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江西师范大学附属中学2017届高三10月月考数学(理)试题


江西师大附中高三数学(理)月考试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

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一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。
2 x 1. 已知集合 A ? {x | x ? 16} , B ? { y | y ? 2

} ,则 A I B =(

) D. (0, 4)

A. [?4,0)

B. (0, 4]

C. (?4,0) )

2 2 2. 设 x、y ? R ,则 " x ? 1 且 y ? 1" 是 " x ? y ? 2" 的(

A. 既不充分也不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件

1 1 * * 3. 已知命题 p : ?x ? N , ( ) x ? ( ) x ;命题 q : ?x ? N , 2 x ? 21? x ? 2 2 ,则下列命题中 2 3

为真命题的是( A. P ? q

) B.
(?p) ? q

C.

p ? (?q)

D. )

(?p) ? (?q)

4. 下列函数中,既是偶函数又在区间 (0,3) 内是增函数的是( A. y ? log 1 | x |
2

B. y ? cos x

x ?x C. y ? e ? e

D. y ? x ?

1 x

5 5. 已知 tan ? ? 2(? ? (0, ? )) ,则 cos( ? ? 2? ) ? ( 2

)
3 5

A.

3 5

B.

4 5

C. ?

D. ?

4 5

6. 将函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位长度后,所得的函数图像关 于原点对称,则 ? 的最小值是( A. 7. ) C.
3 ? 4

? 4

B.

? 2

D.

3 ? 2

已 知 函 数

f ( x? )

a s i ?n x3

b ?x

4 ? (a


f ?( x) ) ? R, b R 为 f ( x) 的 导 函 数 , 则 ,

f (2016) ? f (?2016) ? f ?(2017) ? f ?(?2017) ? (

A. 0

B. 2016

C. 2017

D. 8

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8. 已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) ? 2| x ?m| ? 1(m ? R) ,记 a ? f (log0.5 3), b ? f (log2 5) .
c ? f( 2 m) ,则 a, b, c 的大小关系为(

) C. c ? a ? b D. c ? b ? a

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

1 3 1 9. 已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos 2x ? a ? ? (a ? R) ,若对任意 x ? R 都有 f ( x) ? 0 ,则 2 a 2

实数 a 的取值范围是(



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3 A. [? ,0) 2

B. [?1,0) U (0,1]

C. (0,1]

D. [1,3]

1 10. 设 x0 为函数 f ( x) ? sin ? x 的零点,且满足 | x0 | ? f ( x0 ? ) ? 33 ,则这样的零点有( ) 2

A. 61 个

B. 63 个

C. 65 个

D. 67 个

? 5 11. 已知函数 f ( x) ? ?2sin(2 x ? ? )(| ? |? ? ) ,若 ( , ? ) 是 f ( x) 的一个单调递增区间,则 ? 5 8
的取值范围是( A. [?
9 3 ?,? ?] 10 10


2 9 B. [ ? , ? ] 5 10

? ? C. [ , ] 10 4

D. [?? , ?

?
10

] U ( ,? ) 4

?

12. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 和 g ( x) 分别满足 f ( x) ?

f '(1) 2 x?2 ?e ? x2 ? 2 f (0) ? x , 2

g ' ( x) ? 2 g ( x) ? 0 ,则下列不等式成立的是(
A. f (2) ? g (2015) ? g (2017) C. g (2015) ? f (2) ? g (2017)

) B. f (2) ? g (2015) ? g (2017) D. g (2015) ? f (2) ? g (2017)

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.

?

1

?1

( x 2 ? 1 ? x 2 )dx =

14. 设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log3 (1 ? x) ,则 f ( ?2) = 15. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像如 图所示,则曲线 f ( x) 在 (0, f (0)) 处在的切方程为 16. 已知 G 点为 ?ABC 的重心,且满足 BG ? CG , 若
1 1 ? 则实数 ? = ? ? tan B tan C tan A

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题 10 分) 已知函数 y ? (1)求 M
x x?2 (2)当 x ? M 时,求 f ( x) ? 4 ? 2 的最小值.

1? x ? lg(3 ? 4 x ? x 2 ) 的定义域为 M 1? x

18. (本小题 12 分) ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且
2 c oC s a( c o B ?s b cA o ?s . c )

(1)求 C (2)若 c ? 7 , S?ABC ?
3 3 ,求 ?ABC 的周长. 2

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19. (本小题 12 分)在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC , ?ACD 与 V ACB 都是边长为 2 的等边三角形, BE ? 2 , BE 与平面 ABC 所成的角为 60o ,且点 E 在 平面 ABC 上的射影落在 ?ABC 的平分线上. (1)求证: DE / / 平面 ABC ;
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(2)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.

20. (本小题 12 分)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点在原点,始边与
x 轴的非负半轴重合,终边交单位圆于点 A, ? ?[ , ] ,将角 ? 的终边绕原点逆 4 2

? ?

时针方向旋转

? 交单位圆于点 B,过 B 作 BC ? y 轴于 C. 3
3 ,求点 B 的横坐标; 2

(1)若点 A 纵坐标为

(2)求 ?AOC 面积 S 的最大值.

