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高中数学必修1-5知识点归纳


必修 1 数学知识点
第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等。 3、 常见集合:正整数集合: N 或 N ? ,整数集合:
*

f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? =…

§1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数 f ? x ? 的定义域内任意一个
x ,都有 f ? ? x ? ? f ? x ? ,那么就称函数 f ? x ? 为

偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数 f ? x ? 的定义域内任意一个
x ,都有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,那么就称函数 f ? x ? 为

Z ,有理数集合: Q ,实数集合: R .

4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任 意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 是 集合 B 的子集。记作 A ? B . 2、 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作:A B. ? 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作: .并规定: 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2 个子 集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成 的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作: A ? B . 2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素 组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作: A ? B . 3、全集、补集? C U A ? { x | x ? U , 且 x ? U } §1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集 合 B 中都有惟一确定的数 f ? x ? 和它对应, 那么就 称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记 作: y ? f ? x ?, x ? A . 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同, 并且对应关系完 全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、 注意函数单调性证明的一般格式: 解 : 设 x 1 , x 2 ? ?a , b ? 且 x 1 ? x 2 , 则 :
n

奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根。
n

其中 n ? 1, n ? N ? . 2、 当 n 为奇数时, a ? a ;
n n

当 n 为偶数时, a 3、 我们规定:
n

n

n

? a .

⑴a

m

?

m

a

n

?a ? 0 , m , n ? N
⑵a
?n

*

,m ? 1 ;

?

?

1 a
n

?n

? 0?;

4、 运算性质: ⑴a a ? a
r s r?s

?a

? 0, r , s ? Q ? ;

⑵ ?a

r

?

s

? a

rs

?a
r

? 0, r , s ? Q ? ;

⑶ ? ab ? ? a b
r r

?a

? 0, b ? 0, r ? Q ? .

§2.1.2、指数函数及其性质 1、 记住图象: y ? a
x

?a

? 0 , a ? 1?

§2.2.1、对数与对数运算

-1-

1、 a 2、 a

x

? N ? log
? a.

a

N ? x;

1、方程 f ? x ? ? 0 有实根
? 函数 y ? f ? x ? 的图象与 x 轴有交点

log a N

3、 log a 1 ? 0 , log

a

a ?1.

? 函数 y ? f ? x ? 有零点.

4、当 a ? 0 , a ? 1, M ? 0 , N ? 0 时: ⑴ log

2、 性质:如果函数 y ? f ? x ? 在区间 ?a , b ? 上的图象 是连续不断的一条曲线,并且有 f ? a ? ? f ?b ? ? 0 , 那么,函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a , b ? 内有零点,即 存在 c ? ? a , b ? ,使得 f ?c ? ? 0 ,这个 c 也就是方

a

? MN ? ?

log

a

M ? log

a

N ;

⑵ log a ?

?M ? ? ? log ? N ?

a

M ? log

a

N ;

⑶ log

a

M

n

? n log

a

M .

程 f ? x ? ? 0 的根.
log log
c c

5、换底公式: log

a

b ?

b a

?a

? 0 , a ? 1, c ? 0 , c ? 1, b ? 0 ? .

6、 log

a

b ?

1 log
b

a

§3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法. §3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函 数拟合,最后检验.

?a

? 0 , a ? 1, b ? 0 , b ? 1 ? .

§2..2.2、对数函数及其性质 1、 记住图象: y ? log
a

x ?a ? 0 , a ? 1?

必修 2 数学知识点
1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:
圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围 成的多面体叫做棱柱。

§2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象:

⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与
截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影 的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影,平行投影的投影线是平行的。

3、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积; S 侧面 ? 2 ? ? r ? l

第三章、函数的应用 §3.1.1、方程的根与函数的零点
-2-

那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,
则该直线与此平面垂直。

⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l

⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面
角,就说这两个平面互相垂直。

⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个
平面垂直。

⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平面。

第三章:直线与方程 ⑶圆台侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l ⑷体积公式:
V 柱体 ? S ? h ; V 锥体 ?

1、倾斜角与斜率: k ? tan ? ? 2、直线方程:

y 2 ? y1 x 2 ? x1

1 3

S ?h ;

V 台体 ?

1 3

?S
2



?

S上 ? S下 ? S下 h

?

⑴点斜式: y ? y 0 ? k ? x ? x 0 ? ⑵斜截式: y ? kx ? b

⑸球的表面积和体积:
S 球 ? 4? R , V 球 ? 4 3

?R .
3

⑶两点式:

y ? y1 y 2 ? y1

?

x ? x1 x 2 ? x1

第二章:点、直线、平面之间的位置关系 1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条
直线在此平面内。

⑷一般式: Ax ? By ? C ? 0 3、对于直线:
l 1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 有:

2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它
们有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这
两个角相等或互补。

⑴ l 1 // l 2 ? ?

