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山西省长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中2013届高三第四次四校联考数学(文)试题


山 西 省 长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中 2013 届 高 三 第 四 次 四 校 联 考

数学试题(文)
(满分 150 分,考试时间 120 分)

第Ⅰ卷(共 60 分)[
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A ? x lg( x ? 1) ? 0 ,集合 B ? x 2 ? 1 ,则 A ? B =
x

A. x ? 1 ? x ? 1

?

?

?

?

B. x x ? 0

?

?

?

C. x ? 1 ? x ? 0

?

?

?

D. x x ? 1

?

?

2.已知复数 z ? A. 1 ? i

2i ,则 z ? z ? 1? i
B. 2 C. 1 ? i D.0

2 3.设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , a 2 、 a 5 是方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个根, S 6 ?

A.

9 2

B. 5

C. ?

9 2

D. ? 5

4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 5.下列选项中,说法正确的是
2 A.“ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ”

2

B.若 向 量 a , b 满 足 a ? b ? 0 , 则 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 C.若 am2 ? bm2 ,则 a ? b D.命题“ p ? q 为真”是命题“ p ? q 为真”的必要不充分条件 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 4 B.5 C. 6 D.7 7.已知平面向量 a ? (1,2), a ? b ? 10, a ? b ? 5 3 , 则 b = A. 5 2 C. 3 2 B. 25 D. 2 5
四校四联文数试题 第 1 页 共 9 页

? ?

? ?

?

?

?

? ?

?

?

?

8.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (其中 ? ?

?
2

)的图像如图所

示,为了得到 g ( x) ? sin ?x 的图像,则只要将 f (x) 的图像

? 个单位长度 6 ? C. 向左平移 个单位长度 3
A. 向左平移

? 个单位长度 6 ? D. 向右平移 个单位长度 3
B. 向右平移

9.若 k ? ?? 3,3? ,则 k 的值使得过 A(1,1) 可以做两条直线与圆 ( x ? k ) 2 ? y 2 ? 2 相切的概率 等于 A.

1 2

B.

1 3

C.

2 3

D.

3 4

x2 y2 10.已知 F1 , F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,过 F1 垂直与 x 轴的直线交 a b 椭圆于 A, B 两点,若 ?ABF2 是锐角三角形,则椭圆离心率的范围是
A. (0, 2 ? 1) B. (1, 2 ? 1) C. ( 2 ? 1,1) D. (0,

2 ) 2

11.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (4) ? 1 , f ?(x) 为 f (x) 的 导函数,已知 y ? f ?(x) 的图像如图所示,若两个正数 a 、 b

b ?1 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 的取值范围是 a?2 5 1 5 A. ( ,?? ) B. (??, ) ? ( ,??) O x 2 4 2 1 1 5 C. (0, ) D. ( , ) 4 4 2 12.若定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 满足 f ?x ? 2? ? f ?x ? 且 x ? ?0,1?时, f ?x ? ? x, 则方程
f ? x ? ? log 3 x 的零点个数是
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.多于 4 个

y

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.在 ?ABC 中,若 2 sin A ? sin C , a ? b, 则角 A ?
2 2 2





14.已知圆 x ? y ? 6 x ? 7 ? 0 与抛物线 y ? ax (a ? 0) 的准线相切,则 a ? ▲ ; 15.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球体的表面 积为 ▲ ; 16.已知函数 f ( x) ? ▲ .
四校四联文数试题 第 2 页 共 9 页

x2 ?

a ? 9 的定义域为 ?x x ? R, x ? 0?,则实数 a 的取值范为 x2

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (Ⅰ)求数列 ?a n ? 和 ?bn ? 的通项公式;

17. (本题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , Sn ? 2an ?1 n ? N)? , bn ? log 2 4an . 且 ( (Ⅱ)求数列 ?a n ? bn ?的前 n 项和 Tn .

