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江门市普通高中2015届高三调研测试(文数)


江门市 2015 届普通高中高三调研测试 数 学(文科)

本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 注意事项: ⒈答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 ⒉做选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号。 ⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签

字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。 ⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。 ⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。 1 参考公式:锥体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. ⒈设 A ? x | x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 , B ? ?1 , 2 , 3 , 4 , 5 ? ,则 A ? B ? A. ? 1 ?
11 ? ? 3

?

?

B. ? 5 ?

C. ?1 , 5 ?

D. ?

⒉ sin

A.

3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

⒊已知 i 是虚数单位,若复数 Z ? a ? bi ( a , b ? R )在复平面内对应的点位于第四象限,则复 数 Z ? i 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

⒋双曲线 16x 2 ? 9 y 2 ? 144 的离心率 e ? A.
25 16

B.

25 9

C.

5 4

D.

5 3

⒌将正弦曲线 y ? sin x 上所有的点横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,所得曲线对应的函数的 最小正周期 T ? A. ? B. 2? C. 4? D.

? 2

⒍已知 ?a n ? 是等比数列, a1 ? 1 , a3 ? 2 ,则 a 2 ? A.
3 2

B. 2

C. 2 或 ? 2

D.以上都不对

1

⒎函数 f ( x) ? 1 ?

2 2 ?1
x

在其定义域上是 B.单调递增的减函数 D.偶函数且在 (0 , ? ?) 上单调递减

A.单调递增的奇函数 C.偶函数且在 (0 , ? ?) 上单调递增

⒏直线 l 经过点 P(?3 , 4) 且与圆 x 2 ? y 2 ? 25 相切,则直线 l 的方程是
4 A. y ? 4 ? ? ( x ? 3) 3 4 C. y ? 4 ? ? ( x ? 3) 3

B. y ? 4 ?

3 ( x ? 3) 4

1 1 正视图 1

1 1 侧视图

3 D. y ? 4 ? ( x ? 3) 4

⒐某三棱锥的三视图如图 1 所示,这个三棱锥最长棱 的棱长是 A. 1 C. 3 B. 2 D. 2

1 俯视图

图1

? ?ax 2 , ⒑已知函数 f ( x) ? ? ? ?ln x ,

x ? e, ,其中 e 是自然对数的底数,若直线 y ? 2 与函数 y ? f ( x) 的图象 x ? e.

有三个交点,则常数 a 的取值范围是 A. ( ?? , 2) B. (?? , 2] C. (2e ?2 , ? ?) D. [2e ?2 , ? ?)

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) ⒒抛物线 x 2 ? 2 y 的准线方程为 .

?y ? x ? ⒓若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?x ? 2 ?



⒔已知定义在区间 (?? , 0 ) 上的函数 f ( x) ? x sin x ? cos x ,则 f ( x) 的单调递减区间是 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ⒕如图 2,正方体的底面与正四面体的底面在同一平 面 ? 上,且棱 AB 所在的直线与棱 CD 所在的直线 互相平行,正方体的六个面所在的平面与直线 CE、 EF 相 交 的 平 面 个 数 分 别 记 为 m , n , 那 么
m?



;n?



图2

2

⒖若函数 f ( x) 满足条件: ① ?x ? R ,f ( x) ? 0 ; ② ?x1 , x 2 ? R ,f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) f ( x 2 ) ; ③ f ( 2) ? 1 . 则 ⑴ f ( x) ? ; (写出一个满足条件的函数即可) .

⑵根据⑴所填函数 f ( x) , f (?1) ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分)

? 已知函数 f ( x) ? A sin(x ? ) , x ? R ,且 f (0) ? 1 . 4 ⑴求 A 的值;
1 ⑵若 f (? ) ? ? , ? 是第二象限角,求 cos? . 5

⒘(本小题满分 14 分) 如图 3,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A、B 的一点. ⑴求证:平面 PAC⊥平面 PBC; ⑵若 PA=AB=2,∠ABC=30° ,求三棱锥 P-ABC 的体积.

⒙(本小题满分 14 分) 设数列 ?a n ? 、 ?bn ?满足: an ? (?1) n (n 2 ? 1) , bn ? an ? an?1 , n ? N ? . ⑴求 a 1 的值; ⑵求数列 ?bn ?的通项公式; ⑶求数列 ?a n ? 的前 100 项和 S 100 的值.

3

⒚(本小题满分 12 分) 某农户建造一间背面靠墙的小房, 已知墙面与地面垂直, 房屋所占地面是面积为 12 m2 的矩形, 房屋正面每平方米的造价 为 1200 元, 房屋侧面每平方米的造价 为 800 元, 屋顶的造价为 5200 元. 如 ....... ....... 果墙高为 3 m,且不计房屋背面和地面的费用,问怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多 少?

⒛(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的焦点为 F1 (?4 , 0) 、 F2 (4 , 0) ,且经过点 P(3 , 1 ) . ⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵若点 M 在椭圆 C 上,且 OM ?

