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竞赛辅导-电磁学(邱老师)


前几届试卷分析
以前试题类型 填空题 12题,每题4分 共48分 基本计算题 4题,每题13分 共52分 选做计算题 2题,每题10分 共20分 以前各部分比例 请各位 力+相对论 52,41 50 同学留 电磁场+电路 31,31 30 意”竞赛 热学 8,21 15 说明”文 件中今 波动光学 16,14 15 年试题 量子 13,13 10 的变化
H.

M.Qiu H.M.Qiu

—— 电磁学
2009年10月

主 要 内 容

电磁学主要内容
矢量场的研究方法? ? 场量与场线 ? 通量与环量

电磁学主要内容 第23、24、25届电磁学考题 第10~22届电磁学部分考题



场量之间的关系? 场与物质的相互作用? ? 导体与场 ? 介质与场

H.M.Qiu

H.M.Qiu

电磁学主要内容
电场 ? 磁场 ???????????????????????? f f 磁感应强度 B = max 电场强度 E = q qv ? 1 q μ Idl × r 点电荷电场 E = ? 电流元磁场 dB = 0 r 4πε 0 r 2 4π r 2 求磁场的方法 求场强的方法 ? E 场强叠 E = ?∑ i i ?∑ i Bi 磁场叠 B = ? ? ? 加原理 d E 加原理 ? ? ∫ dB ? ∫ ? 高斯定理 ∫ D ? dS = ∑i q i 安培环路定理 ∫ H ? dl = ∑i I i 由电势梯度求: E = ?? U
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电磁学主要内容
电场 磁场 ???????????????????????? 电通量 Φ e = ∫ E ? dS 磁通量 Φ m = ∫ B ? dS 电介质 D = ε 0 E + P 磁介质 H = B

μ0 ? M

?n 面束缚电荷密度 σ ′ = P ? e
体束缚电荷 q′ = ?

?n 面束缚电流密度 j ′ = M × e
束缚电流 I ′ =



S

P ? dS



L

M ? dl
?D ? dS ?t S

∫ D ? dS = ∫ ρ
S V

0

dV

∫ H ? dl = ∫ J
L S

0

? dS + ∫

H.M.Qiu

1

电磁学主要内容
电场力 f = qE

电磁学主要内容
电场 ? 磁场 ???????????????????????? q Ψ 电容 C = 电感 L = m ΔU I 电场能量 磁场能量 1 2 1 电感器储能 W m = LI 电容器储能 W e = CU 2 2 2 1 1 w HB = 电场能量密度 w e = DE 磁场能量密度 m 2 2 电场储能 W e = ∫ w e dV 磁场储能 W m = w m dV

???????????? 洛仑兹力 f = qv × B
电场 磁场 磁 安培定律 dF = Idl × B 场 均匀电场中的电偶极子: 力 均匀磁场中 F = I ab × B M = pe × E M = pm × B

电场力的功 A12 = W1 ? W2 电偶极子外场中的电势能

We = ? pe ? E
n i =1

磁场力矩的功 A = ∫ IdΦ m 线圈在均匀磁场中的磁势能

Wm = ? pm ? B
i i



1 电荷系的 We = 静电能 2

∑q?

其中?i为qi所在处qi以外的其 它电荷所产生的电势
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w =

1 1 D?E + B?H 2 2
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电磁学主要内容
电势 U p =

电磁学主要内容
dΨm dt b 动生电动势 ε k = ∫ v × B ? dl a
法拉第电磁感应定律 电磁感应



c p

E ? dl

1 q 点电荷电势 U = 4πε r

电势叠加原理 U = ∫ dU 静电场中的导体:

ε =?

E内 = 0 U = C
电荷分布在表面

感生电动势

ε l = ∫ E感 ? dl
a

b

E 表面外

σ ? = En = e n ε0

自感电动势 ε L = ? L

di dt

互感电动势 ε12 = ? M

di1 dt

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电磁学主要内容
电磁场与电磁波 麦克斯韦方程组:
E=

补充1——运动电荷的电磁场
做匀速直线运动的点电荷Q的电场:
z

P

E

∫ D ? dS
S

=

V

∫ρ
0

0

dV


S

B ? dS = 0

Q(1 ? β )
2



L

E ? dl = ? ∫
S

? B ? dS ?t
? dS +

4πε 0 r (1 ? β 2 sin 2 θ )
2

3

? r
2

r
θ
o
Q

做匀速直线运动的点电荷Q的磁场:

υ

x

∫H
L

? dl =

∫J
S


S

? D ? dS ?t

B=

μ0Q(1 ? β 2 )
4π r 2 (1 ? β 2 sin 2 θ )
3 2

电磁波的传播 能流密度矢量 S = w u

? 非相对 B = μ0Q υ × r υ ×r ? 4π r 2 论下:

S = E×H
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ε E = μH

磁场是电场的相对论效应:B = υ × E c2
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2

补充2——静电场的唯一性定理
1) 定理: 在给定的边界条件下, 静电场的分布唯一确定 2) 应用: (镜像法解题)
如果在电荷附近放置一定形状的接地导体,由于导体上感应 电荷情况的复杂性,直接解场不够方便。但如果导体形状比较 简单,而且原电荷是线电荷或者点电荷,可采用镜象法(电像法 ),算出它们的合场。 用与原电荷相似的若干点电荷或线电荷 代替实际导体上的感应电荷,来计算原电荷与感应电荷合成的 场。这些相似的电荷称为镜象电荷