18.(本题满分 12 分)为了调查某大学学生在周日上网的时间,随机对 100 名男生和 100 名女 生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果: 表 1:男生上网时间与频数分布表 上网时间(分钟) 人数

?30, 40 ? ?40, 50 ? ?50, 60 ? ?60,70? ?70, 80?
5 25 30 25 15

表 2:女生上网时间与频数分布表 上网时间(分钟) 人数

?30, 40 ? ?40, 50 ? ?50, 60 ? ?60,70? ?70, 80?
10 20 40 20 10

(Ⅰ)若该大学共有女生 750 人,试估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数; (Ⅱ)完成表 3 的 2? 2 列联表,并回答能否有 90%的把握认为“学生周日上网时间与性 别有 关”? (Ⅲ)从表 3 的男生中“上网时间少于 60 分钟”和“上网时间不少于 60 分钟”的人数中用分 层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本,再从中任取两人,求至少有一人上网时间超过 60 分 钟的概率. 表3 : 上网时间少于 60 分钟 上网时间不少于 60 分钟 合计 男生 女生 合计

n(ad ? bc) 2 附: k ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )
2

P ( K 2 ? k0 )

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.84

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

k0

19. (本小题满分 12 分)在如图所示的几何体中,平面 ACE ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为平行四边形,

?ACB ? 90 ? , EF // BC , AC ? BC ? 2, AE ? EC ? 2 . (Ⅰ)求证: AE ? 平面 BCEF ; (Ⅱ)求三棱锥 D ? ACE 的体积.
四校四联文数试题 第 3 页 共 9 页

20.(本小题满分 12 分) 椭圆的左、右焦点分别为 F1 ( ? 3 ,0) 和 F2 ( 3 ,0) ,且椭圆过点 (1,? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 (?

3 ). 2

6 ,0) 作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M , N 两点, A 为椭圆的左顶点,试 5 判断 ?MAN 的大小是否为定值,并说明理由.
设 f ( x) ? e (ax ? x ? 1) .
x 2

21.(本小题满分 12 分)

(Ⅰ)若 a ? 0 ,讨论 f (x) 的单调性; (Ⅱ) x ? 1 时, f (x) 有极值,证明:当 ? ? ?0,

? ?? ? 时, f (cos? ) ? f (sin ? ) ? 2 . ? 2?

请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本小题满分 10) 《选修 4—1:几何证明选讲》 如图, 已知⊙O 是 ?ABC 的外接圆,AB ? BC, AD 是 BC 边 上的高, AE 是⊙O 的直径. (I)求证: AC ? BC ? AD ? AE ; (II)过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 F , 若 AF ? 2, CF ? 4 ,求 AC 的长. 23.(本小题满分 10) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两 个坐标系取相等的长度单位. 已知直线 l 的参数方程为 ? 曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? 4 cos? .
2

F
A

? O
B

D

C

E

? x ? 1 ? t cos? (t 为参数, 0<α <π ), ? y ? t sin ?

(I)求曲线 C 的直角坐标方程; (II)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 α 变化时,求|AB|的最小值. 24.(本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 设错误!未找到引用源。 (I)当 a ? 5 错误!未找到引用源。,解不等式 f ( x) ? 3 ; (II)当 a ? 1 时,若 ? x ? R ,使得不等式 f ( x ? 1) ? f (2 x) ? 1 ? 2m 成立错误!未找到引 用源。,求实数 m 的取值范围.

2013 届高三年级第四次四校联考数学试题(文)参考答案
四校四联文数试题 第 4 页 共 9 页

一、选择题 题号 答案 二、填空题 1 C 2 B 3 A 4 B 5 D 6 B 7 A 8 B 9 C 10 C 11 D 12 C

? 13. 4
三、解答题

1 14. 16

7?a 2 15. 3

16. a ?