1 PF1 ? ? PF2 ,求 ? 的值. 2

21(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? 2 x ? 1( a ? R ) . ⑴求曲线 y ? f ( x) 在点 ( 0 , f (0) ) 处的切线方程; ⑵是否存在常数 a , 使得 ?x ?[ ? 2 , 4 ] , f ( x) ? 3 恒成立?若存在, 求常数 a 的值或取值范围; 若不存在,请说明理由.

4

参考答案
一、选择题 BBADC CABCD 二、填空题 ⒒y??

1 (或等价方程) 2

⒓?2

⒔ (?

?
2

, 0 ) (或 [?

?
2

, 0 ) ,端点对即给 5 分)

⒕4,4(填对任何一空给 3 分,全对给 5 分) ⒖ ( ) x 或 ( ) x 或其他或 a x (其中 0 ? a ? 1 )……第 1 空 3 分,第 2 空 2 分; 若第 1 空填诸如 2 x 或 a x ……本小题给 2 分

1 2

2 3

三、解答题 ⒗解:⑴依题意, A sin

?
4

? 1 ……2 分, A ?

2 ? 1 ……3 分, A ? 2 ……4 分 2

⑵(方法一)由⑴得, f ( x) ? 2 sin(x ?

?
4

) ? sin x ? cos x ……6 分

1 1 由 f (? ) ? ? 得, sin ? ? cos ? ? ? ……7 分 5 5 1 1 sin ? ? ? cos ? ? , sin 2 ? ? (? cos ? ? ) 2 ……8 分 5 5 2 1 1 12 1 ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos ? ? ……9 分, cos 2 ? ? cos ? ? ? 0 ……10 分 5 25 5 25
解得 cos ? ?

3 4 或 cos ? ? ? ……11 分 5 5

∵ ? 是第二象限角, cos ? ? 0 ,∴ cos ? ? ? ……12 分 (方法二)由⑴得, f ( x) ? 2 sin(x ?

4 5

?
4

) ……5 分

? 2 1 由 f (? ) ? ? 得, sin(? ? ) ? ? ……6 分 5 4 10
∵ ? 是第二象限角, 2k? ? ∴??

?
2

? ? ? 2k? ? ? , 2k? ?

3? ? 5? ……7 分, ? ? ? ? 2k? ? 4 4 4

?
4

是 第 二 或 第 三 象 限 角 ( 由 sin(? ?

?
4

)??

2 ? ?0 知 ? ? 是第三象限角) , 10 4

cos(? ?

?
4

) ? ? 1 ? sin 2 (? ?

?
4

) ??

7 2 ……9 分(列式 1 分,计算 1 分) 10

cos ? ? cos[(? ?

?

) ? ] ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? ) sin ……11 分 4 4 4 4 4 4
5

?

?

?

?

?

??

7 2 2 2 2 4 ? ? ? ? ? ……12 分 10 2 10 2 5

⒘证明与求解:⑴设⊙O 所在的平面为 ? , 依题意,PA ? ? ,BC ? ? ,∴PA ? BC……2 分 ∵AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上不同于 A、B 的一点,∴AC ? BC……3 分 ∵PA∩AC=A,∴BC ? 平面 PAC……5 分 ∵BC ? 平面 PBC,∴平面 PAC⊥平面 PBC……7 分 ⑵∵PA ? ? ,∴三棱锥 P-ABC 的体积 V ?

1 S ?ABC ? PA ……9 分 3

∵AB=2,∠ABC=30° ,AC ? BC,∴AC=1,BC= 3 ……11 分

S ?ABC ? V?

1 3 ? AC ? BC ? ……13 分 2 2

1 1 3 3 S ?ABC ? PA ? ? ?2? ……14 分 3 3 2 3

⒙解:⑴ a1 ? (?1)1 (12 ? 1) ? ?2 ……2 分 ⑵ bn ? (?1) n (n 2 ? 1) ? (?1) n?1[(n ? 1) 2 ? 1] ……3 分

? (?1) n?1[(n ? 1) 2 ? 1 ? n 2 ? 1] ……5 分, ? (?1) n?1 (2n ? 1) ……6 分
⑶由已知, S100 ? b1 ? b3 ? b5 ? ?b99 ……8 分
? 3 ? 7 ? 11 ? ? ? 199 ……10 分

?

(3 ? 199) ? 50 ……13 分, ? 5050 ……14 分 2

⒚解:设房屋地面长为 x m,宽为 y m,总造价为 z 元( x , y , z ? 0 ) ,则

xy ? 12 ……1 分
z ? 3 y ? 1200 ? 2 ? 3x ? 800 ? 5200 ……4 分
∵y?

