?

?

2 ???? ? ??? ? ???? (1)试用向量 AB, AC 来表示向量 AM ;

??? ? ???? ? 满足 BC ? 3BM , AB ? AC ? 1 , M 是斜边 BC 上的点,

(2)若点 P 满足 AP ? 1 ,求 AP ? BM 的取值范围.

??? ?

??? ? ???? ?

18.已知函数 f ? x ? ? a sin x cos x ? 3a cos x , ( a 为常数且 a ? 0 ).
2

(1)若函数的定义域为 ? 0,

? ? 3 ?? ? ?? ,值域为 ?0, ? ? 2 ? 1? ? ? ,求 a 的值; ? 2? ? ? ?? ? ? ?

(2) 在 (1) 的条件下, 定义区间 ? m, n ? , ? m, n ? , ? m, n ? , ? m, n ? 的长度为 n ? m , 其中 n ? m , 若不等式 f ? x ? ? b ? 0 ,x ? ? 0, ? ? 的解集构成的各区间的长度和超过

?
3

, 求 b 的取值范围.

19.设函数 f ( x) ? x ? ax ? b , a, b ? R .
2

(1)若 a ? b ? 3 ,当 x ? [1, 2] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数对 (a, b) ,使得不等式 f ( x) ? 2 在区间 ?1,5? 上无解,若存在,试求出 所有满足条件的实数对 (a, b) ;若不存在,请说明理由.

3

温州中学 2014 学年高一第一学期期末考试 数学答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 答案 D A B D B A D B 9 C 10 C

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.) 11. 0 12. 2 2 13._____ 2_______

14. ____

31 2 ___ 50

15.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.设函数 f ( x) ? lg x 2 ? 3 x 的定义域为集合 A ,函数 g ( x) ? 定义域为集合 B .(其中 a ? R ,且 a ? 0 ) (1)当 a ? 1 时,求集合 B ; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围. 解: (1) B ? ?1,3? (2)当 a ? 0 时, B ? ? a,3a ? , A ? ? ??, 0 ? ? ? 3, ?? ? , A ? B ? ? ,所以 a ? 1 17. 在等腰直角 ?ABC 中, ?A ?

?

?

? x 2 ? 4ax ? 3a 2 的

?
2

??? ? ???? ? 满足 BC ? 3BM , AB ? AC ? 1 , M 是斜边 BC 上的点,
C M A B

???? ? ??? ? ???? (1)试用向量 AB, AC 来表示向量 AM ;
(2)若点 P 满足 AP ? 1 ,求 AP ? BM 的取值范围.

??? ?

??? ? ???? ?

P

? 1 ???? ???? ? 2 ??? 解: (1) AM ? AB ? AC 3 3

??? ? ???? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ? 2 2? AP ? BM ? AP ? BC ? AP ? BC cos ? ? ? ? , ? 3 3 3 3 ? ? (2)
18.已知函数 f ? x ? ? a sin x cos x ? 3a cos x , ( a 为常数且 a ? 0 ).
2

(1)若函数的定义域为 ? 0,

? ? 3 ?? ? ?? ? 1? ,值域为 ?0, ? ? ? ? ,求 a 的值; ? 2? ? ? ?? ? ? 2 ?

(2) 在 (1) 的条件下, 定义区间 ? m, n ? , ? m, n ? , ? m, n ? , ? m, n ? 的长度为 n ? m , 其中 n ? m ,

4

若不等式 f ? x ? ? b ? 0 ,x ? ? 0, ? ? 的解集构成的各区间的长度和超过

?
3

, 求 b 的取值范围.

? 3 ? ?? ? ? ?? 2x ? ? ? , x ? ?0, ? ? 2 ? sin ? ? 3 ?? ? ? 2? ? ? ? 3? ? 所以 f ? x ? 的值域是 ? 0, ?1 ? ? ? ? a ? ,所以 a ? 1 2 ? ? ? ? ? ?
解: (1) f ? x ? ? a ?

3 ? ? ?b ? 3? 2 3 1 1 3 ? 要使解集构成的各区间的长度和超过 ,需 ?b ? ? ,所以 b ? ? ? 2 2 2 2 3
(2) 即 sin ? 2 x ?

3 ?? ? ? sin ? 2 x ? ? ? b ? 0 2 3? ?

? ?

??

19.设函数 f ( x) ? x ? ax ? b , a, b ? R .
2

(1)若 a ? b ? 3 ,当 x ? [1, 2] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数对 (a, b) ,使得不等式 f ( x) ? 2 在区间 ?1,5? 上无解,若存在,试求出 所有满足条件的实数对 (a, b) ;若不存在,请说明理由. 解: (1)由 f ( x) ? 0 ,即 a ( x ? 1) ? ?( x ? 3) .
2

当 x ? 1 时,恒成立; 当 x ? (1,2] 时,得 a ? ?

x2 ? 3 ,令 t ? x ? 1 ? (0,1] x ?1 x2 ? 3 ? 4? ? ? ? ? t ? ? ? 2 ? ?7 x ?1 ? t?

综上:有 a ? ?7 .

??2 ? f (1) ? 2 ? (2)法一:要使 | f ( x) |? 2 在区间 [1,5] 上无解,必须满足 ? ?2 ? f (3) ? 2 ??2 ? f (5) ? 2 ?
??2 ? 1 ? a ? b ? 2① ? 即 ? ?2 ? 9 ? 3a ? b ? 2② ??2 ? 25 ? 5a ? b ? 2③ ?

5

相加得: ?4 ? 8 ? 2a ? 4 ? ?6 ? a ? 2 ??2 ? 9 ? 3a ? b ? 2② ??2 ? ?9 ? 3a ? b ? 2② 再由 ? 相加得: ?4 ? 16 ? 2a ? 4 ? ?10 ? a ? ?6 ??2 ? 25 ? 5a ? b ? 2③ 可以解得: a ? ?6 ,代入不等式组,得到 b ? 7 . 检验 a ? ?6 , b ? 7 时, | f ( x) |? 2 在区间 [1,5] 上恒成立 所以满足题意的是实数对 (a, b) 只有一对: (?6,7) . 由? 法二:分类讨论

??2 ? ?1 ? a ? b ? 2①

6


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