21. (本小题 12 分)已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆的一个短轴 2 2 a b a 2 2 2 端点及两个焦点构成的三角形的面积为 3 ,圆 C 方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? ( ) . b
uu r uur

(1)求椭圆及圆 C 的方程; (2)过原点 O 作直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,若 CA ? CB ? ?2 ,求直线 l 的方程.

22. (本小题 12 分)已知函数 f1 ( x) ? x , f 2 ( x) ? e x ,

f3 ( x) ? lnx .

1 (1)设函数 h( x) ? mf1 ( x) ? f3 ( x), 若 h( x) 在区间 ( , 2] 上单调,求实数 m 的取值范围; 2

(2)求证: f 2 ( x) ? f3 ( x) ? 2 f1?( x) .

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高三数学(理)答案 一、选择题 1 B 2 D 3 C 4 C 5 D 6 A 7 D 8 C 9 C 10 C 11 C 12 D

二、填空题 13.

2 ? ? 3 2

14. -1

15. 6 3x ? 2 y ? 3 ? 0

16.

1 2

uuu r uuu r r 1 uur uur uuv uuu v uuv uuu v 1 uur uuu 16. Q BG ? CE ? BG ? CG ? 0 ? ( BA ? BC ) ? (CA ? CB) ? 0 ?( BA ? BC) ? (BA ? 2BC) ? 0 3 3 2 uu v2 uuu v2 uu v uuu v a ? c 2? b 2 ? 5a 2 ? b2 ? c 2 Q BA ? 2BC ? BA ? BC ?C 2 ? 2a2 ? ac ? ?0 2ac
而? ?

tan A tan A sin A sin( B ? C) ? ? ? ? tan B tan C cos A sin B ? sin C

a2 2a 2 2a 2 1 ? ? ? b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c 2 ? a 2 4a 2 2 bc ? 2bc

三、解答题
?1 ? x ?0 ? ? ?1 ? x ? 1 ? M ? [?1,1) 17. 解(1) ?1 ? x ..................................................6 分 ?3 ? 4 x ? x 2 ? 0 ?

1 (2) f ( x) ? (2x )2 ? 4a ? 2 x ? 4a2 ? 4a 令 t ? 2x ?[ , 2) 2
1 ? g (t ) ? t 2 ? 4t ? (t ? 2)2 ? 4 , t ?[ ,2) 2 ? f ( x)min ? g (t )min ? g 1 25 9 ? ? 4 ? .....................................................................................12 分 2 4 4
1 ? ?C ? 2 3 .....................................................................6 分

18. 解: (1)由已知可得 2cos C (sin A cos B ? sin B cos A) ? sin C
? 2cos C sin( A ? B) ? sin C ? cos C ?

(2) S?ABC ?

1 3 1 3 ab sin C ? 3 ? ab ? ? ab ? 6 2 2 2 2 ................................................................8 分

又 Q a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? c 2
? a 2 ? b 2 ? 13 ,?(a ? b)2 ? 25 ? a ? b ? 5 .............................................................................10 分
? ?ABC 的周长为 5 ? 7 .........................................................................................................12 分
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19. 解: (1)由题意知 ?ABC 、 ?ACD 为边长 2 的等边 ? 取 AC 的中点 O ,连接 BO , BO , 则 BO ? AC , DO ? AC . 又平面 ACD ? 平面 ABC ,? DO ? 平面 ABC ,作 EF ? 平面 ABC , 那么 EF / / DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上, Q BE 和平面 ABC 所成的角为 60o , ??EBF ? 60o ,
Q BE ? 2 ,? EF ? DO ? 3 ,? 四边形 DEFO 是平行四边形,? DE / / OF .
Q DE ? 平面 ABC, OF ? 平面 ABC , ? DE / / 平面 ABC ............................................6 分

(2)建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz , 则 B(0, 3,0) , C (?1, 0, 0) , E(0, 3 ? 1, 3) ,

uuu r ? BC ? (?1, ? 3,0)

uu u r ? BE ? ( 0 ? , 1, 3 )

平面 ABC 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) ...................................................................................8 分
u u v 设平面 BCE 的法向量 n2 ? ( x, y, z)

r u u v uuu ? ? n2 ? BC ? 0 , 则 ?u r u v uuu n ? BE ?0 ? ? 2

? ?? x ? 3 y ? 0 ?? ? ?? y ? 3 z ? 0

u u v 取 z ? 1 ,? n2 ? (?3, 3,1) ....................................................................................................10 分
u v u u v u vu u v n1 ? n2 13 ? cos(n1 , n2 ) ? u ,又由图知,所求二面角的平面角是锐角,二面角 E ? BC ? A 的余弦 v u u v ? | n1 | ? | n2 | 13

值为

13 . 13

..........................................................................................................12 分

3 ? ? ? ? , ? ? ( , ) ,所以 20. 解: (1)定义得 A (cos? ,sin ? ), B(cos(? ? ),sin(? ? )) ,依题意可知 sin ? ? 2 4 2 3 3 ? ? 2? 1 ? ? ,所以 B 的横坐标为 cos(? ? ) ? cos ?? . 3 3 3 2 .............................................5 分