镜像法解场
例、接地导体球面附近有一点电荷,如图所示。 求电势及电场分布。

b

R
o

q

适用的对象: 边界简单(球、柱、面),域内电荷简单(线、点) 原则 :不能影响原边界值
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镜像法解场
镜象电荷q′代替 R 感应电荷的作用 使球面电势为零

镜像法解场
b

a

θ

x q’ q

R

a

b

θ

x q’ q

? q′ 4πε 0 a 2 + R2 ? 2aR cosθ
2 2 2 2

+

q 4πε 0 b2 + R2 ? 2bR cosθ
2

=0

q ( R + a ) ? 2q Ra cosθ = q'2 (b 2 + R 2 ) ? 2q'2 bRcosθ
选取q′和a使得对所有θ成立

空间电势分布: q q' ?= ? 2 2 2 4πε 0 ( x ? b ) + y + z 4πε 0 ( x ? a )2 + y 2 + z 2

q 2 a = q′ 2 b q 2 ( R 2 + a 2 ) = q′ 2 ( b 2 + R 2 )

a=

R b

q' =

R q b

a=

R2 b

q' =

R q b

进一步可求电场分布: E

= ?? ?
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第25届(2008年)考题
1、如图所示,带电量为Q,半径为R1的导体球 外,同心地放置一个内半径为R2、外半径为R3本不 带电的导体球壳,两者间有一个电量为q、与球心 相距r(R2>r>R1)的固定点电荷。静电平衡后,导 体球电势U球= ,导体球壳电势U壳 Q+q = 。 4πε 0 R3 · q rQ
R2

第24届(2007年)考题
1、半径R的导体球不带电,在匀强外电场E0中已 达静电平衡,表面感应电荷面密度分布记为 σ0 (θ) ,如 图所示。若使该导体球原带电量为Q > 0,在外电场E0 中静电平衡后,导体球受力 F = 。 QE0 表面电荷密度分布为 σ0 (θ ) = 。 Q
E0 R

σ 0 (θ ) +

σ0(θ )

4π R 2

1 ? Q q Q+q Q+q? + ? + ? ? 4πε 0 ? R1 r R2 R3 ?

R1 R3

θ

E0

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3

第24届(2007年)考题
2、北京地区地面附近地球磁场的水平分量记为 B∥,竖直向下分量记为B⊥。取电阻为R,半径为r的 金属圆环,将环如图1所示竖直放置后,绕着它的竖 直直径旋转180°,测得流过圆环的电量为Q1。再让 圆环绕着它的东西水平直径如图2所示方向旋转90°, 测得流过圆环的电量为Q2。据此可导得B∥= , Q1 R B⊥= 。 上 上

第24届(2007年)考题
3、平行板电容器极板面积为S,中间充满两层介 质,它们的厚度、相对介电常数和电阻率分别为 d1、ε r1、ρ1 和 d 2、ε r 2、ρ 2 ,两端加恒定不变的 电压V,如图所示。忽略边缘效应,试求: (1)两种介质内的电流密度和电场强度; (2)在两层介质交界面(包括介质1的下端面和介质2 的上端面)上的总电荷面密度和自由电荷面密度。
d1 d2

( 2Q2 ? Q1 ) R
2π r 西
2

2π r 2




西

ε r1、ρ1 ε r 2、ρ 2

V

图1 下



图2
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第24届(2007年)考题
d1 d2

第23届(2006年)考题
1、半径为R的孤立导体球,其电容
为 4πε 0 R 。两个半径同为R的导体球,球心间距 远大于R时形成的导体对电容器,其电容可近似 为 2πε 0 R 。

ε r1、ρ1 E1 ε r 2、ρ2 E2

V

(1) 两种介质内的电流密度和电 场强度; (2) 在两层介质交界面上的总电 荷面密度和自由电荷面密度。

E1d1 + E2 d 2 = V

j=

E1

∫∫ ∫∫

S

∑q E ? dS =
ε0

ρ1

=

E2

ρ2

ρ1V E1 = ρ1d1 + ρ2d2

? σ = ε 0 ( E2 ? E1 )

S

D ? dS = ∑ qi 0 ? σ 0 = D2 ? D1 = ε 0ε r 2 E2 ? ε 0ε r 1 E1
H.M.Qiu H.M.Qiu

第23届(2006年)考题
2、每边长为l的正方形ABCD区 A 域外无磁场,区域内有图示方向的 ? ? 匀强磁场,磁感应强度随时间的变 ? ? A' 化率为常量k。区域内有一个腰长为 ? ? l/2的等腰直角三角形导线框架 ? ? A'?B'C',直角边A'B'与AB边平行, ? ? 两者相距l/4,直角边B'C'与BC平 ? ? 行,两者相距l/4。已知框架A'B'C' ? ? 总电阻为R,则感应电流强度I ? ? 2 = kl 8R 。若将导线A'B'和 ? ? B'C'取走,留下导线A'C'在原来位 D 置,此时导线A'C'中的感应电动势ε = 。 0 B
? ? ? ? ? ? ? ? ?

第23届(2006年)考题
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

l ?4

B'

l ?4

3、5块相同的导体大平板相互间隔地自左至右平 行放置,各自带电量分别为Q1、 Q2、 Q3、 Q4、 Q5,如图所示,静电平衡后,试求:(1)第一块 平板左侧面电量Q1左和第5块平板右侧面电量Q5右 ; (2)试计算Q2左和Q3左 (用已知量表示)。 Q1左 = Q5右 Q Q Q Q Q
1 2 3 4 5

?C' ?

