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【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差课时作业 新人教A版选修2-3


【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差 课时作业 新人教 A 版选修 2-3

一、选择题 1.(2015·泉州市高二期中)随机变量 ξ ~B(100,0.3),则 D(3ξ -5)等于( A.62 C.184 [答案] D [解析] ∵随机变量 ξ ~B(100,0.3), ∴D(ξ )=100×0.3×0.7=21, ∴D(3ξ -5)=9D(ξ )=189,故选 D. 2.若 X~B(n,p),且 E(X)=6,D(X)=3,则 P(X=1)的值为( A.3·2 C.3·2
-2

)

B.84 D.189

)

B.2 D.2

-4

-10

-8

[答案] C [解析] E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3, 1 ∴p= ,n=12, 2 1 1 11 1 -10 则 P(X=1)=C12· ·( ) =3·2 . 2 2 3.设随机变量 X 的概率分布列为 P(X=k)=p ·(1-p) 值分别是( A.0 和 1 C.p 和 1-p [答案] D [解析] 由 X 的分布列知,P(X=0)=1-p,P(X=1)=p,故 E(X)=0×(1-p)+1×p =p,易知 X 服从两点分布,∴D(X)=p(1-p). 4.已知随机变量 ξ 和 η ,其中 η =10ξ +2,且 E(η )=20,若 ξ 的分布列如下表, 则 m 的值为( ) ξ 1 1 4 2 3 4 1 12 ) B.p 和 p
2

k

1-k

(k=0,1),则 E(X)、D(X)的

D.p 和(1-p)p

P

m

n

1

47 A. 60 27 C. 60 [答案] A

37 B. 60 1 D. 8

[解析] ∵E(η )=E(10ξ +2)=10E(ξ )+2=20, ∴E(ξ )=1.8 1 1 即:1× +2m+3n+4× =1.8, 4 12 73 ∴2m+3n= ① 60 1 1 2 又 m+n=1- - = ②, 4 12 3 47 由①②得,m= . 60 5.随机变量 X~B(100,0.2),那么 D(4X+3)的值为( A.64 C.259 [答案] B [解析] 由 X~B(100,0.2)知随机变量 X 服从二项分布,且 n=100,p=0.2,由公式得 B.256 D.320 )

D(X)=np(1-p)=100×0.2×0.8=16,因此 D(4X+3)=42D(X)=16×16=256,故选 B.
6.已知 X 的分布列如下表:

X P

-1

0

1

2 5 18 )

a

b

c

1 且 a、b、c 成等比数列,E(X)= ,则 a=( 9 1 A. 6 1 C. 2 [答案] C 13 [解析] 由分布列的性质得 a+b+c= ① 18 1 5 1 ∵E(X)= ,∴-a+c+ = , 9 9 9 4 ∴a-c= ,② 9 1 B. 3 2 D. 3

2

又 a、b、c 成等比数列,∴b =ac,③ 将②代入①、③得, 7 2a+b= , ? ? 6 ? 4 b =a?a- ?. ? ? 9
2

2

④ ⑤

7 1 49 由④得 b= -2a,代入⑤得,a= 或 a= , 6 2 54 49 5 64 1 当 a= 时,a+ = >0,不合题意舍去,∴a= . 54 18 54 2 二、填空题 7. (2015·枣庄市高二期末)已知随机变量 X~B(4, p), 若 E(X)=2, 则 D(X)=________. [答案] 1 [解析] 随机变量 X 服从二项分布 X~B(4,p),E(X)=2, 1 ∴4p=2,∴p= , 2 ∴D(X)=4p(1-p)=1,故答案为 1. 1 8.(2014·浙江理,12)随机变量 ξ 的取值为 0、1、2,若 P(ξ =0)= ,E(ξ )=1, 5 则 D(ξ )=________. [答案] 2 5

[解析] 设 ξ =1 的概率为 P. 1 1 则 E(ξ )=0× +1×P+2(1-P- )=1, 5 5 3 ∴P= . 5 1 3 1 2 2 2 2 故 D(ξ )=(0-1) × +(1-1) × +(2-1) × = . 5 5 5 5 9.(2015·泰安市高二期末)抛掷一枚均匀硬币 n(3≤n≤8)次,正面向上的次数 ξ 服 1 3 从二项分布 B(n, ),若 P(ξ =1)= ,则方差 D(ξ )=________. 2 32 [答案] 3 2

1 3 1 n-1 1 [解析] ∵3≤n≤8,ξ 服从二项分布 B(n, ),且 P(ξ =1)= ,∴Cn·( ) ·(1 2 32 2 1 3 - )= , 2 32
3

1 n 6 即 n·( ) = ,解得 n=6, 2 64 1 1 3 ∴方差 D(ξ )=np(1-p)=6× ×(1- )= . 2 2 2 三、解答题 10.下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示 空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染.某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天.

