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江西省临川一中、新余一中、南昌二中等九校协作体2016届高三第一次联考 数学文


江西省临川一中、九江一中、新余一中等九校协作体 2016 届高三第一次联考 数学(文)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ? x A. x ?1 ? x ? 1

x ?1 ? ? n? ? ? 0 ?

, B ? ? y y ? sin , n ? Z ? ,则 A ? B ? ( 2 ? x?2 ? ? ? ?
B. ??1, 0,1? C. ??1, 0? ) D.8 ) D. 5 ? 3i D. ?0,1?



?

?

x ? ?2 ? x ? 1? 2.已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? ? f ? 3? ? ? ?( f x ? 1 x ? 1 ? ?? ? ? ?

A.1

B.2

C.4

3.若复数 z 满足 z ? i ? 3i ? 3 ? 4i ,则 z 的共轭复数为( A. 3 ? 5i B. 3 ? 5i C. 5 ? 3i

4.现有一组样本数据:1,2,2,2,3,3,4,5.则它的中位数和众数分别为( A.



5 ,2 2

B.2,2

C.3,2

D.2,3 )

5.数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 2n n ? N * ,若 m ? n ? 5 ,则 am ? an ? ( A.2 B.5 C. ?5 D.10

?

?

7.在区间 ? 0,3? 上随机取两个数 a 、b ,则其中使函数 f ? x ? ? ?bx ? a ? 1 在 ? 0,1? 内有零点的概率是 ( )
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A.

1 9

B.

2 9

C.

7 9


D.

8 9

8.执行下图所示的程序框图,则输出的 n 值为( A.9 B.10 C.11

D.12

9.如果两个方程的曲线经过若干次平移或对称变换后能够完全重合,则称这两个方程为“互为镜像 方程对” .给出下列四对方程:

?1? x 2 2 ① y ? sin x 和 y ? sin 2 x ;② y ? ? ? 和 y ? 2 ;③ y ? 4 x 和 x ? 4 y ;④ y ? 1 ? ln x 和 ?2?
y ? 1 ? ln x
其中是“互为镜像方程对”的有( A.1 对 B.2 对 ) C.3 对 D.4 对

x

?2 x ? y ? 1 ? 0 ? 10.设关于 x, y 的不等式组 ? x ? m ? 0 表示的平面区域内存在点 P ? x0 , y0 ? 满足 ?y ? m ? 0 ?

3 x ? 4 y ? 12 ? 5 ,则实数 m 的取值范围是(
A. ?1, ?? ? B. ?



?17 ? , ?? ? ?7 ?

C. ?1,

? 17 ? ? 7? ?

D. ? ??,

? ?

17 ? ? 7?

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11.我国古代数学家利用“牟合方盖” (如图甲)找到了球体体积的计算方法.它是由两个圆柱分别 从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体. 图乙所示的几何体是可以形成 “牟 合方盖”的一种模型,其直观图如图丙,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图 和俯视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别可能是( A. a , b B. a , d C. c , b ) D. c , d

12.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左顶点和上顶点分别为 A 、 B ,左、右焦点分别是 F1 , F2 , a 2 b2


在线段 AB 上有且只有一个点 P 满足 PF1 ? PF2 ,则椭圆的离心率为(

A.

3 2

B.

3 ?1 2

C.

5 3

D.

5 ?1 2

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

x2 3 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 的渐近线方程为 y ? ? x ,则其焦距为______. 2 a 3 ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 14. 已知两个向量 OA, OB 都是单位向量, 其夹角为 60? , 又 OA ? OC ? 0 , 且 OC ? tOA ? ?1 ? t ? OB ,
13.已知双曲线 则 t ? ______. 15.已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 各个顶点都在球面上, AB ? AD ? 8 , AA1 ? 6 ,过棱 AB 作该 球的截面,则当截面面积最小时,球心到截面的距离为______. 16.已知函数 f ? x ? ? 4 ln x ? x ?