C

1 ( Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 ) 2 1 Q2左 = ( Q2 + Q3 + Q4 + Q5 ? Q1 ) 2 1 Q3左 = ( Q3 + Q4 + Q5 ? Q1 ? Q2 ) 2 =
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4

第14届(1997年)考题
1、用长为l 的细金属丝OP和绝缘摆球P构成一个圆 锥摆,P作水平匀速圆周运动时金属丝与竖直线的夹角为 θ,如图所示,其中O为悬挂点。设在讨论的空间范围内 有水平方向的匀强磁场,磁感应强度为B,在摆球P的运 动过程中,金属丝上P点与O点间的最小电势差 0 为 , P点与O点间的最大电势差为 。
× ×
3?
O

θ

×
l

θ

r dr

2? 4? B ×

× ?υ ×
1
P

υ×B

2
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×
H.M.Qiu

ω

第14届(1997年)考题
× ×
3?
O

第15届(1998年)考题
2、图中半径为R的圆形区域内有垂直朝里的匀强 磁场B,它随时间的变化率为dB/dt=K,此处K是一个 正的常量,导体棒MN的长度为2R,其中一半在圆 内,因电磁感应,棒的 N 端为正极,棒的感应电 动势大小为 。 ε MN = ε OMNO
× × × × × M O B × R × × A C N ×

θ

×
l

ΔU = ∫

P (2)

2? 4? B ×
θ

× ?υ ×
r dr 1
P

=∫ =∫

O P ( 2) O P (2)

υ × B ? dr υ × B cos θ dr υ B cos θ dr

×

ω

= ∫ ω r sin θ B cos θ dr
0

O l

υ×B

1 2 ΔU = 2 Bl gl cos θ sin θ

Tn = mg tan θ = mω l sin θ
2

1 = ω Bl 2 sin θ cos θ 2

= ( SOMA + SOAC )

dB dt

1 π = ( 3 + )R2 K 4 3
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第16届(1999年)考题
3、如图所示,在光滑的水平面上,有一可绕竖直 的固定轴O自由转动的刚性扇形封闭导体回路OABO, 其半径OA=L,回路总电阻为R,在OMN区域内为均匀 磁场B,其方向垂直水平面向下。已知OA边进入磁场 , 时的角速度为ω,则此时导体回路内的电流 i= 因此导体回路所受的电磁阻力矩M= 。 ω BL2 N O B × × × × 2R

第16届(1999年)考题
I=
N

× × × ×

× × × ×

× × × × × × × × × × × ×

× × l × υ× dl × ×A × × M

O

1 L υ × B ? dl = R R ∫0 1 L ω BL2 = ∫ ω lBdl = R 0 2R

ε

B

dF = Idl × B dM = l × dF M = ∫ IlBdl =
0
L

A M

ω B 2 L4
4R
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1 ω B 2 L4 IBL2 = 2 4R

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5

第17届(2000年)考题
4、如图所示,一金质圆环以其边缘为支点直立在 两磁极间,环的底部受两个固定档的限制,使其不能滑 动。现环受一扰动偏离竖直面0.1弧度,并开始倒下。 已知B=0.5T,环半径r1=4cm,环截面半径r2=1mm,金 的电导率为σ=4.0×107/Ω.m ,设环重F=0.075N,并可以 认为环倒下的过程中重力矩时时都与磁力矩平衡,求环 倒下所需的时间t。
S
B
θ

第17届(2000年)考题
S
B
θ

图示位置通过环面的磁通量为: φ = Bπ r12 sin θ

ε =?
N

dφ dθ = ? Bπ r12 cos θ dt dt

R=

2π r1 2r = 1 σπ r22 σ r22

i=

ε
R

=
2

σπ r1r22 B cos θ dθ
2
2 2

dt
dt

M = pm × B = iSB cosθ =
N
H.M.Qiu

σπ r r B cos θ dθ = Fr sin θ 1
3 2 1 2

t=∫

π

2 0.1

σπ 2 r12 r22 B 2 cos 2 θ dθ = 2.11s 2 F sin θ

2

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第20届(2003年)考题
5、电阻丝网络如图所示,其中每小段长a,电阻 为R。网络中左侧正方形区域有垂直图平面朝外的匀强 磁场,磁感应强度B随时间t的变化率为常数k,该区域 外无磁场。因电磁感应,图中流过AB电阻丝的电流 I= ,A到B的电压UAB= 。 ? ? ? ?B? ? I ? ? ? B R ε I
ε
R R

第21届(2004年)考题
6、在圆环上任取小段圆弧,如果它的两端受其余 部分的作用力均是拉力,则称环内有张力,如果均是推 力,则称环内有挤压力。这两种力同计为T,T>0代表 张力,T<0代表挤压力。将半径R、质量m、电荷量q的 均质带电刚性细圆环静放在光滑绝缘水平桌面上,圆环 外无磁场,圆周和圆内有竖直向上的均匀磁场。设t=0 时磁感应强度B=0,而后B随时间线性增大,比例系数 为k。由于电磁感应,圆环将绕圆心旋转,设圆环电阻 足够大,环内不会形成传导电流。试问t>0时刻圆环因 旋转而在环内产生的是张力还是挤压力,进而计算此力 的大小。
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A

4ε = ka 2
I并 =


4ε 4ka 2 = 3 R + 3 R 4 15 R

ε
ε

3 R 4

I 3R = =3 I并 ? I R

I= ka 2 20

3 ka 2 I并 = 4 5R

U AB = IR ? ε = ?

