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相似教学案 Microsoft Word 文档


相似三角形的性质和判定
课堂复习目标: 1.知道相似三角形的判定定理和性质定理,并能用其定理进行有关的计算与证明。 2.解决与相似相关的简单的实际问题。 课前复习道学:◆课前热身 1.如图,已知 AB ∥ CD ∥ EF ,那么下列结论正确的是( A.
[来源:学科网

) D.

AD BC ? DF CE

A C E 1题 B D F

B.

BC DF ? CE AD

C. A D

CD BC ? EF BE

CD AD ? EF AF

B

C (第 2 题图)

2.如图所示,给出下列条件:

AC AB ? ① ?B ? ?ACD ; ② ?ADC ? ?ACB ; ③ CD BC ;
其中单独能够判定 △ ABC ∽△ ACD 的个数为( A.1 B.2 C.3 )

④ AC ? AD?AB .
2

D.4 )
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

3.已知△ABC∽△DEF,且 AB:DE=1:2,则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为( A.1:2 B.1:4 C.2:1 D.4:1

4.小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点 B 时,要使眼睛 O、 准星 A、目标 B 在同一条直线上,如图所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星 A 偏离到 A′,若 OA=0.2 米,OB=40 米,AA′=0.0015 米,则小明射击到的点 B′偏离目标 点 B 的长度 BB′为? ? A.3 米? B.0.3 米? ( ) D .0.2 米?

C.0.03 米?

◆考点链接(略) 课堂复习研讨:

判定-----

性质-----

要点一:利用相似三角形的判定定理,造成漏解的错误意识,培养思维的严密性 赏析:如图,已知△ABC,AB=6cm,AC=4cm 点 D 是 AB 边上一点,已知 AD=2cm,点 E 是 AC 上一点,要使△ABC 相似于△ADE,则 AE=

拓展变式:如图,在已建立直角坐标系的 4×4 正方形方格纸中,若以格点 P,A,B 为顶 点的三角形与格点△ABC 相似(全等除外) ,则格点 P 的坐标是_______.

要点二:挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线,注意从复杂的图形中分离出 基 本的相似三角形. 赏析:如图,已知平行四边形 ABCD 中,E 是 AB 边的中点,DE 交 AC 于点 F,AC,DE 把平 行四边形 A BCD 分成的四部分的面积分别为 S1,S2,S3,S4.下面结论:①只有一对相似三 角形;②EF:ED=1:2; ③S1:S2:S3:S4=1:2:4 :5.其中正确的结论是( A.①③ B.③ C.① D.①② )

拓展变式 点 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 与 CD 相交于点 G,则图 中相似三角形共有( A.2 对 B.3 对 ) C.4 对 D.5 对

要点三:严谨作答,规范解题步骤 赏析:如图,梯形 ABCD 中, AB ∥ CD ,点 F 在 BC 上,连 DF 与 AB 的延长线交于点 G. (1)求证: △CDF ∽△BGF ;

c E m F (2) 当点 F 是 BC 的中点时, F 作 EF ∥ CD 交 AD 于点 E , A ? 6 , 过 若 B
求 CD 的长. E A 课堂达标训练: 1、下列命题中,是真命题的为( A.锐角三角形都相似 ) B.直角三角形都相似 D C F B G

4? c m



C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似 2、手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装饰手工画,下面四个图案是她 剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边,其中,每个图案花边的宽 度都相等,那么,每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是

3、甲、乙两盏路灯底部间的距离是 30 米,一天晚上,当小华走到距路灯乙底部 5 米处时, 发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部.已知小华的身高为 1.5 米,那么路灯甲 的高为 米. A D 甲 小华乙 B 第5题 E C

4、如果两个相似三角形的一组对应边分别为 3cm 和 5cm。且较小三角形的周长为 15cm, 则较大三角形周长为______cm. 1 5、如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,DE∥BC,且 AD= AB,则△ADE 3 的周长与△ABC 的周长的比为__________.

6、如图,在△ABC 中,∠C=90 ,D 是 AC 上一点,DE⊥AB 于点 E,若 AC=8,BC=6,DE=3, 则 AD 的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6

0

7、 如图, ?1 ? ? 2 ,添加一个条件使得 ?ADE ∽ ?ACB

.