12 12 ? 3600 ,∴ z ? ? 4800x ? 5200 ……5 分 x x

∵ x , y ? 0 ,∴ z ? 2 12 ? 3600 ? 4800 ? 5200 ……8 分, ? 34000 ……9 分 当

12 ? 3600 ? 4800x 时……10 分,即 x ? 3 时, z 取最小值,最小值为 34000 元……11 分 x

答:房屋地面长 3 m,宽 4 m 时,总造价最低,最低总造价为 34000 元……12 分

6

⒛解:⑴(方法一)依题意,设椭圆 C 的标准方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ( a ? b ? 0 )……1 分

2a ?| PF1 | ? | PF2 | ……2 分,

? (3 ? 4) 2 ? 12 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? 6 2 ,∴ a ? 3 2 ……4 分
c ? 4 ……5 分,∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ……6 分

椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 ……7 分 18 2
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 ( a ? b ? 0 )……1 分

(方法二)依题意,设椭圆 C 的标准方程为

∵ c ? 4 ……2 分,∴ a 2 ? b 2 ? c 2 ? b 2 ? 16 , ∵点 P(3 , 1 ) 在椭圆 C 上,∴

y2 x2 ? ? 1 ……3 分 b 2 ? 16 b 2

9 1 ? 2 ? 1 ……4 分 b ? 16 b
2

b 4 ? 6b 2 ? 16 ? 0 ……5 分,解得 b 2 ? 2 或 b 2 ? ?8 (负值舍去)……6 分 a 2 ? b 2 ? 16 ? 18 ,椭圆 C 的标准方程为
⑵ OM ?

x2 y2 ? ? 1 ……7 分 18 2

1 1 2? ? 7 2? ? 1 PF1 ? ? PF2 ? (?7 , ? 1) ? ? (1 , ? 1) ? ( , ? ) ……9 分 2 2 2 2

点 M 的坐标为 M (

2? ? 7 2? ? 1 , ? ) ……10 分 2 2 1 2? ? 7 2 1 2? ? 1 2 ?( ) ? (? ) ? 1 ……11 分 18 2 2 2 1 7 或 ? ? ? ……14 分 2 10

∵点 M 在椭圆 C 上,∴

即 20?2 ? 4? ? 7 ? 0 ……12 分,解得 ? ?

21.解:⑴ f / ( x) ? 3ax 2 ? 2x ? 2 ……1 分,所求切线的斜率 k ? f / (0) ? 2 ……2 分 所求切线方程为 y ? f (0) ? k ( x ? 0) (或 y ? kx ? f (0) )……3 分 即 y ? 2 x ? 1 ……4 分 ⑵ ( 方 法 一 ) 由 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? 2x ? 1 ? 3 , 作 函 数 g ( x) ?

4 2 1 ? 2 ? ,其中 3 x x x

x ?[ ? 2 , 0) ? (0 , 4] ……5 分
g / ( x) ? ? 12 4 1 1 ? 3 ? 2 ? 4 ( x ? 6)( x ? 2) ……6 分 4 x x x x

x
g / ( x)
g ( x)

[ ? 2 , 0)
- ↘

(0 , 2)
- ↘

2
0 极小值

(2 , 4]
+ ↗

7

……9 分(每行 1 分) 由上表可知, ?x ?[ ? 2 , 0) , g ( x) ? g (?2) ? ? ……11 分 由 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? 2x ? 1 ? 3 , 当 x ? (0 , 4] 时 , a ?

1 1 ; ?x ? (0 , 4] , g ( x) ? g (2) ? ? 2 2

4 2 1 ? 2 ? , a 的取值范围为 3 x x x

4 2 1 1 1 (?? , ? ] ,当 x ?[ ? 2 , 0) 时, a ? 3 ? 2 ? , a 的取值范围为 [? , ? ?) ……13 分 x x x 2 2

1 1 1 ? 1? ∵ (?? , ? ] ? [? , ? ?) ? ?? ? , f (0) ? ?1 ? 3 恒成立,∴ a ? ? ……14 分 2 2 2 ? 2?
(方法二) a ? 0 时, f (4) ? 64a ? 23 ? 23 不符合题意……5 分
a ? 0 时,解 f / ( x) ? 3ax 2 ? 2x ? 2 ? 0 得 x1 ?

? 1 ? 1 ? 6a ? 1 ? 1 ? 6a , x2 ? 3a 3a

x
g / ( x)
g ( x)

(?? , x1 )
- ↘

x1
0 极小值

( x1 , x 2 )
+ ↗

x2
0 极大值

( x2 , ? ?)
- ↘

? f (?2) ? ?8a ? 1 ? 3 1 5 ……8 分,由 ? ……10 分,解得 ? ? a ? ? ……11 分 2 16 ? f (4) ? 64a ? 23 ? 3
此时 x 2 ?

2 1 ? 6a ? 1
3 2

? 4 , x1 ?

? 1 ? 1 ? 6a ?2 ? ? ?2 ……12 分 3a 1 ? 6a ? 1
2

∴ f ( x2 ) ? ax2 ? x2 ? 2 x2 ? 1 ? 3 ,即 x2 ? 4x2 ? 12 ? 0 , ? 6 ? x2 ? 2 ……13 分 解 x2 ?

2 1 ? 6a ? 1

? 2得a ? ?

1 1 ,综上所述 a ? ? ……14 分 2 2

8


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