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第21届(2004年)考题
E
? ? ? ? B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? R? ? ? ? ? ? ?
涡旋电场在圆环处的方向? 大小 ?

第21届(2004年)考题
取一小圆弧,所受洛仑兹力 ? 指向圆心 ? ? ? qυ B B dF洛 = ( dq ) υ B = dφ ? ? ? ? ? 2π ? ? ? ? ? 所需向心力的大小为: ? R ? dφ ? ? υ 2 mυ 2 ? ? ? = dF心 = ( dm ) dφ dF洛 T T R 2π R ? υ dm , dq dF = dF + 2T sin dφ = dF + Tdφ 心 洛 洛 2 2 2 k q R 2 υ ? mυ ? T= t 为挤压力 ? qB ? = ? ? 2π ? R 8π m ?

E

E=

R dB k = R 2 dt 2

圆环因电场力获得的切向 加速度: qE kq a切 = = R m 2m kq t>0时刻,圆环运动速度大小为:υ = a切 t = Rt 2m
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6

第13届(1996年)考题
1、厚度为b 的无限大平板(设介电常数ε0)内分布 有均匀体电荷ρ(>0)的自由电荷,板外两侧分别充有 介电常数为ε1与ε2 的电介质,求: 1)板内外的电场分 布;2)板外的A点与B点分别距左右两板壁为l,求UAB
ε1
l b
-d1 0 d2
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A

ρ

ε2
l

B

x
H.M.Qiu

第13届(1996年)考题
电荷分布相对平板对称面不对称,设x=0的面为E=0面 1) E的分布:作如图柱面为高斯面 平板内部: ∫ D ? dS = D内S底 = ρ S底 x
∴ D内 = ρx ∴ E内 =

第13届(1996年)考题
板左侧和右侧电场均为均匀电场,都是板左侧束缚电 荷、无限大带电板和右侧束缚电荷共同产生,∴ E1=E2

ρ x / ε0

A
l

ε1

ρ

ε2
l


B

ρd 1 ρd 2 = ε1 ε2



平板外部: ∫ D ? dS = D外S底 = ρ S底d 左侧:D1 = ρd 1 E = ρd1 1 右侧: D 2 = ρd 2

b x -d1 0 d2 x

ε1 ρd E2 = 2 ε2

ρx ε 0 E= ρb ε1 +ε2

εb d1 + d 2 = b ? d1 = 1 ε1 + ε 2

ε1

d1

=

ε2

d2
A
l b
-d1 0 d2

ε1

ρ

ε2
l

B

{

? d1 < x < d2

x > d2

x < ?d1

x

H.M.Qiu

H.M.Qiu

第13届(1996年)考题
E=

第16届(1999年)考题

{

ρx ε0
ρb ε1 + ε 2

E
方向:

E
A
l b
-d1 0 d2
2 2

ε1

ρ

ε2
l

B

2、带电导体球O和无限大均匀带电平面如图放 置,P为导体球表面附近一点,若无限大带电平面的面 电荷密度为σ1,P点附近导体球表面的面电荷密度为 σ2 ,则P点电场强度的大小等于 σ 2 。

∴ U AB =
=∫
=
?d1 ? l ?d1



B

A

E ? dl
1

x

σ1
?σ P 2 ? O

ε0

?

0 ρx d ρx d +l ρb ρb dx + ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx 0 ε ?d ε d ε1 + ε 2 ε 0 0 1 +ε2
2

ρ b2 2ε 0

? ε 2 ? ε1 ? ? ? ? ε 2 + ε1 ?
H.M.Qiu H.M.Qiu

7

第17届(2000年)考题
3、如图所示,半径为R的半球面A的球心O?位于 O-z轴上距O点R处,半球面横截面与O-xy面平行,坐标 原点O处有一电量为q 的点电荷,则半球面A的电通量 φe= 。 z S球帽 = 2π ? 2 R ? 2 ? 1 R
2 ?1 R

第21届(2004年)考题
4、在半径为R1、电荷体密度为ρ 的均匀带电球体 中,有一半径为R2的球形空腔,球形空腔中心相对球体 中心的位置矢量为 r0,如图所示。(1)则球形空腔内 ρ 3ε 0 r0 电场强度的分布为 E = ;(2) 在图中用电场线图示电场强度的分布情况。

(

)

A

R

= 2 2?
2R

R

O′

(

?q O

x
Φe =

y
q Ω

Ω=

(

S 2R

)

2

( ) 2 )π R = π (2 ? 2 )
2

O?

r0
?

ε 0 4π

=

q 2? 2 4ε 0

(

)
H.M.Qiu

H.M.Qiu

第21届(2004年)考题
均匀带电球体内部任一点的电场?

第22届(2005年)考题
5、介质平行板电容器结构和相关参量如图所 示,若 ε r 1 > ε r 2 > ε r 3 ,则该电容器介质内各处场 强中的最小值Emin= ,最大值 Emax= 。 d d

E内 =
O?

ρr ρ ?= r r 3ε 0 3ε 0

r0 b
? ?P

考虑空洞内任意一点P的电场: 未挖前(整球体)E1 = 挖去的小球体 E2 =

c

挖去后空洞内P点电场:

ρ c 3ε 0

ρ b 3ε 0

ε r1
εr2
U

εr3

E = E1 ? E2 =

ρ

3ε 0

b?

