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圆的切线的性质及判定定理


三、 圆的切线的性质及判定定理 (一)

O

l

r
A 张凤兰

秦皇岛市实验中学

(地平线)



O
● ●

O

O a(地平线)

一、

直线与圆的位置关系 1、用公共点的个数来刻画
(1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交,

.O

(2)直线和圆只有一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线, 这个公共点叫切点。 (3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离。

一、直线与圆的位置关系 1、用公共点的个数来刻画 .O
(1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交, (2)直线和圆只有一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线, 这个公共点叫切点。 (3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离。

l
.O

2、用圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系来刻画

d

r

直线和圆相交

d< r

d

r

直线和圆相切

d= r

r

d


直线和圆相离 数量关系

d> r

数形结合: 位置关系

O

r

l
只有一个公共点

直线和圆相切

d= r

三、 圆的切线的 性质及判定定理
l
O

.O
B

l

r
A M

我们知道,直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系, 这是从直线与圆的公共点个数刻画的.
(1)直线与圆有两个公共点,称直线与圆相交;(d<r)

(2)直线与圆只有一个公共点,称直线与圆相切;(d=r)
(3)直线与圆没有公共点,称直线与圆相离.(d>r)

本节专门讨论直线与圆相切的情形.
相 交

.
O

相 切

相 离

l

1 切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. 因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直, 所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点; 反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心. 由此得到: 切线的性质定 理的推论1:经 过圆心且垂直 于切线的直线 必经过切点. 切线的性质定 理的推论2:经 过切点且垂直 于切线的直线 必经过圆心.

O.

l
A

2. 如图,点A是⊙O与直线 l 的公共点,且 l ⊥OA .在直线 l 上任取异于点A的点B,则△OAB是 Rt△. 而OB是Rt△ OAB的斜边,因此,都有OB>OA,即B 一定点在圆外.由点B的任意性可知,圆与直线只有 一个公共点,因此 l 是圆的切线.由此可得: 切线的判定定理:经过半 径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线.
根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件: O

l
A B

1.经过半径的外端; 2.与半径垂直.
应用格式(几何语言): OA是⊙O的半径 OA⊥l于A

l是⊙O的切线.

定理说明:在此定理中,题设是“经过半径的外端” 和“垂直于这条半径”,结论为“直线是圆的切 线”, 两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线. 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线:

O. O. A A

l

l

B

3.应用: 例1 如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D, DE⊥AC. 求证:DE是⊙O的切线.
证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线. ∴OD//AC. 又∵ ∠DEC=90°, ∴ ∠ODE=90°. 又∵ D在圆周上, ∴ DE是⊙O的切线. C E D B A O

例2 如图,AB是⊙O的直径, C为⊙O上一点, AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D. 求证: AC平分∠DAB.
证明:连接OC. ∵CD 是⊙O的切线, ∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD , ∴OC//AD. ∴∠ACO= ∠CAD . 又∵OC=OD, ∴∠CAO= ∠ACO ∴∠CAD= ∠CAO , 故AC平分∠DAB. A D

C

O

B

思考:定点C在圆的什么位置?

例3 作经过一定点C的圆的切线. A
P

C O B (1)点C在圆上. 作法:连接OC,过 点C作AB⊥OC.则 直线AB就是所要作 的切线. 证明:直线AB经过点 C,并且AB⊥OC.由 切线的判定定理可知, AB就是⊙O的切线, 切点是点C.
P′ O. O1 C

作法:连接OC, 以OC为直径的 圆为⊙O1,与 ⊙O 相交于两点 P和P′.连接CP和 CP′,则CP和CP′ 都是过已知点C 所引⊙O的切 线.

(2)点C在圆外. 证明:∵∠OPC是⊙O1内半圆 上的圆周角, ∴∠OPC=90°. ∴PC⊥OP. 又∵OP是⊙O的半径,PC经过 点C,∴PC就是所要作的切线. 同理,CP′也是所要作的切线.

课堂小结:
一 判定一条直线是圆的切线有三种方法

1 根据定义直线与圆有唯一的公共点 2 根据判定定理 3,根据圆心到直线的距离等于半径 二 添辅助线的方法 1,已知直线与圆有交点,则连接圆心与交点 2,没有明确的公共点, 则过圆心作直线的垂线段

练习1.如图A是⊙O外的一点,AO的延长线交 ⊙O于C,直线AB经过⊙O上一点B,且AB=BC, ∠C=30°. 求证:直线AB是⊙O的切线.
证明:连结OB, ∵OB=OC,AB=BC,∠C=30° ∴∠OBC=∠C=∠A=30° ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60° ∴∠ABO=180°-(∠AOB+∠A) =180°-(60°+30°)
C O B A

题目中“半径”已有,
只需证“垂直”,即可 得直线与圆相切.

=90°
∴ AB是⊙O的切线.

练习2.已知:如图,AB是⊙O的直径,D在AB的 延长线上,BD=OB,C在圆上,∠CAB=30°, 求证:DC是⊙O的切线.
证明:连OC、BC, ∵AO=OC, ∴∠OCA=∠A=30°, ∴∠BOC=60°. ∴△BOC是等边三角形. ∴BD=OB=BC, ∠D=∠BCD=30°. ∴∠DCO=90°. ∴DC⊥OC. ∴DC是⊙O的切线.
A O

C
D

B

练习3 若Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°. 延长斜边AB到D,使BD等于⊙O的半径, 求证:DC是⊙O的切线.
分析:如图
300 C 300 0 60 120.0 600 600 O B

A

D

练习4:当圆心到直线的距离等于圆的半径时,该 直线是这个圆的切线. 已知:⊙O的圆心O到直线l 的距 离等于⊙O的半径r. 求证:直线l 是⊙O的切线. 证明:过点O作OA⊥l ,A为垂足. ∵OA=d=r ∴点A在⊙O上 ∴OA是⊙O的半径 ∴ l 是⊙O的切线
题目的条件中“垂直”和“距离等于半径”都没有明确显 示出来,就必须先作出“垂直”,再证“距离等于半径”
O

A

思考:
1.已知:在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于D,DE⊥AC 于E,如图(1),求证:DE是⊙O的切线. 分析:因为DE经过⊙O上的点D,所以要证明DE为切线,可连结OD, 再证 明DE⊥OD.

图1
图2 图3

2.如图(2),已知在△ABC中,AD⊥BC于D,AD=BC/2,E和F分别为AB 和 AC的中点,EF与AD交于G,以EF为直径作⊙O,求证:⊙O与BC相切. 分析:要证明以EF为直径的⊙O与BC相切,只要过O作OH⊥BC于H,证 明 OH等于直径EF的一半. 3.如图(3),△ABC内接于⊙O,P、B、C在一直线上,且PA2=PB· PC, 求证:PA是⊙O的切线. 分析:∵PA过⊙O上一点A,要证PA为切线,只要证PA⊥AO,为此, 作直径AD,并连结CD,只要证PA⊥AD即可.


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