3 , g ? x ? ? 2 x 2 ? bx ? 20 ,若对于任意 x1 ? ? 0, 2 ? ,都存在 x

x2 ? ?1, 2? ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,则实数 b 的取值范围是______.
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三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ? 3 cos

??

? ?

1 ?? ? x ? ? ? x x? 设函数 f ? x ? ? ? m ? n . 又在 ?ABC 中, 角 A、 ,1? , n ? ? sin , ? cos 2 ? , 2 2 ? 2 2? ? 1 . 2

B 、 C 的对边分别是 a, b, c , f ? A ? ?
(1)求角 A 的大小;

(2)若 a ? 3 ,且 cos ? B ? C ? ? cos A ? 4sin C .求 c 边的大小.
2

18. (本小题满分 12 分) 为了促进人口的均衡发展,我国从 2016 年 1 月 1 日起,全国统一实施全面放开两孩政策.为了解适 龄国民对放开生育二胎政策的态度,某部门选取 70 后和 80 后年龄段的人作为调查对象,进行了问 卷调查,其中,持“支持生二胎” 、 “不支持生二胎”和“保留意见”态度的人数如下表所示: (1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,其中持“支持”态度的人共 36 人,求

n 的值;
(2)在持“不支持”态度的人中,仍用分层抽样的方法抽取 5 人,并将其看成一个总体,从这 5 人 中任意选取 2 人,求至少有 1 个 80 后的概率. 支持 80 后 70 后 780 120 保留 420 180 不支持 200 300

19. (本小题满分 12 分) 如图,梯形 ABCD 中, AB ? CD , BE ? CD , DE ? BE ? CE ? 2 AB ,将 ABED 沿 BE 边翻折, 使平面 ABED ? 平面 BCE , M 是 BC 的中点,点 N 在线段 DE 上且满足 DN ? (1)求证: MN ? 平面 ACD ; (2)若 AB ? 2 ,求点 A 到平面 BMN 的距离.

1 DE . 4

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20. (本小题满分 12 分) 已知点 F 是抛物线 C : x ? 2 py ? p ? 0 ? 的焦点,点 P ? 3, y0 ?? y0 ? 1? 是抛物线 C 上一点,且
2

PF ?

13 2 , ? Q 的方程为 x 2 ? ? y ? 3? ? 6 ,过点 F 作直线 l ,与抛物线 C 和 ? Q 依次交于 4

(如图所示) M , A, B, N . (1)求抛物线 C 的方程; (2)求 MB ? NA ? AB 的最小值.

?

?

2 21.已知函数 f ? x ? ? e x ? ? x ? ? m ? 2 ? x ? 2m ? 1? ?.

(1)若函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上无极值,求实数 m 的值; (2)若 m ? 1 ,且存在实数 x0 ? ? 0, 2 ? ,使得 f ? x0 ? 是 f ? x ? 在 ? 0, 2? 上的最大值,求实数 m 的取值 范围; (3)若不等式

f ? x? 1 ? 2 ln x ? 2 ? 2m ? 1 对于任意 0 ? x ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围. x e x

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AB 是 ? O 的直径,直线 CD 与 ? O 相切于点 C , AD ? CD .
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(1)求证: ?CAD ? ?BAC ; (2)若 AD ? 4 , AC ? 6 ,求 AB 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,又以 o 为极点, x 轴的 3 ?y ? 2? t ? ? 2
正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 极坐标方程为:? ? 4 ? sin ? ? 4 , 直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两
2

点. (1)求直线 l 的普通方程及曲线 C 的平面直角坐标方程; (2)求线段 AB 的长. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知实数 a 、 b 满足:

1 1 ? ? 2 ab . a b

(1)求 a ? b 的最小值 m ; (2)在(1)的条件下,若不等式 x ? 1 ? x ? t ? m 对任意实数 x 恒成立,求实数 t 的取值范围.