ρ

3ε 0

c=

ρ
3ε 0

r0 洞内是均匀场
H.M.Qiu

H.M.Qiu

d

第22届(2005年)考题 D1 = ε r 1ε 0 E1 = ε r 3ε 0 E3 d

D1
ε r 1 E1 E3
E2 E4

E1 < E3 同理:E2 < E4
r1 E E1 + E3 = U d = E1 + εr3 1 ε U E1 = r3 εr1 + εr3 d

ε

ε r 2 D2 ε r 3
U

同理:E2 =

E 2 > E1 = Emin

E4 < E3 = Emax

εr3 U εr2 + εr3 d

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H.M.Qiu

8

第10届(1993年)考题
1、三根等长绝缘棒连成正三角形,每根棒上均 匀分布等量同号电荷,测得图中P、Q两点(均为相 应正三角形的重心)的电势分别为?P和?Q,若撤去 BC棒,则P、Q两点的电势为?′P= ; ?′Q= 。

第10届(1993年)考题
A Q B P C
设AB、BC、CA三棒对P点的 电势贡献及AC对Q点的电势 贡献皆为U1;AB、BC棒对Q 点的电势贡献皆为U2。则:

A Q B P C
H.M.Qiu

U p = 3U1 ; U Q = U1 + 2U 2
1 1 1 ? U1 = U p ; U 2 = U Q ? U p 3 2 6

撤去BC棒后,应有: U ′ p

′ = U1 + U 2 = 2U1 ; U Q

2 1 1 ′ = UQ + U P U p ; UQ ?U′ p = 3 2 6
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第11届(1994年)考题
2、真空中,在半径为R的接地金属球外,与球心 相距为a(a>R)处,置一点电荷q,不计接地导线上 电荷的影响,则金属球表面上的电荷总量为 q’= ? R q 。
aq
o R

第13届(1996年)考题
3、在xoy面上倒扣着半径为R的半球面,半球面上 电荷均匀分布,面电荷密度为σ。A点的坐标为 (0,R/2),B点的坐标为(3R/2,0),电势差 z UAB= Rσ 。 6ε 0 σ E下球面
R
O

a

x
=

?B

? ?A C
C

y E整球面
E上球面
C

U 球心

dq′ q q′ = + = + =0 4πε 0 a ∫ 4πε 0 R 4πε 0 a 4πε 0 R q
H.M.Qiu

UAB = UA ?UB = UA ?UC = ∫ E上 ? dr = ∫ E上y dy =
A A

? 1 1? Q Q UA整 ?UC整 ) = ? ? ( ? ? 2 2 ? 4πε0R 4πε0 ? ( 3 2) R ? ?

1 C E dy 2 ∫A 整

H.M.Qiu

第14届(1997年)考题
4、有两个半径分别为5cm和8cm的薄铜球壳同心放 置。已知内球壳的电势为2700V,外球壳带电量为 8.0×10-9C。现用导线把两球壳联接在一起,则内球壳电 V。(真空介电常量ε0=8.85 ×10-12C2/N?m2) 势为
Q' Q U
R1

第14届(1997年)考题
Q' Q U
R1

Q = 8×10?9 C, U = 2700V , R1 = 5cm, R2 = 8cm
U'

U=

R2

Q+Q' U' U' Q+Q' U'

R2

? Q ? ? Q′ = 4πε 0 R1 ? U ? ? 4πε 0 R2 ? ? Q + Q′ U′ = 4πε 0 R2 ? 1 ? Q ?? = ?Q + 4πε 0 R1 ? U ? ?? 4πε 0 R2 ? 4πε 0 R2 ? ? ? ? ? ? R1 ? ?1? ?Q R2 ? R =? + 1 U ≈ 2025 V 4πε 0 R2 R2
H.M.Qiu

Q′ Q + 4πε 0 R1 4πε 0 R2

H.M.Qiu

9

第20届(2003年)考题
5、电荷Q均匀地分布在半径为R的球面上,与球 心O相距R/2处有一静止的点电荷q,如图所示。球心O 处电势为 ,过O点的等势面面积 为 。 dQ q Q + 2q Uo = ∫ + = πε R πε R 4 4 2 4πε 0 R 0 0 Q
Q R ? O ? q

单对Q而言,球面内为等势区。 因此球面内的等势面仅由q决定。 而q的等势面为以q为中心的球面 族,故 2

?R? S过O点 = 4π ? ? = π R 2 ?2?

H.M.Qiu

H.M.Qiu

第11届(1994年)考题
1、两个固定的均匀带电球面A、B的球心间距d远 大于A、B的半径,A的带电量为4Q(Q>0),B的带 电量为Q。由两球心确定的直线记为MN,在MN与球 面相交处均开出一个足够小的孔,随小孔挖去的电荷 量可忽略不计。如图所示,将一带负电q(q<0)的质 点P静止地放在A球面的左侧某处,假设P被释放后恰 能穿经三个小孔而越过B球面的球心,试确定开始时P 与A球面球心的距离x 。
4Q Q M P M P

第11届(1994年)考题
4Q Q

x
A

d
r1

S ?
r2
B

N

x
A

d
r1

S ?
r2
B

N

H.M.Qiu

? r1 = d 3 4Q Q , r1 + r2 = d ? ? = S 处: 4πε 0 r12 4πε 0 r22 ? r2 = 2d 3 设质点到达S时刚好静止,则: 4Q Q 4Q Q + = + 4πε 0 x 4πε 0 ( x + d ) 4πε 0 r1 4πε 0 r2 2 ?x= 10 ? 1 d 9

(

)

H.M.Qiu

第12届(1995年)考题
2、真空中边长为2a的立方体型导体带有电量Q, 静电平衡时全空间的电场总能量为W1;真空中半径为 a的球型导体带有电量Q,静电平衡时全空间的电场总 能量为W2。则W1、W2 间的大小关系为W1 < W2 (填 >、=、<)