A D 1 2 E C
(第 7 题图)

B
全品中考网

课堂拓展延伸:如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E, 连接 DE,F 为线段 DE 上一点,且∠AFE=∠B. (1) 求证:△ADF∽△DEC (2) 若 AB=4,AD=3 3 ,AE=3,求 AF 的长.

一、相似三角形的定义 三边对应成_________,三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形. 二、相似三角形的判定方法 1. 若 DE∥BC(A 型和 X 型)则______________. 2. 射影定理:若 CD 为 Rt△ABC 斜边上的高(双直角图形) 则 Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD 且 AC =________,CD =_______,BC =__ ____.
2 2 2

A D B E C
B

E A

D

C

C

A

D

B

3. 两个角对应相等的两个三角形__________. 4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似. 5. 三边对应成比例的两个三角形___________. 三、相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应边_________,对应角________. 2. 相似三角形的对应边的比叫做________,一般用 k 表示. 3. 相似三角形的对应角平分线,对应边的________线,对应边上的_______?线的比等于

_______比,周长之比也等于________比,面积比等于_________. ◆备考兵法 1.证明三角形相似的方法常用的有三个,到底用哪个要根据具体情况而定,要注意 基本图形的应用,如“A 型” 型” “X “母子型”等. 2.用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题,关键是要先把实际问题转化为数 学问题,识别或作出相似三角形,再利用相似三角形的性质求解,并回答实际问题,注意 题目的解一定要符合题意. 3.用直角坐标系中的点描述物体的位置,用坐标的方法来研究图形的运动变换,是 较为常见的考法,要注意训练.
[来源:学科网 ZXXK]

◆典例精析 【答案】9. 【解析】本题考查相似的有关知识,相似三角形的应用.设路灯高为 x 米,由相似得

1.5 5 ,解得 x ? 9 ,所以路灯甲的高为 9 米,故填 9. ? x 30
例 2(2008 年浙江丽水)如图,在已建立直角坐标系的 4×4 正方形方格纸中,△划格点 三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点) ,若以格点 P,A,B 为顶点的三角形与 △ABC 相似(全等除外) ,则格点 P 的坐标是_______.

【答案】 P1(1,4) 2(3,4) ,P . 点拨: 这种题常见的错误是漏解, 平时要多加强这方面的训练, 以培养思维的严密性. 拓展变式 在 Rt△ABC 中,斜边 AC 上有一动点 D(不与点 A,C 重合) ,过 D 点作直线 截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,则满足这样条件的直线共有______条.

【答案】 3 【答案】 B 【解析】 ∵AB∥DC,∴△AEF?∽△CDF,?但本题还有一对相似三角形是△ABC?≌△ CDA(全等是相似的特例) . ∴①是错的. ∵

AE EF 1 ? ? ,∴②EF:ED=1:2 是错的. CD DF 2
[来源:学科网]

∴S△AEF:S△CDF =1:4,S△AEF:S△ADF =1:2. ∴S1:S2:S3:S4=1:2:4:5,③正确. 点拨

①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比; (共底三角形

的面积之比等于高之比) ②和全等三角形一样,中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形 (如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形)中,在解 题时要充分 ◆迎考精练 一、选择题 1.(2009 年江苏省)如图,在 5 ? 5 方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么 ,下面的平移方法中,正确的是( A.先向下平移 3 格,再向右平移 1 格 B.先向下平移 2 格,再向右平移 1 格 C.先向下平移 2 格,再向右平移 2 格 D.先向下平移 3 格,再向右平移 2 格 )

2.(2009 年浙江杭州)如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8,另一个与它相似的 直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x,那么 x 的值( A.只有 1 个 C.有 2 个以上但有限 )

B.可以有 2 个 D.有无数个

3.(2009 年浙江宁波)如图,菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,M、N 分别是边

AB、AD 的中点,连接 OM、ON、MN,则下列叙述正确的 是(
A.△AOM 和△AON 都是等边三角形 B.四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形 C.四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形 D.四边形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形 B



[来源:学科网]

A N O C D

M

4.(2009 年浙江义乌)在中华经典美文阅读中, 小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为 黄金比。已知这本书的长为 20cm,则它的宽约为( A.12.36cm B.13.6cm ) D.7.64cm