81 4

17.解: (1) n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 ,? an ? 2an?1 ,则 数列 ?a n ? 为等比数列,公比为 2 由 --------6 (2) an ? bn ? (n ? 1) ? 2n ?1

an ? 2, a n ?1

--------3

n?1





a1 ? 2a1 ? 1? a1 ? 1,? an ? 2 n?1 , bn ? n ? 1

? Tn ? 2 ? 2 0 ? 3 ? 21 ? 4 ? 2 2 ? ?? ? (n ? 1) ? 2 n ?1 2Tn ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? 4 ? 2 3 ? ?? ? (n ? 1) ? 2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9 2(1 ? 2 n ?1 ) ? ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2 ? ? (n ? 1) ? 2 n ? ?n ? 2 n 1? 2 n ? Tn ? n ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12
1 2 n ?1 n

18.解: (1)设估计上网时间不少于 60 分钟的人数 x , 依据题意有

x 30 ,解得: x ? 225 , ? 750 100
3分 合计 100 100 200 5分

所以估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数是 225 人 (2)根据题目所给数据得到如下列联表: 上网时间少于 60 分钟 男生 女生 合计 60 70 130 上网时间不少于 60 分钟 40 30 70

其中 K ?
2

200 (60 ? 30 ? 40 ? 70) 2 200 ? ? 2.198 ? 2.706 100 ? 100 ? 130 ? 70 91
四校四联文数试题 第 5 页 共 9 页

7分

因此,没有 90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关” 8分 (3)因为上网时间少于 60 分钟与上网时间不少于 60 分钟的人数之比为 3 : 2 ,所以 5 人中上 网时间少于 60 分钟的有 3 人,记为 A, B, C , 上网时间不少于 60 分钟的有 2 人,记为 D, E ,

从中任取两人的所有基本事件为: AB ) AC ) AD ) AE ) BC ) BD ) BE ) ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( , ( CD )( CE )( DE ) , , ,共 10 种, 10 分 其中“至少有一人上网时间超过 60 分钟”包含了 7 种, ? P ? 分 19.解:(1)∵平面 ACE ? 平面 ABCD,且平面 ACE ? 平面 ABCD=AC

7 10

12

? BC ? AC
AE ? 平面 AEC
又 AC ?

BC ? 平面 BCEF ? BC ? AE ,

? BC ? 平面 AEC
3分

2 , AE ? EC ? 1 ? AC 2 ? AE 2 ? CE 2 ? AE ? EC
5分

且 BC ? EC ? C ,? AE ? 平面 ECBF. (2)设 AC 的中点为 G,连接 EG,? AE ? CE

? EG ? AC

∵平面 ACE ? 平面 ABCD,且平面 ACE ? 平面 ABCD ? AC ,

? EG ? 平面 ABCD
1 S ?ACD ? EG 3 1 1 1 EG ? AC ? 1 ? S ?ACD ? AC ? AD ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 2 1 2 2 即三棱锥 D-ACF 的体积为 . ?VD ? ACF ? ? 2 ? 1 ? 3 3 3 ?VD ? ACE ? VE ? ACD ?

9分

12 分

20.解(1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,由题可知: a2 b2
4分

?a 2 ? b 2 ? 3 ? 2 x2 ? ?a ? 4 ,解得 ? ,所以椭圆的方程 ? y2 ?1 ?1 3 4 ?b 2 ? 1 ? 2 ? 2 ?1 ? 4b ?a
(2)设直线 MN 的方程为 x ? ky ?

6 ,联立方程组可得 5

四校四联文数试题

第 6 页 共 9 页

6 ? ? x ? ky ? 5 12 64 ? 2 2 ky ? ?0 ,化简得: (k ? 4) y ? ? 2 5 25 x 2 ? ? y ?1 ?4 ?
设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,则 y1 y 2 ? ? 又 A(?2,0) ,则

6分

64 12k , y1 ? y 2 ? , 2 25(k ? 4) 5(k 2 ? 4)

8分

4 16 AM ? AN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x 2 ? 2, y 2 ) ? (k 2 ? 1) y1 y 2 ? k ( y1 ? y 2 ) ? ? 0, 5 25
所以 AM ? AN ,所以 ?MAN 的大小为定值
x 2 x x 21.解: (1) f ?( x) ? e (ax ? x ? 1) ? e (2ax ? 1) ? ae ( x ?

12 分

1 )( x ? 2) a
4分

3分

当a ?