第15届(1998年)考题
3、图中圆代表半径为2a的球面,虚线P1OP2与 P3OP4代表两条相互垂直的直径,在直径P1OP2上有两 个固定的点电荷Q与-Q,各自与球心O的距离均为a。 设周围无其它物体,今将点电荷q从P1点沿P1P3P2半圆 移动到P2,电场力做功 ,将q从P3点沿P3P2P4半圆 移动到P4电场力做功 。再请回答,球面上场强是 否处处为零?答: 否 ;球面上场强是否处处不为 P3 零?答: 是 。
P1 Q ? O -Q ? P2

O

a

H.M.Qiu

P4

H.M.Qiu

10

第15届(1998年)考题
P3

第18届(2001年)考题
4、如图所示,在每边长为a的正六边形各顶点处有 固定的点电荷,它们的电量相间地为Q或-Q。 (1)试求因点电荷间静电作用而使系统具有的电势能W; Q a -Q 1 W = ∑ QiU i a 2 3a a 1 -Q 2 a Q 3a ? 3QU + + 3 ( ?Q ) U ? ? ? = ? 2
a a Q a -Q

1)将q从P1点沿P1P3P2半圆移动到P2:

A12 = q ( U1 ? U 2 )

P1

Q ?

O

-Q ?

P2

U1 =
U2 =

?Q Q Q + = 4πε 0 a 4πε 0 ? 3a 6πε 0 a
?Q Q Q + =? 4πε 0 a 4πε 0 ? 3a 6πε 0 a

P4

A12 = q ?

Q 3πε 0a

= 3QU +
= 3Q 2 ? 2 5 ? ? ? 4πε 0a ? ? 3 2?
H.M.Qiu

2)将q从P3点沿P3P2P4半圆移动到P4:U 3 = U 4

A34 = 0
H.M.Qiu

第18届(2001年)考题
(2)若用外力将其中相邻的两个点电荷一起(即始终 保持它们的间距不变)缓慢地移动到无穷远处,其余固 定的点电荷位置不变,试求外力做功量A。A = W ? W
Q a -Q


第19届(2002年)考题
5、如图所示,电量为q的实验电荷在电量为Q的静 止点电荷周围电场中,沿半径R的四分之三圆轨道由A点 移动到B点的全过程中,电场力做功为 ,从B再 0 移动到无穷远的全过程中,电场力做功为 qQ 。



Q a Q a

a

-Q

a -Q a Q a

3a

3a

2a

2 -Q
a

2a 3a
a -Q 4 a

1

4πε 0 R
R Q B

Q



W末 = W1 + W2 =

1 ?Q2 QU1 ? QU2 + QU3 ? QU4 ) + ( 2 4πε 0a 4 ? Q2 ? ? 3 A= ? 4πε 0 a ? 3? ?
H.M.Qiu

-Q

3Q

q
A

H.M.Qiu

第21届(2004年)考题
6、空气介质平行板电容器的极板面积为S,开始 时两极板的距离为d,两极板与电压为V0的电池相连 接。现用外力把两极板的距离拉开为2d。求在外力把两 极板距离拉开的过程中,电容器能量增加量 1 为 ,外力所做功为 。 W = CU 2
F

第22届(2005年)考题
7、如图所示,本不带电的半径为R3的导体球内, 有一个半径为R2<R3的球形空腔,空腔内有一个与空腔 同心的、半径为R1<R2的小导体球,小导体球带有电量 Q。静电平衡后,试求系统的电势能We。

d V0 S d

1 2 ΔW = V0 2 ( C 2 ? C1 ) 2 ε SV 2 1 ?ε S ε S ? = V0 2 ? 0 ? 0 ? = ? 0 0 4d 2 d ? ? 2d

R2 R1 Q -Q Q

W =

1 ? dq 2 ∫q 1 ε 0 E 2dV 2
H.M.Qiu

A源 = V0 (Q2 ? Q1 ) = V (C 2 ? C1 )
2 0
2

R3

ε 0 SV0 1 A外 = ΔW ? A源 = ? V0 2 ( C 2 ? C1 ) = 4d 2

W =∫

V

H.M.Qiu

11

第22届(2005年)考题
U R2 = U R3 =
R2 R1 Q -Q Q

Q 4πε 0 R3

U R1 =

R3

Q ? 1 1 1 ? ? + ? ? 4πε 0 ? R1 R2 R3 ?

W =

1? QU R1 + ? QU R2 + QU R3 ? ? 2? 2 1 1 ? Q ? 1 = ? + ? ? 8πε 0 ? R1 R2 R3 ?
H.M.Qiu H.M.Qiu

(

)

第13届(1996年)考题
1、一半径为a 的导体球,以 Q 恒定速度v(远远小于光速)运 动,球面上均匀分布着电荷Q。 求导体球内外的磁场分布。
dq
O

第14届(1997年)考题

a

r
r0
P

υ

B=∫

? ? μ0dqv × r dqr = μ0v × ∫ 2 4π r 4π r 2 Q Q

E=∫

dq ? r 2 4 πε 0r Q

2、如图所示,电流强度为I的直流电通过一根半无 限长直导线流到半径为R的金属半球面下方端点,而后 均匀地流过半球面的上方端点,再经过另一根半无限长 直导线流向无穷远处。设这两根半无限长直导线恰好在 半球面的直径延长线上,试证球心O处磁感应强度的大 小为B=μ0I/2πR。 y
俯视图:
dB RO


?0 ( r0 < a ) ? =? ?0 Qr ? μ0 v × 4π r 2 0 ?