? ? 1 (2)因为 | OA |? 1 , | OC |? sin(? ? ), ?AOC ? ? ? , 所以 S ? | OA | ? | OC | ? sin ?AOC 3 2 2
1 1 1 ? ? ? ( s i? n? ? sin(? ? ) ? sin( ? ? ) 2 2 2 3 2 1 1 3 1 ? cos 2? ? ( sin 2? ? ? ) 2 4 2 2 ? 1 1 3 3 ( sin 2? ? cos 2? ) ? 4 2 2 8 ? 3 c? os 2 )? c o? s 1 1 ( s i? n 2 2 c? o? s 3 2
2

c? os

)

1 ? 3 sin(2? ? ) ? 4 3 8 ............................................................9 分
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? ? ? 5? 4? ? 5? ? ? 又因为 ? ?[ , ) ,所以 2? ? ? ( , ) ,当 2? ? ? ,即 ? ? 时, sin(2? ? ) 取得最大值 4 2 3 6 3 3 6 4 3



1? 3 1 ,所以以 S 的最大值为 ............................................................................12 分 8 2

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21. 解: (1)设椭圆的焦距为 2c,左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,由椭圆的离心率为
c 3 3 a 2 ? b2 3 ? a ? 2b, b ? c ? a 2 ,即 a 2 3 ...............................................................3 分 4 ,所以

3 2 可得

1 3 以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为 1 b ? 2c ? 3 ,即 ? c ? 2c ? 3 , 2 3 2

?c ? 3 ,

a ? 2,

b ?1

所以椭圆的方程

x2 ? y 2 ? 1 ,圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 .............................................5 分 4

(2)①当直线 l 的斜率不存时,直线方程为 x ? 0 ,与圆 C 相切,不符合题意..................6 分 ②当直线 l 的斜率存在时,设直线方程 y ? kx ,

? y ? kx 由? 可得 (k 2 ? 1) x2 ? (2k ? 4) x ? 1 ? 0 , 2 2 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 ?

3 由条件可得 ? ? (2k ? 4)2 ? 4(k 2 ? 1) ? 0 ,即 k ? ? ................................................................8 分 4 2k ? 4 1 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 k ?1 k ?1
2k 2 ? 4k k2 , y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? 2 2 k ?1 k ?1 uur uur 而圆心 C 的坐标为(2,1)则 CA ? ( x1 ? 2, y1 ? 1), CB ? ( x2 ? 2, y2 ? 1) , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ?

uu r uur 所以 CA ? CB ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? ?2 ,
即 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 5 ? ?2 所以

4 1 2k ? 4 k2 2k 2 ? 4k ? 2 ? ? ? ? 5 ? ?2 解得 k ? 0 或 k ? ...............................10 分. 2 2 2 2 3 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

? l : y ? 0 或 4 x ? 3 y ? 0 ...........................................................................................................12 分
22. 解: (1)由题意得 h( x) ? mx ? ln x ,所以 h?( x) ? m ? 1 ,因为 1 ? x ? 2 , x 2 所以 1 ? 1 ? 2 ....................................................................................................................2 分 2 x 若函数 h( x) 在区间 ( 1 , 2] 上单调递增,则 h?( x) ? 0 在 ( 1 , 2] 上恒成立,即 m ? 1 在 ( 1 , 2] 上恒成立,所 x 2 2 2

以 m ? 2 ..........................................................................................................4 分 若函数 h( x) 在区间 ( 1 , 2] 上单调递减,则 h?( x) ? 0 在 ( 1 , 2] 上恒成立, 2 2 即 m ? 1 在 ( 1 , 2] 上恒成立,所以 m ? 1 .............................................................................5 分 x 2 2 综上,实数 m 的取值范围为 (??, 1 ] U[2, ??) ...................................................................6 分 2 (2)设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x) ? 2 f ?( x) ? e x ? ln x ? 2 2 3 1 则 g ?( x) ? e x ? 1 , 设 ? ( x) ? e x ? 1 ,则 ? ?( x) ? ex ? 1 ? 0 ,所以 ? ?( x) ? e x ? 1 在 (0, ??) 上单调递增, x x x2 x
1 由 ? ( 1 ) ? 0 , ? (1) ? 0 得,存在唯一的 x0 ? ( 1 ,1) 使得 ? ( x0 ) ? e x 0 ? ? 0 , x 2 2 0

所以在 (0, x0 ) 上有 ? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0 ,在 ( x0 , ??) 上有 ? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0 所以 g ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 , ??) 递增...................................................................10 分
g ( x)min ? g ( x0 ) ? e x 0 ? 1nx0 ? 2 ? 1 1 1 ? 1n x 0 ? 2 ? x0 ? ? 2 ? 0 x0 e x0

所以 g ( x) ? 0 ,故 ?x ? (0, ??), f 2 ( x) ? f3 ( x) ? 2 f1?( x) ..........................................................12 分


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