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2018高考数学一轮复习第7章立体几何初步第5节简单几何体的面积与体积教师用书文北师大版


第五节

简单几何体的面积与体积

[考纲传真] 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台

侧面展开图

侧面积公式

S 圆柱侧=2π rl

S 圆锥侧=π rl

S 圆台侧=π (r1+r2)l

2.柱、锥、台和球的表面积和体积 表面积 柱体(棱柱和圆 柱) 锥体(棱锥和圆 锥) 台体(棱台和圆 台) 球 体积

S 表面积=S 侧+2S 底

V=Sh
1 3

S 表面积=S 侧+S 底
1 3

V= Sh V= (S 上+S 下+ S上S下)h

S 表面积=S 侧+S 上+S 下

S=4π R2

V= π R3

4 3

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( (2)球的体积之比等于半径比的平方.( ) ) 3 a.( 2 ) )

(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(

(4)已知球 O 的半径为 R,其内接正方体的边长为 a,则 R= [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√

2.(教材改编)已知圆锥的表面积等于 12π cm ,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆

2

1

的半径为( A.1 cm C.3 cm B

) B.2 cm 3 D. cm 2
2 2 2 2

[S 表=π r +π rl=π r +π r·2r=3π r =12π ,∴r =4,∴r=2(cm).]

3.(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下 问题:“今有委米依垣内角,

图 7?5?1 下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米 (如图 7?5?1,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的 体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出 堆放的米约有( A.14 斛 C.36 斛 B ) B.22 斛 D.66 斛

π 16 1 1 [设米堆的底面半径为 r 尺,则 r=8,所以 r= ,所以米堆的体积为 V= × 2 π 4 3

π ?16?2 320 320 2 π ·r ·5= ×? ? ×5≈ (立方尺).故堆放的米约有 ÷1.62≈22(斛).故选 B.] 12 ?π ? 9 9 4.(2016·全国卷Ⅱ)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ( ) A.12π C.8π A
3

32 B. π 3 D.4π

[设正方体棱长为 a,则 a =8,所以 a=2.

所以正方体的体对角线长为 2 3,所以正方体外接球的半径为 3,所以球的表面积为 4π ·( 3) =12π .] 5.(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图 7?5?2 所示(单位:cm),则该几何体的体
2

2

积是________cm . 【导学号:66482340】

3

图 7?5?2 32 3 [由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面为边长为 2 cm 的正方形、

8 32 3 3 3 高为 2 cm 的四棱锥组成,V=V 正方体+V 四棱锥=8 cm + cm = cm .] 3 3

空间几何体的表面积 (1)某几何体的三视图如图 7?5?3 所示,则该几何体的表面积等于( )

图 7?5?3 A.8+2 2 C.14+2 2 B.11+2 2 D.15

(2)(2016·全国卷Ⅰ) 如图 7?5?4,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中 28π 两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是( 3 A.17π B.18π
3

)

C.20π

D.28π

图 7?5?4 (1)B 如图所示. (2)A [(1)由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,

直角梯形斜腰长为 1 +1 = 2,所以底面周长为 4+ 2,侧面积为 4+2 2+2+2=8 1 +2 2,两底面的面积和为 2× ×1×(1+2)=3. 2 所以该几何体的表面积为 8+2 2+3=11+2 2. 1 (2) 由几何体的三视图可知,该几何体是一个球体去掉上半球的 ,得到的几何体如 4 4 1 4 3 28 7 3 3 2 图.设球的半径为 R,则 π R - × π R = π ,解得 R=2.因此它的表面积为 ×4π R + 3 8 3 3 8 4 π R =17π .]
2

2

2

[规律方法] 1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和.(2)简单 组合体:应搞清各构成部分,并注意重合部分的处理. 2.若以三视图的形式给出,解题的关键是对给出的三视图进行分析,从中发现几何体 中各元素间的位置关系及数量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件求解. [变式训练 1] (2016·全国卷Ⅲ)如图 7?5?5,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线 画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( A.18+36 5 C.90 B.54+18 5 D.81 )

4

图 7?5?5 B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱, 其中有两个侧面为矩形, 另两

个侧面为平行四边形,则表面积为(3×3+3×6+3×3 5)×2=54+18 5.故选 B.] 空间几何体的体积 π (1)在梯形 ABCD 中,∠ABC= ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 2

ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(
A. C. 2π 3 5π 3 4π B. 3 D.2π

)

(2)(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图 7?5?6 所示(单位:m),则该四棱锥的体积为________m .
3

图 7?5?6 (1)C (2)2 [(1) 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E,梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋

转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径, 线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段

CE 的长为底面圆半径,ED 为高的圆锥,如图所示.