(r0 > a)

?0 (r0 < a) ? =? Q ?0 (r0 > a ) ? 4πε r 2 r 0 0 ?
H.M.Qiu

θ θ

O

x

H.M.Qiu

第14届(1997年)考题
y

第16届(1999年)考题
3、如图所示,一无限大薄金属板上均匀地分布着 电流,其面电流密度为i0,在金属板的两侧各紧贴一相 对磁导率分别为μr1和μr2的无限大(有限厚)均匀介质 板,试分别求二介质板内的磁场强度,磁感应强度, 及二介质板表面上的磁化面电流密度。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × 0 × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×

俯视图:
dB RO


θ θ

I I ? Rdθ = dθ dI = πR π
O

x

dB =

μ0 dI
4R

=

μ0 I dθ 4π R

μr1 μr2

B = B y = ∫ sin θ dB = ∫
0

π

π

0

μ0 I μI sin θ dθ = 0 2π R 4π R

i

i1' i2'

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

H.M.Qiu

H.M.Qiu

12

第16届(1999年)考题
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × 0 × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×

第17届(2000年)考题
4、半径为R无限长半圆柱导体上均匀地流过电流 I,求半圆柱轴线(原圆柱体的中心轴线)处的磁感应强 度B。 y 圆心角为dθ的窄条中流过的电流为:

′ = M 2 = ( μr 2 ? 1) H 2 i2 i ' 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? i ? i0 ? i1′ = μr1 H1 ? 0 B1 = μ0 μr1 H1 = B0 + B1′ = μ0 ? + i1′ ? 2 ?2 ? i ′ = μr 2 H 2 ? 0 i2 ?i ? ′ = μ0 ? 0 + i2 ′? B2 = μ0 μr 2 H 2 = B0 + B2 2 ?2 ? i0 H1 = H 2 = i 2 B1 = μ0 μr1 0 B2 = μ0 μ r 2 i0 2 2 i i i1′ = ( μr1 ? 1) 0 i2 ′ = ( μr 2 ? 1) 0 2 2
i

μr1 μr2

i1'

i1′ = M 1 = ( μr1 ? 1) H1



θ

I 2I rdrdθ ? rdθ ? dr = 1 R2 π 2 πR dB R 2 μ μI 2I O x dB = 0 ? rdrdθ = 20 2 drdθ 2 π R 2π r π R π R μ I 0 B = 2 ∫ dB ? sin θ = 2 ∫ ∫ 2 2 2 dr ? sin θ dθ 0 0 π R 2 μ0 I = 2 π R dI =
H.M.Qiu

H.M.Qiu

第18届(2001年)考题
5、如图所示,无限长直导线MN与两边长分别为 l1、l2的矩形导线框架abcd共面,导线MN与导线框da边 平行,两者相距l0。当MN中通有电流I时,与MN相距r处 的磁场磁感应强度大小为B= μ0 I ;长导线与导线 2π r 框之间的互感系数为M= 。
N a l1 b

第19届(2002年)考题
6、据稳恒电流磁场的毕奥-萨伐尔定律 dB = , 最终可以求得右图中三个互相正交的圆环电流公共中心 处的磁感应强度大小为B= 。
B2 I I R I I B3 I B1

dB =

Φ=∫
l2

l0 + l1

l0

μ0 I μ Il l + l l2 dr = 0 2 ln 0 1 l0 2π r 2π

? μ0 Idl × r 2 4π r

l0

M=
M d c

Φ μ0l2 l0 + l1 = ln 2π I l0
H.M.Qiu

B = 3B 2 = 3 ?

μ0 I
2R

H.M.Qiu

第20届(2003年)考题
7、半径为R,电荷面密度为σ常量的薄圆板,在 北京地区一个竖直平面上以恒定角速度ω绕着它的中心 轴旋转,中心轴自西向东放置,如图所示。中心轴上与 圆板中心O相距l处有一原水平指北的小磁针,因又受到 圆板电流磁场的作用而朝东偏转?角后到达新的平衡位 置,试求该处地磁场磁感应强度的水平分量B/ /。


第20届(2003年)考题


dq = σ ? 2π rdr
B 小磁针


l
西

ω

O

σ r

dI =

ω

?


0

dq = σω rdr
R

P

B

B = ∫ dB = ∫ =∫
R

l
西

ω

σ
O R


?
小磁针

(u

u 3 du
2



R

2(r2 + l2 )
3/ 2

μ0 r 2

3/ 2

dI

+a

2 3/ 2

)


=



=

u 2 + 2a 2 u 2 + a2

+C
H.M.Qiu

(u

u 3 du
2 2

+a

2 3/ 2

)

0

2(r2 + l2 )

μ0σω

r 3 dr

u + 2a 2 u2 + a2



+C

B = B cot ?
H.M.Qiu

13

第21届(2004年)考题
8、真空中电路ABCD如图,AB为与x轴平行的直 线,BC为半径为R的圆弧(1/4圆周),CD为沿y轴的 直线,A、D为无限远点,电流强度为I。则原点O处磁 μ I π ? ? ? ,并在图中清楚明确地标 感应强度 B= ? 0 ? i + j? 4π R ? ?2 ? μI 示出