?k1 ? k 2 ? b1 ? b 2



6、线线位置关系:平行、相交、异面。 7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。

⑵ l 1 和 l 2 相交 ? k 1 ? k 2 ; ⑶ l 1 和 l 2 重合 ? ?
?k1 ? k 2 ? b1 ? b 2

8、面面位置关系:平行、相交。 9、线面平行: ⑴判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则
该直线与此平面平行。



⑷ l1 ? l 2 ? k 1 k 2 ? ? 1 . 4、对于直线:
l 1 : A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行。

10、面面平行: ⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,
则这两个平面平行。

有:

⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么
它们的交线平行。

⑴ l 1 // l 2 ? ?

? A1 B 2 ? A 2 B 1 ? B1C 2 ? B 2 C 1



11、线面垂直: ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,
-3-

⑵ l 1 和 l 2 相交 ? A1 B 2 ? A 2 B 1 ;

? A1 B 2 ? A 2 B 1 ⑶ l 1 和 l 2 重合 ? ? ; ? B1C 2 ? B 2 C 1

1、 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P ? x , y ? ,那么:

⑷ l 1 ? l 2 ? A1 A 2 ? B 1 B 2 ? 0 . 5、两点间距离公式:
P1 P2 ?

sin ? ? y , cos ? ? x , tan ? ?

y x

.

2、 设点 A ? x 0 , y 0 ? 为角 ? 终边上任意一点, 那么: (设
2

?x 2

? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ?
2

r ?
s i n? ?

x0 ? y0 )
2 2

6、点到直线距离公式:
d ? Ax
0

y0 r

, cos ? ?

x0 r

, tan ? ?

y0 x0

.

? By
2

0

?C
2

A ? B

第四章:圆与方程 1、圆的方程: ⑴标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r
2 2 2

3、 sin ? ,cos ? , tan ? 在四个象限的符号和三角 函数线的画法. 4、 诱导公式一:
sin ?? ? 2 k ? ? ? sin ? , cos ?? ? 2 k ? ? ? cos ? , (其中: k ? Z ) tan ?? ? 2 k ? ? ? tan ? .

⑵一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
2 2

2、两圆位置关系: d ? O 1 O 2 ⑴外离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 3、空间中两点间距离公式:
P1 P2 ?

5、 特殊角 0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270°的三角函数值.
?
sin ?
? 6
? 4

? 3

cos ?
tan ?

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
2 2

?x2

? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ? ? ? z 2 ? z 1 ?
2

1、 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 .
2 2

必修 4 数学知识点
第一章、三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 ? 终边相同的角的集合:

2、 商数关系: tan ? ?

sin ? cos ?

.

§1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二:
sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .

??

? ? ? ? 2 k? , k ? Z ?.

§1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角. 2、 ? ?
l r

2、诱导公式三:
sin ? ? ? ? ? ? sin ? , cos ? ? ? ? ? cos ? , tan ? ? ? ? ? ? tan ? .

.
n?R 180 ? ? R .
n?R 360
2

3、诱导公式四:
sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? ,

3、弧长公式: l ?

4、扇形面积公式: S ?

?

1 2

lR .

tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .

§1.2.1、任意角的三角函数
-4-

4、诱导公式五:

?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ? 2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? . ? 2 ?

? y ? A s i n? x ? ? ? ? b 的图象之间的平移伸缩变
换关系. 2、 对于函数:
y ? A sin ?? x ? ? ? ? b ? A ? 0 , ? ? 0 ? 有:振幅 A,

5、诱导公式六:
?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , ? 2 ? ?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ? 2 ?

周期 T ?
f ?
1 T

2?

?
?
2?

,初相 ? ,相位 ?x ? ? ,频率

?

.

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象 1、记住正弦、余弦函数图象: 2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质: 定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、 奇偶性、单调性、周期性. 3、 会用五点法作图. §1.4.2、正弦、余弦函数的性质 1、 周期函数定义:对于函数 f ? x ? ,如果存在一个非 零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 f ?x ? T ? ? f ?x ? , 那么函数 f ? x ? 就叫做周期函 数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.

§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第二章、平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三 个要素:起点、方向、长度. 2、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称 模) ,记作 AB ;长度为零的向量叫做零向量;长 度等于 1 个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共 线向量).规定:零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形法则和平行四边形法则. 2、 a ? b ≤ a ? b .

