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安徽省合肥市2014届高三第一次质量检测数学文试题


合肥市 2014 年第一次教学质量检测
数学(文)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知复数 z ? ?2i ,则

1 的虚部为( z ?1
C.

) 2 D.<

br />
A. i

2 5

B.

2 5

2 5 i 5

2 5 5
) 正视图 2 1 俯视图 1 第6题 侧视图

2

2. “ p ? q 是真命题”是“ ? p 为假命题”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.双曲线 2 x ? y ? ?1的离心率为(
2 2



A.

6 2

B. 3

C. 2

D.

2 2


开始

4.函数 f ( x) ? 3sin 2 x ? cos2 x 的一条对称轴方程是( A. x ? ?

?
12

B. x ?

?
3

C. x ?

5? 12

D. x ?

2? 3

n ? 8, s ? 1, i ? 1

5 . 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 并 满 足 : an?2 ? 2an?1 ? an ,

s ? s?n
s ? s ?i

a5 ? 4 ? a3 ,则 S 7 ? (
A.7 B.12

) C.14 D.21 )

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

n ? n ? 1, i ? i ? 1
i ? n?
否 是 输出 s 结束 第8题 b 的取值范 a

2 7.函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 在区间 ( , 3) 上有零点,则实数 a 的取值范

1 2

围是(

) B. [2, ??) C. [ 2,

A. (2, ??)

5 ) 2


D. [2,

10 ) 3

8.已知程序框图如图所示,则输出的结果为( A.56 B.65 C.70 D.72

x 9.已知函数 f ( x) ? loga (2 ? b ? 1) (a ? 0,且a ? 1) 在 R 上单调递增,且 2a ? b ? 4 ,则

围为(



2 2 2 C. ( , 2 ] D. ( , 2) 3 3 3 10.对于函数 f ? x ? ,若 ? a, b, c ? R , f ? a ? , f ?b? , f ? c ? 都是某一三角形的三边长,则称 f ? x ? 为“可构
A. [ , 2 ) B. [ , 2] 造三角形函数”.以下说法正确的是( A. f ? x ? ? 1? x ? R? 不是“可构造三角形函数” B. “可构造三角形函数”一定是单调函数 )

2 3

1 ? x ? R ? 是“可构造三角形函数” x ?1 D.若定义在 R 上的函数 f ? x ? 的值域是 ? e , e ? (e 为自然对数的底数),则 f ? x ? 一定是 “可构造 ? ?
C. f ? x ? ?
2

三角形函数”

第Ⅱ 卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知集合 A ? {x | 1 ? x ? 3} , B ? {x | x ? 2} ,则 A ? (CR B) ? _____________. 12.函数 f ( x) ? ln

1 的值域是__________. x ?1

? 13.已知 ?ABC 中, a, b, c 分别为 ?A, ?B, ?C 的对边, ?B ? 60 , b ? 2 , a ? x ,如 c 有两组解,则 x

的取值范围是 14.已知点 A ? a,1? 和曲线 C: x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 ,若过点 A 的任意直线都与曲线 C 至少有一个交点,则 实数 a 的取值范围是 15 有下列命题: .

①已知 a, b 是平面内两个非零向量,则平面内任一向量 c 都可表示为 ?a ? ?b ,其中 ? , ? ? R ; ②对任意平面四边形 ABCD,点 E、F 分别为 AB、CD 的中点,则 2EF ? AD ? BC ; ③直线 x ? y ? 2 ? 0 的一个方向向量为 ?1,?1? ;

? ?

?

?

?

? ? ? ? ? ,且 a · b = 3 ,则| a - b |的最小值为 3 ? 1 ; 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ⑤ a // c 是( a · b ) ·c =a · ( b · c )的充分条件;
④已知 a 与 b 夹角为

?

?

其中正确的是

(写出所有正确命题的编号) .

三、解答题:本大题共六个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知 a = (cos( ? ?

?

?

? ? ? ? 5? ), 1) , b = (3, 0) ,其中 ? ? ( , ) ,若 a · b =1. 4 2 4

(Ⅰ )求 sin ? 的值; (Ⅱ )求 tan 2? 的值.

