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高一数学《3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式》


3.1.3
一、教学目标

二倍角的正弦、余弦和正切公式

以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌 握其应用. 二、教学重、难点 教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式; 教学难点:二倍角的理解及其灵活运用. 三、教学设想:

(一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式,
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? s in ? (? ?) ? s i n ?cos ? ?co? s s in ? cos ?( ? ? ) ? c o ? s cos ? ?s in ?s in ?

tan(? ? ? ) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

tan ?( ? ? ) ?

tan ? ?tan ? 1? t a n ? ?t a n ?
) D.等腰三角形

练习: (1)在△ABC 中, sin A sin B ? cos A cos B ,则△ABC 为( A.直角三角形 (2) B.钝角三角形 C.锐角三角形 ) D. ? 2

3 cos

?
12

? sin

?
12

的值为 (
C. 2

A. 0

B.2

思考:已知

?
2

?? ?

3? 12 3 , cos( ? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? ,求 sin 2? 4 13 5

我们由此能否得到 sin 2? ,cos 2? , tan 2? 的公式呢? (学生自己动手, 把上述公式中 ? 看成 ? 即可) , (二)公式推导:

sin 2? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2sin ? cos ? ;

cos 2? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ;
思考:把上述关于 cos 2? 的式子能否变成只含有 sin ? 或 cos? 形式的式子呢?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2sin 2 ? ;
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? (1 ? cos 2 ? ) ? 2cos 2 ? ? 1 .

tan 2? ? tan ?? ? ? ? ?
注意: 2? ?

tan ? ? tan ? 2 tan ? . ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan 2 ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k?

?k ? z?

(三)例题讲解 例 1、已知 sin 2? ? 解:由

5 ? ? , ? ? ? , 求 sin 4? ,cos 4? , tan 4? 的值. 13 4 2

?
4

?? ?

?
2

,得

?
2

? 2? ? ? .
2

12 5 ?5? 又因为 sin 2? ? , cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? 1 ? ? ? ? ? . 13 13 ? 13 ?
于是 sin 4? ? 2sin 2? cos 2? ? 2 ?

5 ? 12 ? 120 ; ??? ? ? ? 13 ? 13 ? 169
2

120 sin 4? 120 ? 5 ? 119 cos 4? ? 1 ? 2sin 2 2? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ; tan 4? ? . ? 169 ? ? 119 cos 4? 119 ? 13 ? 169 169 ?
例 2.在△ABC 中, cos A ?

4 , tan B ? 2, 求 tan(2 A ? 2B)的值。 5

例 3.已知 tan 2? ? , 求 tan ? 的值. 解: tan 2? ?

1 3

2 tan ? 1 ? ,由此得 tan 2 ? ? 6 tan ? ? 1 ? 0 2 1 ? tan ? 3

解得 tan ? ? ?2 ? 5 或 tan ? ? ?2 ? 5 . 例 4.已知 tan? ?

1 1 , tan ? ? , 求 tan(? ? 2? )的值 7 3

(四)练习:教材 P135 面 1、2、3、4、5 题 (五)小结:本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要善 于发现规律,学会灵活运用. (六)作业:


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