§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象:

§2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量. §2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运 算叫做向量的数乘.记作: ? a ,它的长度和方向

2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、 值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. §1.5、函数 y ? A sin ?? x ? ? ? 的图象

规定如下: ⑴ ?a ? ? a , ⑵当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当

1、

能 够 讲 出 函 数 y ? sin x 的 图 象 和 函 数
-5-

? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反.

5、 a ? b ? a ? b ? 0 . §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 a ? ? x 1 , y 1 ?, b ? ? x 2 , y 2 ? ,则: ⑴ a ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ⑵a ?
x1 ? y 1
2 2

2、 平面向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当 且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . §2.3.1、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理:如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两 个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量 a , 有且只有一对实数 ? 1 , ? 2 ,使 a ? ? 1 e 1 ? ? 2 e 2 . §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a ? x i ? y j ? ? x , y ? . §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设 a ? ? x 1 , y 1 ?, b ? ? x 2 , y 2 ? ,则: ⑴ a ? b ? ? x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ? , ⑵ a ? b ? ? x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? , ⑶ ? a ? ?? x 1 , ? y 1 ? , ⑷ a // b ? x 1 y 2 ? x 2 y 1 . 2、 设 A ? x 1 , y 1 ?, B ? x 2 , y 2 ? ,则:
AB ? ? x 2 ? x 1 , y 2 ? y 1 ? .

?

?

⑶ a ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 2、 设 A ? x 1 , y 1 ?, B ? x 2 , y 2 ? ,则:
AB ?

?x 2

? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ? .
2 2

§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例 第三章、三角恒等变换 §3.1.1、两角差的余弦公式 1、 cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 2、记住 15°的三角函数值: ? cos ? sin ?
?
12

tan ?

6? 4

2

6? 4

2

2?

3

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、 cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 2、 sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 3、 sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 4、 tan ?? ? ? ? ? 5、 tan ?? ? ? ? ?
tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

§2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设 A ? x 1 , y 1 ?, B ? x 2 , y 2 ?, C ? x 3 , y 3 ? ,则 ⑴线段 AB 中点坐标为 ?
x1 ? x 2 2

,

y1 ? y 2 2

?,
3

. .

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

⑵△ABC 的重心坐标为 ?

x1 ? x 2 ? x 3 3

,

y1 ? y 2 ? y 3

?.

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 a ? b ? a b cos ? . 2、 a 在 b 方向上的投影为: a cos ? . 3、 a ? a . 4、 a ?
2
2 2

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin 2? ? 2 sin ? cos ? , 变形: sin ? cos ? ?
2

1 2

sin 2? .
2

2、 cos 2? ? cos ? ? sin ?
? 2 cos
2

? ?1
2

a

.
-6-

? 1 ? 2 sin

? ,

2 变形 1: cos ? ? 1 ? cos 2 ? ,

2

2 变形 2: sin ? ? 1 ? cos 2 ? .

⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前 一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等 比数列。 ⑵通项公式: a n ? a 1 q ⑶求和公式: S n ? 第三章:不等式 1、
当 a , b ? 0时, a ? b ? 2 ab
n ?1

2

3、 tan 2 ? ?

2 tan ? . 2 1 ? tan ?

a1 ? a n q 1? q

?

a1 1 ? q 1? q

?

n

?

§3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次.

必修 5 数学知识点
第一章:解三角形 1、正弦定理:
a sin A
? b ? a ? a

?当且仅当
?当且仅当

a ? b 时取等号
2

?
?
2

?

b sin B

?

c sin C

? 2R .

2、

当 a , b ? R 时, a

?b

2

? 2 ab

a ? b 时取等号
2

2、余弦定理:
a b c
2 2

? c ? 2 bc cos A ,
2

a ?a?b? 3、变形: ab ? ? ? , ab ? ? 2 ?

?b 2

2

2

2

? c ? 2 ac cos B ,
2

2

2

?b
2

2

? 2 ab cos C .
2 2

cos A ? cos B ? cos C ?

b ?c ?a 2 bc a ?c ?b
2 2

,
2

,
2

2 ac a ?b ?c
2 2

.

2 ab

3、三角形面积公式:
S ? ABC ? 1 2 ab sin C ? 1 2 bc sin A ? 1 2 ac sin B

第二章:数列 1、数列中 a n 与 S n 之间的关系:
, 当 n ? 1时, ?S1 an ? ? ? S n ? S n ? 1 , 当 n ? 1时 .

2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前 一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等 差数列。 ⑵通项公式: a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ⑶求和公式:
S n ? na 1 ? n ?n ? 1? 2 d ?

?a 1

? a n ?n 2

3、等比数列
-7-


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