17. (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是梯形,且 AD=DC=CB=

E

F

1 1 AB.直角梯形 ACEF 中, EF // AC , ?FAC 是 2 2
D

锐角,且平面 ACEF⊥平面 ABCD. (Ⅰ )求证: BC ? AF ; (Ⅱ )试判断直线 DF 与平面 BCE 的位置关系,并证明你的结论. 18. (本小题满分 12 分) 某电视台举办青年歌手大奖赛,有 10 名评委打分,已知甲、乙两名 选手演唱后的打分情况如茎叶图所示: 甲 (Ⅰ )从统计的角度,你认为甲与乙比较,演唱水平怎 样? (Ⅱ )现场有 3 名点评嘉宾 A、B、C,每位选手可以从 中选 2 位进行指导,若选手选每位点评嘉宾的可能性相 等,求甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人的概率. 19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1) x ? 2ax ? 2 ln x .
2

C

A

B

乙 9 8 7 1 5 0 1 3 6 6 8 8 9

6 4 3 8 7 7 5 4 2 9

(Ⅰ )求证: a ? 0 时, f ( x) ? 1 恒成立; (Ⅱ )当 a ? [?2,?1] 时,求 f ( x) 的单调区间. 20. (本小题满分 13 分) 已知 ?ABC 的三个顶点都在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上, 且抛物线的焦点 F 满足 FA ? FB ? FC ? 0 ,
2

若 BC 边上的中线所在直线 l 的方程为 mx ? ny ? m ? 0 ( m, n 为常数且 m ? 0 ) . (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)O 为抛物线的顶点, ?OFA、?OFB、?OFC 的面积分别记为 S1、S2、S3 ,求证: S12 ? S22 ? S32 为定值. 21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

1 , (x>0) ,以点 (n, f (n)) 为切点作函数图像的切线 l n , ( n ? 1, n ? Z ) ,直线 x

x ? n ? 1 与函数 y ? f ( x) 图像及切线 l n 分别相交于 An , Bn ,记 an ? An Bn .
(Ⅰ)求切线 l n 的方程及数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设数列 ?nan ?的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn <1.

合肥市 2014 年第一次教学质量检测数学(文)
参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1 B 2 A 3 A 4 D 5 C 6 C 7 D 8 C 9 A 10 D

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (2, 3) 12. ? ??,0? 13. ( 2,

4 3 ) 3

14. [0, 1]

15.②④⑤

三、解答题:本大题共六个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分) 【答案解析】 (Ⅰ)由已知得: cos(? ?

?
4

)?

1 ? 2 2 , sin(? ? ) ? 3 4 3

sin ? = sin[(? ?

?
4

)?

?

] = sin(? ? ) cos + cos(? ? ) sin = 4 4 4 4 4

?

?

?

?

4? 2 . 6

??6 分

(Ⅱ)由 cos( ? ?

?
4

)?

1 2 2 得 sin ? ? cos? ? ,两边平方得: 1 ? 2 sin ? cos ? ? 3 9 3

即 sin 2? ? -

? ? ? ? ? ? 7 ? 3? ) , ∵ ? ? ? ( , ? ) , 且 cos(? ? ) ? 0 , ?? ? ? ( , ) ?? ? ( , 9 2 4 4 4 4 4 4 2
4 2 9 ? tan 2? ? 7 2 . 8
??12 分

3 ? 2? ? (? , ? ) 2

从而 cos2? ? -

17. (12 分) 【答案解析】 (Ⅰ)证明:取 AB 中点 H,连结 CH,

E

? 底面 ABCD 是梯形,且 AD=DC=CB= AB,
易证四边形 AHCD 为平行四边形,

1 2

F

∴AD=HC=

1 ? AB, ? ?ACB = 90 ? BC ? AC , 2

……3 分

? 平面 ACEF ? 平面 ABCD ,且平面 ACEF ? 平面

D

C
M
A
H

ABCD ? AC ,? BC ? 平面 ACEF ,而 AF ? 平面 ACEF ,故
BC ? AF . ……6 分
(Ⅱ) DF // 平面 BCE ,以下证明: 取 AC 的中点 M,连接 DM,FM.在平面 ABCD 中,DM,BC⊥AC,故 DM∥BC.

B

……8 分

在直角梯形 ACEF 中, EF //CM ,故 FM∥EC.