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率; (2)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) [解析] 设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i=1,2,?,13), 1 根据题意,P(Ai)= ,且 Ai∩Aj=?(i≠j). 13 (1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则 B=A5∪A8, 2 所以 P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)= . 13 (2)由题意可知,X 的所有可能取值为 0、1、2,且

P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)
4 =P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= , 13

P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)
4 =P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= , 13

P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= .
所以 X 的分布列为:

5 13

X P

0 5 13

1 4 13

2 4 13

4

5 4 4 12 故 X 的期望 E(X)=0× +1× +2× = . 13 13 13 13 (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

一、选择题 3 11.某人射击一次击中的概率为 ,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 5 ( ) 81 A. 125 36 C. 125 [答案] A [解析] 该人 3 次射击,恰有两次击中目标的概率是
2 P1=C2 3·( ) · ,

54 B. 125 27 D. 125

3 5

2 5

3 3 3 三次全部击中目标的概率是 P2=C3·( ) , 5 所以此人至少有两次击中目标的概率是
2 3 3 P=P1+P2=C2 3·( ) · +C3·( ) =

3 5

2 5

3 5

81 . 125

12.甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品 1000 件,ξ 表示甲车床生产 1000 件产 品中的次品数,η 表示乙车床生产 1000 件产品中的次品数,经过一段时间的考察 ξ ,η 的分布列分别如表一,表二所示.据此判定( 表一 ξ 0 0.7 1 0 2 0.2 3 0.1 )

P
表二 ξ

0 0.6

1 0.2

2 0.1

3 0.1

P
A.甲比乙质量好 C.甲与乙质量相同 [答案] B

B.乙比甲质量好 D.无法判定

[解析] 由分布列可求甲的次品数期望为 E(ξ )=0.7, 乙的次品数期望为 E(η )=0.7, 进而得 D(ξ )=(0-0.7) ×0.7+(1-0.7) ×0+(2-0.7) ×0.2+(3-0.7) ×0.1=1.21,
2 2 2 2

5

D(η )=(0-0.7)2×0.6+(1-0.7)2×0.2+(2-0.7)2×0.1+(3-0.7)2×0.1=1.01,故乙
的质量要比甲好. 2 1 13.(2013·海口高二检测)设 ξ 是离散型随机变量,P(ξ =x1)= ,P(ξ =x2)= ,且 3 3

x1<x2,又已知 E(ξ )= ,D(ξ )= ,则 x1+x2 的值为(
5 A. 3 C.3 [答案] C 4 2 [解析] 由 E(ξ )= ,D(ξ )= 得, 3 9 2 1 4 x+ x= , ? ?3 3 3 ? 4 2 4 1 2 ?x - ? · +?x - ? · = , ? ? 3 3 3 3 9
1 2 2 2 1 2

4 3

2 9

)

7 B. 3 11 D. 3

5 x= , ? ? 3 解之得,? 2 ? ?x =3,
1 2

或?

?x1=1, ? ? ?x2=2.

∵x1<x2,∴?

?x1=1, ? ? ?x2=2.

∴x1+x2=3.