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江西省临川一中、九江一中、新余一中等九校协作体 2016 届高三第一次联 考 数学(文科)试题参考答案
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.C 2.B 3.B 4.A 5.D 6.D 7.B 8.C 9.C 10.A 11.A 12.D 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.4 14. ?1 15.5 16. ?13, ?? ?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解: (1)∵向量 m ? ? 3 cos

??

? ?

x ? ? ? x x? ,1? , n ? ? sin , ? cos 2 ? , 2 ? 2 2? ?

∴函数 f ? x ? ? m ? n ? ∵ ∴ sin ? A ?

?? ?

1 x x x 1 3 1 ?? ? ? 3 sin cos ? cos 2 ? ? sin x ? cos x ? sin ? x ? ? ??3 分 2 2 2 2 2 2 2 6? ?
f ? A? ? 1 2

? ?

??

1 ?? 6? 2

??????4 分
0? A??


∴A?

?
3

??????
2

6分
(2)∵ cos ? B ? C ? ? cos A ? 4sin C . ∴ cos ? B ? C ? ? cos ? B ? C ? ? 4sin C ,
2

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c? 3

得 ????????12 分

18.解:(1)所有参与调查的人数为 780 ? 120 ? 420 ? 180 ? 200 ? 300 ? 2000 . 由分层抽样知

n?

36 ? 2000 ? 80 . 900

????????5 分
(2)由分层抽样知抽取的 5 人中有 2 个 80 后(记为甲、乙) ,3 个 70 后(记为 A 、 B 、 C ) 则从中任取两个,共有以下 10 种等可能的基本事件:(甲,乙)、(甲, A )、(甲, B )、(甲, C )、(乙,

A

)



(





B

)



(





C

)



? A, B ?



? A, C ?



? B, C ? ,
( 种 乙 ,

????????7 分
C
) 共 7 .

其中至少有 1 个 80 后的基本事件有(甲,乙)、(甲, A )、(甲, B )、(甲,C)、(乙, A )、(乙, B )、

????????9 分
故 至 少 有 1 个 80 后 的 概 率 为

P?

7 10

???

?????12 分
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19.解:(1)证明:取 AC 中点 G ,连接 MG , DG

∵ AG ? GC , BM ? MC , ∵ AB ? DE ,且 AB ?

∴ GM ? AB ,且 GM ? 1 AB 2
????????3 分

1 1 1 DE , DN ? DE ,∴ DN ? AB ,且 DN ? AB 2 4 2

∴四边形 DGMN 是平行四边形,∴ DG ? MN 又∵ DG ? 平面 ACD , MN ? 平面 ACD ∴ MN ? 平面 ACD . (2)设点 A 到平面 BMN 的距离为 h ∵平面 ABED ? 平面 BCE ,且 CE ? BE ,∴ CE ? 平面 ABED 又 M 是 BC 的中点 ∴点 M 到平面 ABED 的距离等于点 C 到平面 ABED 的距离的一半, 即为

????????5 分

1 BC ? 2 . 2

????????7 分

在 ?BMN 中,由平面 ABED ? 平面 BCE ,且 DE ? BE 得 DE ? 平面 BCE ∴ NB ?

NE 2 ? BE 2 ? 32 ? 42 ? 5 , NC ? NE 2 ? CE 2 ? 32 ? 42 ? 5

∴ NB ? NC ,故 NM ? BM 又 MN ? ∴ S ?BMN ?

NE 2 ? ME 2 ? 32 ? 2 2

?

?

2

? 17 , BM ? 2 2

1 1 ? BM ? MN ? ? 2 2 ? 17 ? 34 2 2 1 1 而 S ?ABN ? ? AB ? BE ? ? 4 ? 2 ? 4 2 2 1 1 1 由 VA? BMN ? VM ? ABN 得 ? S ?BMN ? h ? ? S ?ABN ? ? CE 3 3 2
即 ? 34 ? h ?

