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2008年辽宁省高中数学竞赛初赛试题及答案


2008 年辽宁省高中数学竞赛初赛试题及答案

1.设集合 M={u|u=12m+8n+4l,m,n,l∈Z},N={u|u=20p+16q+12r,p,q,r∈Z },则 M 与 N 的关系为( ) A.M=N B. C. D.

2.设一个四面体的体积为 V1, 以它的各棱的中点为顶点构成一个凸多面体, 其体积为 V2, 则为( ) A. B. C. D.不确定

3.在 1,2,3,4,5 的排列 a1,a2,a3,a4,a5 中,满足 a1<a2,a2>a3,a3<a4, a4>a5 的排列的个数为( ) A.24 B.16 C.10 D.8

4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p≠q.若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列, 则一元二次方程 bx2-2ax+c=0( ) A.有两个相等实根 C.有两个异号实根 B.有两个同号互异实根 D.无实根

5.若为奇函数且在[0,]为减函数,则 θ 的一个值为( ) A.π B.π C.D.-

6.已知 x,y 满足若 z=ax+y 的最大值为 3a+9,最小值为 3a-3,则 a 的取值范围是( ) A.0≤a≤1 B.-1≤a≤0 C.-1≤a≤1 D.a≤-1 或 a≥1

二、填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7.设圆 Ck={(x,y)|(x-mk)2+(y-mk)2≤2k2},k∈N+,其中 mk 定义如下:m1=0, mk+1=mk+2k+1(k≥1),则的面积为____. 8.已知复数集合 D,复数 z∈D 当且仅当存在模为 1 的复数 z1 使得.则 D 中实部和虚部都 为整数的复数的个数是____. 9.一个正方体的任意 4 个不在同一平面上的顶点 A、B、C、D 组成的二面角 A-BC-D 的 余弦值中,小于的值的个数是____.

10.设 A={1,2,3,…,n}(n>1,n∈N),映射 f:A→A.则满足 f(1)≤f(2)≤…≤f(n),且象恰好取 k(1<k≤n)个不同值的 f 的个数为____. 11.设 F 为抛物线 y2=2x-1 的焦点,Q(a,2)为直线 y=2 上一点,若抛物线上有且仅有一点 P 满足|PF|=|PQ|,则 a 的值为____. 12.设 x, y>0,S(x,y)=min{x,y,,},则 S(x,y)的最大值为____. 三、解答题(本题共 4 道小题,满分 90 分) 13.(本小题满分 20 分)设 0<α,β,γ<满足 cos2α+cos2β+cos2γ+2cosαcosβcosγ=1. 求证:. 14.(本小题满分 20 分)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,过(-,0)的直线在第一象限交抛 物线于 C、D 两点,若在 x 轴上存在点 E,使 CE⊥DE,求直线 CD 的斜率 k 的取值范围. 15.(本小题满分 25 分)AN 是△ABC 的角平分线,AN 的延长线交△ABC 的外接圆于 D; M 是 AN 上一点,直线 BM 和 CM 分别交△ABC 外接圆于 E 和 F;DF 交 AB 于 P,DE 交 AC 于 Q.求证:P、M、Q 三点共线.

16.(本小题满分 25 分)设集合 M={n|n!可以表示为(n-3)个连续正整数之积,且 n>4}.证明 M 是有限集,并求出 M 的所 有元素. 参考答案及评分标准

一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.A 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 二、填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7. 8.49 9.4 10. 11.0 或 1 12.

三、解答题(本题共 4 道小题,满分 90 分)

13.(本小题满分 20 分) 解:由已知 cos2α+cos2β+cos2γ+2cosαcosβcosγ=1,得 (cosγ+cosαcosβ)2=(1-cos2α)(1-cos2β)=sin2αsin2β. 由 α,β,γ∈(0,),得 cosγ+cosαcosβ=sinαsinβ. cosγ=-(cosαcosβ-sinαsinβ) =-cos(α+β)=cos(π-α-β). ……(5 分)

而 π-α-β,γ∈(0,),所以 α+β+γ=π. 所以 α,β,γ 是某一个锐角三角形的三内角. 令 x=sinα;y=sinβ;z=sinγ, x,y,z 可构成某一个三角形的三边长. . ……(15 分) 由|x-y|<z,|y-z|<x,|z-x|<y, 于是≤. ……(20 分) 14.(本小题满分 20 分) 解:过的直线方程为,代入抛物线方程,得 . ……(5 分) 设直线与抛物线的交点为 C(x1,y1),D(x2,y2),则有 ,; ,, . ……(10 分) 设点 E 的坐标为(x0,0),由 CE⊥DE, ……(10 分)

(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=0,即. 代入并整理得 . ……(15 分) 由于点 E 存在,故, 解得.因为 C,D 在第一象限,故 k>0, 所以,. ……(20 分) 15.(本小题满分 25 分) 证明:连接 PM、QM、BD. ∵∠PAD=∠MAC,∠ADP=∠ACM, ∴△ADP∽△ACM,AP:AM=PD:MC. ……(5 分)

∵∠BPD=∠PAD+∠ADP=∠MAC+∠ACM=∠NMC, 又∠FDB=∠FCN, ∴△BDP∽△NCM, PB:MN=PD:MC. ∴AP:AM=PB:MN. ∴PM‖BC. ……(20 分) ……(15 分)

同理可证 QM‖BC, 故 P、M、Q 三点共线. 16.(本小题满分 25 分) 解:设 n∈M,则 n!=1×2×…×n=m(m+1)…(m+n-4), 若 m≤4 时,则 m(m+1)…(m+n-4)≤4×5×…×n<n! ……(25 分)

故必有 m≥5.

……(5 分)

因为 m(m+1)…(m+n-5)≥5×6…×n, 故 m+n-4≤4!=24,n≤28-m≤23, 所以 M 是有限集. ……(10 分)

当 m=5 时,n=23,23!=5×6×…×24. 当 m≥6 时,由于 5!=120 不能表为 2 个连续正整数之积, 故 m(m+1)…(m+n-4)至少有 3 个因子, 因为 m(m+1)…(m+n-6)≥6×7×…×n, 所以(m+n-5)(m+n-4)≤5!=120<11×12. 由此可得,m+n≤15. ……(15 分) 当 m≥n 时,得 n≤7,当 m<n 时,得 m≤7; 所以,5≤m≤7 或 n≤7. ……(20 分)

经验证,23!=5×6×…×24,6!=8×9×10,7!=7×8×9×10,

所以,M={6,7,23}.

……(25 分)


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