C.32.36cm

6.(2009 年甘肃白银)如图,小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度, 移动竹竿, 使竹竿、 旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点. 此时, 竹竿与这一点相距 8m、 与旗杆相距 22m,则旗杆的高为( A.12m B.10m ) C.8m D.7m

7.(2009 年天津市)在 △ ABC 和 △DEF 中, AB ? 2 DE,AC ? 2 DF,?A ? ?D , 如果 △ ABC 的周长是 16,面积是 12,那么 △DEF 的周长、面积依次为( A.8,3 二、填空题 B.8,6 C.4,3 )

D.4,6

3) 1. (2009 年山东滨州)在平面直角坐标系中, △ ABC 顶点 A 的坐标为 (2, ,若以原点 O

为位似中心,画 △ ABC 的位似图形 △ A?B?C ? ,使 △ ABC 与 △ A?B?C ? 的相似比等于 则点 A? 的坐标为 .

1 , 2

2.(2009 年黑龙江牡丹江)如图, Rt△ ABC 中, ?ACB ? 90°, 直线 EF ∥ BD, AB 于 交 点 E, AC 于点 G, AD 于点 F, S△ AEG ? 交 交 若 A

1 CF S四边形EBCG, ? 则 3 AD



[来源:学§科§网]

E B

G C 第2题

F D

3.(2009 年湖北孝感)如图,点 M 是△ABC 内一点,过点 M 分别作直线平行于△ABC 的各 边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别是 4,9 和 49.则 △ABC 的面积是 .

4.(2009 年山东日照)将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点 B 落在边 AC 上,记为点 B′,折痕为 EF.已知 AB=AC=3,BC=4,若以 点 B′,F,C 为顶点的三角 形与△ABC 相似,那么 BF 的长 度是
A E B′



B

F (第 4 题图)

C

5. (2009 年福建莆田) 如图, A、B 两处被池塘隔开, 为了测量 A、B 两处的距离, AB 在 外 选一 适当的 点 C , 连接 AC、BC , 并分 别取线 段 AC、BC 的 中点 E、F , 测得

EF =20m,则 AB =__________m.
A E C F B 第 5 题图

三、解答题 1.(2009 年湖南郴州)如图,在 D ABC 中,已知 DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3, A D E

AD (1)求 的值, (2)求 BC 的长 AB

B

C

2.(20 09 年 湖 南 常 德 )如图,△ABC 内接于⊙O,AD 是△ABC 的边 BC 上的高,AE 是⊙O 的直径,连接 BE,△ABE 与△ADC 相似吗?请证明你的结论.

3.(2009 年湖北武汉)如图 1, Rt △ ABC 中,?BAC ? 90° , AD ⊥ BC 于点 D , O 在 点 是 AC 边上一点,连接 BO 交 AD 于 F , OE ⊥ OB 交 BC 边于点 E . (1)求证: △ ABF ∽△COE ;

AC OF ? 2 时,如图 2,求 的值; AB OE AC OF ? n 时,请直接写出 (3)当 O 为 AC 边中点, 的值. AB OE
(2)当 O 为 AC 边中点,

B D F A O 图1 E C

B F A

D E O 图2 C

4.(2009 年安徽)如图,M 为线段 AB 的中点,AE 与 BD 交于点 C,∠DME=∠A=∠B=α , 且 DM 交 AC 于 F,ME 交 BC 于 G. (1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对; (2)连结 FG,如果 α =45°,AB= 4 2 ,AF=3,求 FG 的长.
A M B

F C D

G

第 4 题图

E

5.(2009 年吉林省)如图,⊙ O 中,弦 AB、CD 相交于 AB 的中点 E ,连接 AD 并延长 至点 F ,使 DF ? AD ,连接 BC、 BF . A D O E C B 第 5 题图 (1)求证: △CBE ∽△ AFB ; (2)当 F

BE 5 CB ? 时,求 的值 FB 8 AD

6.(2009 年广东梅州)如图,梯形 ABCD 中, AB ∥ CD ,点 F 在 BC 上,连 DF 与 AB 的 延长线交于点 G. (1)求证: △CDF ∽△BGF ;

c E m F (2) 当点 F 是 BC 的中点时, F 作 EF ∥ CD 交 AD 于点 E , A ? 6 , 过 若 B
求 CD 的长. E A 6题 D C F B G

4? c m




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