????????9 分

1 3

4 34 1 ? 4 ? 2 ,解得 h ? 17 3 4 34 17
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∴点 A 到平面 BMN 的距离为

????????12 分

20.解: (1)由 P ? 3, y0 ? 在抛物线 C 上得 2 py0 ? 9 又由 PF ?

13 p 13 得 y0 ? ? 4 2 4

9 9 ? ? y0 ? 1 ? ? y0 ? ? y0 ? ? 解得 ? 4 ,又 y0 ? 1 ,故 ? 4 9 或? p? ? ? ? ?p ? 2 ? 2 ?p ? 2
所以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .
2

????????4 分

(2)由题知直线 l 的斜率一定存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 则圆心 Q ? 0,3? 到直线 l 的距离为 d ?

2 k 2 ?1



∴ AB ? 2 r ? d ? 2 6 ?
2 2

4 k ?1
2

????????6 分

设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , 由?

? x2 ? 4 y 得 y 2 ? (2 ? 4k 2 ) y ? 1 ? 0 , ? y ? kx ? 1

则 y1 ? y2 ? 4k 2 ? 2 ,由抛物线定义知, MN ? y1 ? y2 ? 2 ? 4 1 ? k 2 ∴ MB ? NA ? AB ? MN ? AB ? AB

?

?

?????8 分

?

?

?

?

? MN ? AB ? AB

2

4 ? 4 ? ? ? ? 8 ? k 2 ? 1? ? 6 ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? 2 ? k ?1? k ?1? ? ?
? 8 6 ? k 2 ? 1? ? 4 ? k 2 ? 1? ?
2

16 ? 24 k 2 ?1

?????10 分

设 t ? k ? 1? t ? 1? ,则
2

? MB ? NA ? ? AB ? 8 6t 2 ? 4t ?

16 ? 1 ? 2 16 ? 24 ? 8 6 ? t ? ? ? ? ? 24 ? t ? 1? , t ? 3? 3 t
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2

? 1? 2 ∵函数 y ? 6 ? t ? ? ? ? 3? 3

2

和 y ? ? 16 在 ?1, ?? ? 上都是单调递增函数 t
?
?????12 分

∴ 当 t ? 1 时即 k ? 0 时, MB ? NA ? AB 有最小值 8 2 ? 8 .

?

(另解法二:当 k ? 0 时, AB 最短为 2 2 ,同时 MN 也最短为 2 p ? 4 ,故 MB ? NA ? AB 有 最小值 8 2 ? 8 ) .
2 21.解: (1)∵ f ? x ? ? e x ? ? x ? ? m ? 2 ? x ? 2m ? 1? ? 2 x ∴ f ? ? x ? ? ex ? ? ? x ? ? m ? 1? ? ??e , ? x ? mx ? ? m ? 1? ? ? ? ? x ? 1? ?

?

?

∵ f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上无极值 ∴ m ?1 ? 1 得 m ? 2 (2)∵存在实数 x0 ? ? 0, 2 ? ,使得 f ? x0 ? 是 f ? x ? 在 ? 0, 2? 上的最大值 ∴ x ? ? 0, 2? 时, f ? x ? 在 x ? x0 处取得最大值
x 由(1)得 f ? ? x ? ? ? x ? 1? ? ? x ? ? m ? 1? ? ? ?e

??????3 分

令 f ? ? m ? ? 0 得 x ? 1 ,或 x ? m ? 1 ①当 1 ? m ? 2 时, 0 ? m ? 1 ? 1 , 则 f ? x ? 在 ? 0, m ? 1? 上单调递增,在 ? m ? 1,1? 上单调递减,在 ?1, 2 ? 上单调递增, ∴?