……10 分

而 BC,CE ? 平面 BCE,BC∩CE=C,而 DM,MF ? 平面 DMF,DM∩MF=M,故平面 BCE∥平面 DMF, DF ? 平面 DMF,从而,DF∥平面 BCE. ……12 分

18. (12 分) 【答案解析】 (Ⅰ)由茎叶图可得: X甲 ? 87.5 , X乙 ? 86.7 , X甲 ? X乙 ,所以甲演唱水平更 高一点,但甲的方差较大,即评委对甲的水平认可存在较大的差异 (Ⅱ)依题意,共有 9 个基本事件: 甲的选择 乙的选择 {A,B} {A,B} {A,C} {B,C} {A,B} {A,C} {B,C} {A,B} {A,C} {B,C} ??5 分

{A,C}

{B,C}

其中,甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人包含 6 个基本事件. 所以,所求概率为 P ?

6 2 ? . 9 3

??????12 分

2 19.(13 分) 【答案解析】 (Ⅰ) a ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 ln x , x ? (0, ??)

f ?( x) ? 2 x ?

2 2( x ? 1)( x ? 1) ? ,令 f ?( x) ? 0 ,解得: x ? 1 ( x ? ?1舍去) x x

当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, 1) 上单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增。 ∴ f ( x)min ? f ( x)极小值 ? f (1) ? 1 所以, ?x ? (0, ??) , f ( x) ? 1 . (Ⅱ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) ??5 分

f ?( x) ?

2[(a ? 1) x 2 ? ax ? 1] x
2( x ? 1) ,此时 f ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增,在 (0, 1) 上单调递减; x

①当 a ? ?1 时, f ?( x ) ?

②当 a ? ?1 时, f ?( x) ?

2(a ? 1)(x ? 1)(x ?

1 ) a ?1

x 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得: x ? 1 或x ? ? a ?1 1 ⅰ)当 ? 2 ? a ? ?1 时, 1 ? ? , a ?1 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得: 1 ? x ? ? a ?1 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得: x ? ? 或0 ? x ?1 a ?1 1 1 ) 上单调递增,在 (0, 1) 和 ( ? , ?? ) 上单调递减; 此时 f ( x) 在区间 (1, ? a ?1 a ?1
ⅱ)当 a ? ?2 时, 1 ? ?

1 ? 2( x ? 1) 2 ? 0 , f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递减. ,此时 f ?( x) ? a ?1 x

综上, a ? ?1 时, f ( x) 的单调递增区间为 (1, ??) ,单调递减区间为 (0, 1) ;

? 2 ? a ? ?1 时, f ( x) 的单调递增区间为 (1, ?

1 1 ) ,单调递减区间为 (0, 1) 和 ( ? , ?? ) ; a ?1 a ?1
??????13 分

a ? ?2 时, f ( x) 的单调递减区间为 (0, ??) ,无单调增区间。

20. (13 分) 【答案解析】 (Ⅰ)因为抛物线的焦点 F 满足 FA ? FB ? FC ? 0 ,? AF ? FB ? FC , 取 BC 边上的中点 M ,则 AF ? 2 AM ,故点 F 在直线 l 上,令 y ? 0 ,得 x ? 1 ,得抛物线的焦点 F ?1,0? , 于是,

p ? 1, p ? 2 . 2

……5 分

(Ⅱ)记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) ,由 FA ? FB ? FC ? 0 知: x1 ? x2 ? x3 ? 3,
2

……7 分

且 yi 2 ? 4xi (i ? 1, 2,3) .于是, S12 ? S22 ? S32 ?

1 2 1?2? 2 2 2 ? ? ? y1 ? y2 ? y3 ? ? 16 2 ? 2 ? 2 ? ? x1 ? x2 ? x3 ? 4? 2?
……13 分

?

3 ? 2 4 ? 3 ,证完. 16

1 1 / , (x>0)求导,得 f ( x ) ? 1 ? 2 , x x 1 1 1 2 则切线 l n 方程为: y ? (n ? ) ? (1 ? 2 )( x ? n) ,即 y ? (1 ? 2 ) x ? n n n n 1 n ?1 ) , Bn (n ? 1, n ? 1 ? 2 ) 易知 An ( n ? 1, n ? 1 ? n ?1 n
21.(13 分) 【答案解析】 (Ⅰ)对 f ( x) ? x ?

由 an ? An Bn 知 an ?

1 1 n ?1 ? 2 = 2 n ( n ? 1) n ?1 n

(Ⅱ)? nan =

1 1 1 = ? n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? =1 ? <1. n ?1 2 2 3 n n ?1

? Sn = a1 ? a2 ? ? ? an = 1 ?


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