B

z

BAB = ? BBC

B I A x R O R I D C y

0 ? j 4π R 1 μ I? =? ? 0 i 4 2R

电场力、洛伦兹力、安培力、~力矩

BCD = 0
H.M.Qiu H.M.Qiu

第22届(2005年)考题
1、 两根无限长直载流导线相距a,彼此平行,
电流强度同为I,电流方向相反。每根导线所受安 培力方向为 背离另一根导线的方向 ,单位长度 导线电流受力大小为

第10届(1993年)考题
2、下图所示是用磁聚焦法测定电子荷质比的实验装 置。从阴极K发射出来的电子被加速电压V加速,穿过阳极A 上的小孔,得到沿轴线运动的、速度相同的电子束,再经平 行板电容器C,到达荧光屏,电容器至荧光屏的距离为l(>> 平板限度)。在电容器两极板间加一交变电压,使电子获得不 大的横向分速度,电子将以不同的发散角离开电容器。今在 轴线方向加一均匀磁场B。调节B的大小,可使所有电子会聚 于荧光屏的同一点(磁聚焦)。令B从零连续增大,记下出 现第一次聚焦的B值,根据V、B和l 的数值可测得电子荷质 。 比e/m= l
K V
H.M.Qiu H.M.Qiu

μ0 I 2 2。 πa

A

C

B

第10届(1993年)考题
l K V A

第11届(1994年)考题
3、设在讨论的空间范围内有匀强磁场B如图,方向 垂直纸面向里。在纸平面上有一长为h的光滑绝缘空心细 管MN,管的M端内有一质量为m、带电量为q>0的小球 P。开始时P相对管静止。而后如图所示,管带着P朝垂直 于管的长度方向始终以匀速度u运动。那么,小球P从N端 离开管后,在磁场中作圆运动的半径为R= 。在 此不考虑重力及各种阻力。 × × N ×

C

B

1 mυ 2 2 电子在电容器中获得横向速度后在磁场中螺旋运动 2π m 螺距:h = υT = υ eB e 8π 2V 2π m 2eV = 第一次磁聚焦:l = h = m B 2l 2 eB m
电子被加速 eV =
H.M.Qiu

× ×

× F × h ×
P M

.

×

u

H.M.Qiu

14

第11届(1994年)考题
× × ×
小球在洛伦兹力作用下被加速,到N 端时的速度满足: quB × N × u υ 2 = 2ah = 2h m × F × h u 小球相对于磁场的速度? × P × 2hqB

第12届(1995年)考题
4、如图所示,夹角为?的平面S1与S2相交于直线 MN,磁感应强度为B的空间匀强磁场的磁力线与S1面平 行,且与直线MN垂直。今取半径为R的半圆周导线,并 通以电流I,将它整体放置在平面S2的不同部位,则它可 能受到的最大安培力的大小Fmax= 2IBR ,最小安培 力的大小Fmin= 2IBRsin? 。
B
N S1 M
H.M.Qiu

υ

υ末

M

.

υ 末 = υ 2 + u2 = u 1 +

mu

b a RI

mu 2hqB = 1+ R= qB mu qB

mυ 末

S2

?

H.M.Qiu

第12届(1995年)考题
5、图a、b、c中除导体棒可动外,其余部分均固 定,不计摩擦,导体棒、导轨和直流电源的电阻均可 略,各装置都在水平面内,匀强磁场B的方向已在图中 标出。设导体棒的初始运动方向如图中υ0所示。有可能 在一直向右运动过程中最终达到匀速(不包括静止) 状态的是图 中的导体棒。 a
R C R R

第14届(1997年)考题
6、如图所示,板间距为2d的平行板电容器水平放 置,电容器的右半部分充满εr的固态电介质,左半部分 空间的正中位置有一带电小球q,电容器充电后q恰好处 于平衡状态。拆去充电电源,将固态电介质快速抽出, 忽略小球对电荷分布的影响,小球多久与极板相碰?
设电容器极 板面积S

×B
(a)

υ0

×B
(b)

υ0

ε0

×B
(c)

υ0

2d
+

q
+ + +

εr
+ +

H.M.Qiu

H.M.Qiu

第14届(1997年)考题
ε 0 S 2 ε 0 ε r S 2 ε S(1 + ε ) Q r + = 0 = 2d 2d 4d 2dE0 ε0S E 1 + εr Q C= = = > 1 2d p E0 2 2d 2dE + + ? ε ?1? F =qE ? mg = mg ? r ? 方向向上 ? 2 ? ∑ F = g(ε r ? 1) ∴a = m 2

第16届(1999年)考题
mg = qE 0
7、如图所示,一直流电源与一大平行板电容器相 连,其中相对介电常数为εr的固态介质的厚度恰为两极 板间距的二分之一,两极板都处于水平位置,假设此时 图中带电小球P恰好能处于静止状态。现将电容器中的 固态介质块抽出,稳定后试求带电小球P在竖直方向上 运动的加速度a的方向和大小。
-q m
?P

C 0=

εr
+ + + +



εr

2d,U

∵d =

1 2 at 2

∴t =

4d (ε r ? 1) g

H.M.Qiu

H.M.Qiu

15

第16届(1999年)考题
1+ εr d= E1d εr εr 抽介质后,两极板间的电势差不变 U = E 2 ? 2d U = E1d + E1
-q m

mg = qE1

εr

?P

2d,U

E2 =

1+ εr E1 < E1 2ε r

mg = qE1 > qE2 小球向下运动

F = mg ? qE 2 = mg ? q

1 + ε r mg = ma 2ε r q 1+ εr ε ?1 a = g? g= r g 2ε r 2ε r
H.M.Qiu

16


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