? ? f ? m ? 1? ? f ? 2 ? m ?1 ? e 2 即 ? 4 ? m ? e m ? e3 得 ? 4 ? m? e ? ?1 ? m ? 2
m m

令 g ? m ? ? ? 4 ? m ? e ,则 g ? ? m ? ? ? 3 ? m ? e

由 1 ? m ? 2 得 g ? ? m ? ? 0 ,∴ g ? m ? 在 ?1, 2 ? 上单调递增,∴ g ? m ? ? g ? 2 ? ? g ? 3? ? e ,
3

∴ g ? m ? 在 1 ? m ? 2 时无解,故舍去; ②当 m ? 2 时, m ? 1 ? 1

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f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上单调递增, f max ? x ? ? f ? 2 ? ? e 2 ,不合题意,舍去;
③当 2 ? m ? 3 时, 1 ? m ? 1 ? 2

f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, m ? 1? 上单调递减,在 ? m ? 1, 2 ? 上单调递增,
2 ? ? f ?1? ? f ? 2 ? ? me ? e ∴? 即? ∴e ? m ? 3 ? ?2 ? m ? 3 ?2 ? m ? 3

④当 m ? 3 时, m ? 1 ? 2

f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, 2 ? 上单调递减,符合题意;
综上所述: m ? e . (3)由不等式 即是 m ? x ? ??????8 分

f ? x? 1 ? 2 ln x ? 2 ? 2m ? 1 x e x

1 2 ln x ? ? 2 对于任意 0 ? x ? 1 恒成立 x3 x 1 2 ln x 令 h ? x? ? x ? 3 ? ? 2 ? 0 ? x ? 1? x x
4 2 3 2 ?1 ? ln x ? x ? 3 ? 2 x ?1 ? ln x ? 则 h? ? x ? ? 1 ? 4 ? ? x x2 x4

∵ 0 ? x ? 1, ∴ x 4 ? 3 ? 0 , ?2 x ?1 ? ln x ? ? 0
2

∴ h? ? x ? ? 0 ,

∴ h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,∴ hmin ? x ? ? h ?1? ? 0 ∴ m 的取值范围是 m ? 0 . 22. (1)证明:连结 BC . 由 AB 为 ? O 的直径,得 ?ACB ? 90? ∵ AD ? CD ∴ ?ADC ? ?ACB ? 90? ??????12 分

∵直线 CD 与 ? O 相切于点 C , ∴ ?DCA ? ?B . ∴ ?ADC ∽ ?ACB ∴ ?CAD ? ?BAC .
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????????5 分

(2)解:由(1)得 ?ADC ∽ ?ACB . ∴

AD AC ∴ AC 2 ? AD ? AB . ? AC AB

????????7 分 ????????10 分

又∵ AD ? 4, AC ? 6 ,∴ AB ? 9

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 23.解: (1)由 ? ( t 为参数)消去 t ,得:直线 l 的普通方程为 3 x ? y ? 2 3 ? 2 ? 0 ?y ? 2? 3 t ? ? 2
????????2 分 又将 ? 2 ? x 2 ? y 2 , ? sin ? ? y 代入 ? 2 ? 4 ? sin ? ? 4 得 曲线 C 的平面直角坐标方程为 x 2 ? ? y ? 2 ? ? 8
2

????????5 分

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 2 (2)将 ? 代入 x 2 ? ? y ? 2 ? ? 8 得: t 2 ? 2t ? 4 ? 0 ?y ? 2? 3 t ? ? 2
设 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 t ? t2 ? 2, t1 ? t2 ? ?4 , 所以 AB ? t1 ? t2 ? 24.解: (1)∵

? t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 2 5

????????10 分

1 1 2 1 1 ? ? 2 ab 且 ? ? a b a b ab
????????3 分

∴ ab ? 1(当且仅当 a ? b 时取等号) ∴ a ? b ? 2 ab ? 2 (当且仅当 a ? b 时取等号) ∴m ? 2 (2)∵ x ? 1 ? x ? t ? m 对任意实数 x 恒成立等价于 x ? 1 ? x ? t 而 x ? 1 ? x ? t ? ? x ? 1? ? ? x ? t ? ? t ? 1 ∴ t ?1 ? 2 ∴ t ? ?1 或 t ? 3

????????5 分

?

?

min

?2
????????7 分 ????????10 分

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