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圆锥曲线轨迹方程的求法


圆锥曲线轨迹方程的求法
0603 班 杨金梅 指导老师 陈引兰 一直以来,圆锥曲线这部分内容都是高考必考内容,作为解 析几何中一个重要的部分, 在历次考试中也是让相当一部分考生 感到棘手。现在,我就圆锥曲线的轨迹方程的问题作一个归纳总 结。 在一般情况下, 我们对于求圆锥曲线的轨迹方程采用的方法 有:直接法,定义法,相关点法,参数法。下面就以上几种方法 作一下介绍。 一、 用直接法求轨迹方程 利用动点运动的条件作出等量关系,表示成 x,y 的等式。 例:已知点 A(-2,0),B(3,0).动点 P(x,y)满足 PA· PB =x2,则点 P 的轨迹是( ). A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

解: PA=(-2-x,-y), PB=(3-x,-y), PA· PB=x2 则(-2-x) (3-x)+(-y)(-y)=x2 整理得:y2=x+6 所以 P 点的轨迹为抛物线。 答案:D. 二、 有定义法求轨迹方程 根据圆锥曲线的基本定义解题。 例:如图,已知圆 O 的方程为 x2+y2=100,点 A 的坐标为(-6,0),M 为圆 O 上的任意一点,AM 的垂直平分线交 OM 于点 P,则点 P 的

轨迹方程( ) x2 y2 A.25 +16 =1 y2 (x+3)2 C. 25 + 16 =1 x2 y2 B. 25 -16 =1 (x+3)2 y2 D. 25 - 16 =1

解:由于 P 为 AM 的垂直平分线上的点,|PA|=|PM| 所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>|OA|=6 x2 y2 根据椭圆的定义知:P 点轨迹方程为25 +16 =1. 解答:A 三、 用相关点法求轨迹方程 当动点 M 随着已知方程的曲线上另一动点 C(x0,y0)运动 时,找出点 M 与点 C 之间的坐标关系式,用(x,y)表示(x0,y0) 再将 x0,y0 代入已知曲线方程,即可得到点 M 的轨迹方程。 例:如图所示从双曲线 x2-y2=1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线, 垂足为 N,求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程.

解:设动点 P 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x1,y1) ,则 N 点 的坐标为(2x-x1,2y-y1). ∵N 点在直线 x+y=2 上,∴2x-x1+2y-y1=2 ① ②

y-y1 又∵PQ 垂直于直线 x+y=2,∴x-x =1 即 x-y+y1-x1=0
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3 1 1 3 ①②联立得:x1=2 x+2 y-1,x2=2 x+2 y-1 又∵点 Q 在双曲线上,∴x12-y12=1 ③

将 x1,x2 代入③中,得动点 P 的轨迹方程式为 2x2-2y2-2x+2y-1=0 四、 用参数法求轨迹方程 选取适当的参数, 分别用参数表示动点坐标得到动点轨迹的 普通方程. 例: (04.成都)过抛物线 y2=2px(p>0)的顶点 O 作两条互相垂直的 弦 OA,OB,再以 OA,OB 为邻边作矩形 AOBM,如图,求点 M 的轨 迹方程.

解:设 M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2) 1 OA 的斜率为 k(显然 k≠0),则 OB 的斜率为-k . 2p 2p OA 所在直线方程为 y=kx.代入 y2=2px 得 x1= k2 ,y1= k 1 OB 所在直线方程为 y=-k x,代入 y2=2px 得 x2= 2pk2,y2=-2pk 即 B(2pk2, -2pk) 2p 2p ∴OB=(2pk2, -2pk),OA=( k2 , k )

2p 2p OM= OA+ OB =( k2 +2pk2, k -2pk)所以有 1 1 1 x=2p(k -k)2 +4p, y=2p(k -k) 消去(k -k)得:y2=2p(x-4p)(p>0) 即求得 M 点的轨迹方程。 注:在利用参数法求解时,要选择合理的参数,同时要注意参数的 取值范围. 除上述四种常用求曲线轨迹方程方法外,我们还介绍两种重要的 求解方法. 一.几何法 二.交轨法

1.几何法求解.(利用平面几何或解析几何中的图形性质) 例:已知圆的方程为 x2+y2=4,若抛物线过点 A(-1,0),B(1,0)且以圆 的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是( ). x2 y2 A. 4 - =1(x≠0) 3 x2 y2 C. 4 - =1(y≠0) 3 x2 y2 B . 4 + =1(x≠0) 3 x2 y2 D . 4 + =1(y≠0) 3

解:如图所示,根据题意及抛物线的图形性质有:令焦点为 P. 则有|BP|=|BE| |AP|=|AG|

所以|BP|+|AP|=|BE|+|AG|=2|OF| 由|OP|=2 知|BP|+|AP|=4=2a x2 y2 所以 a=2,方程为 4 + =1 3 且焦点不在 AB 直线上,所以 y≠ 0. 解答:D 2.用交轨法来求轨迹方程.(一般用于两动曲线交点的轨迹方程,其 过程是选出一个适当的参数,求出两动曲线的方程或动点坐标适 合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程)

y x2 例:如图所示,垂直于 x 轴的直线交直线交双曲线 a2 - 2 =1 b 于 MN 两点,A1,A2 为双曲线的顶点,求直线 A1M 与 A2N 的交 点 P 的轨迹方程,并指出轨迹形状.

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解:设 M(x1,y1)则 N(x1,-y1),P(x,y),A1(-a,0),A2(a,0) y1 则 A1M 的方程为 y= x +a (x+a), 1 y1 A2N 的方程为 y=- x -a (x-a) 1 -y12 x12 y1 2 2 将以上两方程联立得 y =x 2-a2 (x -a ) 由于 a2 - 2 =1, b 1
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x2 y 得a2 + 2 =1 b 当 a=b 时,点 P 的轨迹为以原点为圆心,a 为半径的圆. 当 a≠b 时,点 P 的轨迹为椭圆.

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