14.随机变量 X 的分布列如下:

X P
15 若 E(X)= ,则 D(X)等于( 8 7 A. 32 33 C. 64 [答案] D [解析] 由题意知, )

1 0.5

2

3

x

y

9 B. 32 55 D. 64

6

15 ? ?1×0.5+2x+3y= , 8 ? ? ?0.5+x+y=1,

1 x= , ? ? 8 ∴? 3 y= . ? ? 8

15 2 1 15 2 1 15 2 3 55 ∴D(X)=(1- ) × +(2- ) × +(3- ) × = . 8 2 8 8 8 8 64 二、填空题 15.已知随机变量 ξ 的概率分布列如下: ξ 4 0.5

a
0.1

9

P

b

已知 E(ξ )=6.3,随机变量 η ~B(a,b),则 D(η )=________. [答案] 1.68 [解析] 由分布列的性质知 b=1-0.5-0.1=0.4, ∵E(ξ )=4×0.5+0.1×a+9×0.4=0.1a+5.6=6.3,∴a=7, ∵η ~B(a,b),即 η ~B(7,0.4), ∴D(η )=7×0.4×(1-0.4)=1.68. 16.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2、3、3、7、a、b、12、13.7、18.3、20, 且总体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是________. [答案] 10.5、10.5 [解析] 由题意得

a+b
2

=10.5,∴a+b=21,

x=
2

2+3+3+7+21+13.7+18.3+20+12 =10, 10 1 2 2 2 2 2 2 2 [(10-2) +(10-3) +(10-3) +(10-7) +(10-a) +(10-b) +(10-12) 10
2 2 2

∴s =

+(10-13.7) +(10-18.3) +(10-20) ] = = = 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [8 +7 +7 +3 +(10-a) +(10-b) +4+3.7 +8.3 +10 ] 10 1 2 2 [(10-a) +(10-21+a) +?] 10 1 2 [2(a-10.5) +?] 10

当 a=10.5 时,方差 s 最小,b=10.5. 三、解答题 17.(2013·辽宁理,19)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答.
7

(1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率 3 4 都是 ,答对每道乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的 5 5 个数,求 X 的分布列和数学期望. [解析] (1)设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”, - 则有 A =“张同学所取的 3 道题都是甲类题”. C6 1 - - 5 因为 P( A )= 3 = ,所以 P(A)=1-P( A )= . C10 6 6 (2)X 所有的可能取值为 0、1、2、3.
0 2 P(X=0)=C0 2·( ) ·( ) · = 3

3 5 3 5 3 5 3 5

2 5 2 5 2 5 2 5

1 4 ; 5 125 1 5 1 5 3 5 3 5 2 5 2 5 4 28 ; 5 125 4 57 ; 5 125

1 1 0 0 2 P(X=1)=C1 2·( ) ·( ) · +C2( ) ·( ) · =

2 0 1 1 1 P(X=2)=C2 2·( ) ·( ) · +C2( ) ·( ) · =

2 0 P(X=3)=C2 2·( ) ·( ) · =

4 36 . 5 125

所以 X 的分布列为:

X P
所以 E(X)=0×

0 4 125

1 28 125

2 57 125

3 36 125

4 28 57 36 +1× +2× +3× =2. 125 125 125 125

18.(2014·哈师大附中高二期中)现对某高校 16 名篮球运动员在多次训练比赛中的得 分进行统计,将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下.(如:落在区 间[10,15)内的频率/组距为 0.0125)规定分数在[10,20)、[20,30)、[30,40)上的运动员分 别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员,现从这批篮球运动员中利用分层 抽样的方法选出 16 名运动员作为该高校的篮球运动员代表.

8

(1)求 a 的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数; (2)若从篮球运动员代表中选出三人,求其中含有一级运动员人数 X 的分布列; (3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人,求其中含有一级运动员人数 Y 的期望. [解析] (1)由频率分布直方图知: (0.0625+0.0500+0.0375+a+2×0.0125)×5=1, ∴a=0.0250. 其中为一级运动员的概率为(0.0125+0.0375)×5=0.25, ∴选出篮球运动员代表中一级运动员为 0.25×16=4 人. (2)由已知可得 X 的可能取值分别为 0、1、2、3,

P(X=0)= 3 = ,
C12·C4 33 P(X=1)= 3 = , C16 70
2 1

C12 11 C16 28

3

P(X=2)=

C12·C4 9 = , 3 C16 70 C4 1 , C16 140
3

1

2

P(X=3)= 3 =

∴X 的分布列为

X P
1 (3)由已知得 Y~B(3, ), 4 1 3 ∴E(Y)=np=3× = , 4 4

0 11 28

1 33 70

2 9 70

3 1 140

3 ∴恰有一级运动员人数 Y 的期望为 人. 4

9


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