由于 V 圆柱=π ·AB ·BC=π ×1 ×2=2π ,

2

2

5

V 圆锥= π ·CE2·DE= π ·12×(2-1)= ,
π 5π 所以该几何体的体积 V=V 圆柱-V 圆锥=2π - = . 3 3 (2)由三视图知,四棱锥的高为 3,底面平行四边形的一边长为 2,对应高为 1,所以其 1 1 体积 V= Sh= ×2×1×3=2.] 3 3 [规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解. 2. 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出, 则常用转换法(转换的原则是使底 面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解. 3.若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据 条件求解. [变式训练 2] (2017·陕西质检(二))某几何体的三视图如图 7?5?7 所示, 则此几何体 的体积是( ) 【导学号:66482341】 A.28π C.36π B.32π D.40π

1 3

1 3

π 3

图 7?5?7 C [由三视图得该几何体为一个底面半径为 2,高为 2 的圆柱体和一个上底半径为 2,

1 2 2 2 下底半径为 4,高为 3 的圆台,则其体积为 2×π ×2 + π ×3(2 +4 +2×4)=36π ,故选 3 C.] 多面体与球的切、接问题 (2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱 ABC?A1B1C1 内有一个体积为 V 的球.若 AB ⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是( A.4π C.6π 9π B. 2 32π D. 3
6

)

B

[由 AB⊥BC,AB=6,BC=8,得 AC=10,要使球的体积 V 最大,则球与直三棱柱的

1 1 部分面相切,若球与三个侧面相切,设底面△ABC 的内切圆的半径为 r.则 ×6×8= ×(6 2 2 +8+10)·r,则 r=2. 此时 2r=4>3,不合题意. 因此球与三棱柱的上、下底面相切时,球的半径 R 最大. 3 由 2R=3,即 R= . 2 4 9 3 故球的最大体积 V= π R = π .] 3 2 [迁移探究 1] 若本例中的条件变为“直三棱柱 ABC?A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面 上”,若 AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,求球 O 的表面积. [解] 将直三棱柱补形为长方体 ABEC?A′B′E′C′, 则球 O 是长方体 ABEC?A′B′E′C′的外接球, ∴体对角线 BC′的长为球 O 的直径. 因此 2R= 3 +4 +12 =13, 故 S 球=4π R =169π . [迁移探究 2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球 O 的球面上”,若该棱锥 的高为 4,底面边长为 2,求该球的体积. [解] 如图,设球心为 O,半径为 r,
2 2 2 2

则在 Rt△AOF 中,(4-r) +( 2) =r , 9 解得 r= , 4 4 4 ?9?3 243π . 3 则球 O 的体积 V 球= π r = π ×? ? = 3 3 16 ?4? [规律方法] 1.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.球与旋转体的组合 通常是作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或“切 点”、“接点”作出截面图,把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点 P,A,B,C 中 PA,PB,PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直, 可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题. [变式训练 3] (2015·全国卷Ⅱ)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为
7

2

2

2

该球面上的动点.若三棱锥 O?ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π C.144π C B.64π D.256π

)

1 2 [如图,设球的半径为 R,∵∠AOB=90°,∴S△AOB= R . 2

∵VO?ABC=VC?AOB,而△AOB 面积为定值, ∴当点 C 到平面 AOB 的距离最大时,VO?ABC 最大, 1 1 2 ∴当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时,体积 VO?ABC 最大为 × R ×R=36, 3 2 ∴R=6,∴球 O 的表面积为 4π R =4π ×6 =144π .故选 C.]
2 2

[思想与方法] 1.转化与化归思想:计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面 展开化为平面图形, “化曲为直”来解决, 因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平 面图形面积的求法. 2.求体积的两种方法:①割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成 已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前 提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到, 利用等积法可以用来求解 几何图形的高或几何体的高. [易错与防范] 1.求组合体的表面积时,要注意各几何体重叠部分的处理,防止重复计算. 2.底面是梯形的四棱柱侧放时,容易和四棱台混淆,在识别时要紧扣定义,以防出错.

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