1 1 x 2 时, f ?( x) ? e ( x ? 2) ? 0 , f (x) 在 R 上单增; 2 2

当0 ? a ?

1 1 1 时, f ?( x) ? 0 ? x ? ?2 或 x ? ? , f ?( x) ? 0 ? ? ? x ? ?2 a 2 a
5分

? 1? ? 1 ? f (x) 在 ? ? ?, ? ? 和 ?? 2, ? ?? 上单调递增,在 ? ? , ? 2? 上单调递减。 ? a? ? a ?
当a ?

1 1 时, f ?( x) ? 0 ? x ? ? 或 x ? ?2 , 2 a

f ?( x) ? 0 ? ?2 ? x ? ?

1 a
6分 7分

? 1? ? 1 ? f (x) 在 ?? ?, ? 2? 和 ? ? , ? ? ? 上单调递增,在 ? ? 2, ? ? 上单调递减。 ? a? ? a ?
(2)? x ? 1时, f (x) 有极值, ? f ?(1) ? 3e(a ? 1) ? 0 ?a ? ?1

? f ( x) ? e x (? x 2 ? x ? 1)

f ?( x) ? ?e x ( x ? 1)( x ? 2)

f ?( x) ? 0 ? ?2 ? x ? 1

? f (x) 在 ?? 2,1? 上单增。

10 分

? ?? ? ? ? ?0, ? ? sin? , cos? ? ?0,1? ? 2?
? f (cos? ) ? f (sin ? ) ? f (1) ? f (0) ? e ? 1 ? 2
22.(本小题满分 10)选修 4-1:几何证明选讲
四校四联文数试题 第 7 页 共 9 页

12 分

解 :( I ) 证 明 : 连 结 BE , 由 题 意 知 ?ABE 为 直 角 三 角 形 . 因 为

?ABE ? ?ADC ? 90 ? , ?AEB ? ?ACB,
所以 ?ABE ∽ ?ADC 则 3分

AB AE ,则 AB ? AC ? AD ? AE . ? AD AC
5分
2

又 AB ? BC ,所以 AC ? BC ? AD ? AE (II)因为 FC 是⊙O 的切线,所以 FC ? AF ? BF , 又 AF ? 2, CF ? 4 ,所以 BF ? 8, AB ? BF ? AF ? 6 . 因为 ?ACF ? ?FBC, 又?CFB ? ?AFC ,所以 ?AFC ∽ ?CFB 则

7分

AF AC AF ? BC ,即 AC ? ? ? 3. FC BC CF
2 2

10 分

23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (I)由 ? sin ? ? 4 cos? ,得 ( ? sin ? ) ? 4 ? cos? 所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x .
2 2

4分

(II)将直线 l 的参数方程代入 y ? 4 x ,得 t2sin2α-4tcosα-4=0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2,则 t1+t2=

4 cos? 4 ,t1t2= ? , 2 sin ? sin 2 ?
2

6分

16 cos2 ? 16 4 ? ? ∴|AB|=|t1-t2|= ?t1+t2? -4t1t2= , 4 2 sin ? sin ? sin 2 ?
π 当 α= 时,|AB|的最小值为 4 2 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (I) a ? 5 时原不等式等价于 | x ? 5 |? 3, 即 ? 3 ? x ? 5 ? 3,2 ? x ? 8 所以解集为 x 2 ? x ? 8 10 分

8分

?

?

4分

(II)当 a ? 1 时, f ( x) ?| x ? 1 | 。
四校四联文数试题 第 8 页 共 9 页

1 ? ?? 3 x ? 3, x ? 2 ? 1 ? 令 g ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( 2 x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1 |? ? x ? 1, ? x ? 2 2 ? ?3 x ? 3, x ? 2 ? ?
由图像知:当 x ? 由题意知:

6分

1 3 时, g (x) 取得最小值 。 2 2

8分 10 分

3 1 ? 1 ? 2m ,所以实数 m 的取值范围为 m ? ? . 4 2

四校四联文数试题

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