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【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.2.2第2课时 组合(二)课时作业 新人教A版选修2-3


【成才之路】2015-2016 学年高中数学 1.2.2 第 2 课时 组合(二) 课时作业 新人教 A 版选修 2-3

一、选择题 1.盒中有 4 个白球,5 个红球,从中任取 3 个球,则抽出 1 个白球和 2 个红球的概率 是( ) 10 A. 63 5 C. 14 [答案] D [解析] 从 9 个球中任取 3 个球有 C9种取法,其中含有 1 白球

2 红球的取法有 C4C5种, C4C5 10 ∴所求概率 P= 3 = . C9 21 2.12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前 排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是( A.C A
2 2 8 3 2 2 1 2 3 1 2

11 B. 21 10 D. 21

)

B.C A

2 6 8 6 2 2

C.C8A6 [答案] C

D.C8A5

[解析] 第一步从后排 8 人中抽 2 人有 C8种抽取方法, 第二步前排共有 6 个位置, 先从 中选取 2 个位置排上抽取的 2 人, 有 A6种排法, 最后把前排原 4 人按原顺序排在其他 4 个位 置上,只有 1 种安排方法,∴共有 C8A6种排法. 3.从编号为 1、2、3、4 的四种不同的种子中选出 3 种,在 3 块不同的土地上试种,每 块土地上试种一种,其中 1 号种子必须试种,则不同的试种方法有( A.24 种 C.12 种 [答案] B [解析] 先选后排 C3A3=18,故选 B. 4.把 0、1、2、3、4、5 这六个数,每次取三个不同的数字,把其中最大的数放在百位 上排成三位数,这样的三位数有( A.40 个 C.360 个 [答案] A ) B.120 个 D.720 个
2 3 2 2 2

2

)

B.18 种 D.96 种

1

[解析] 先选取 3 个不同的数有 C6种方法, 然后把其中最大的数放在百位上, 另两个不 同的数放在十位和个位上,有 A2种排法,故共有 C6A2=40 个三位数. 5.在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不 同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数 字相同的信息个数为( A.10 C.12 [答案] B [解析] 与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类: 第一类:与信息 0110 只有两个对应位置上的数字相同,有 C4=6(个); 第二类:与信息 0110 只有一个对应位置上的数字相同,有 C4=4(个); 第三类:与信息 0110 没有对应位置上的数字相同,有 C4=1(个); 综上知,与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息有 6+4+1=11(个). 6.从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医 生都有,则不同的组队方案共有( A.70 种 C.100 种 [答案] A [解析] 可分两类,男医生 2 名,女医生 1 名或男医生 1 名,女医生 2 名, ∴共有 C5·C4+C5·C4=70,或 C9-C5-C4=70.∴选 A. 二、填空题 7. 一排 7 个座位分给 3 人坐, 要求任何两人都不得相邻, 所有不同排法的总数有________ 种. [答案] 60 [解析] 对于任一种坐法, 可视 4 个空位为 0,3 个人为 1,2,3 则所有不同坐法的种数可 看作 4 个 0 和 1,2,3 的一种编码,要求 1,2,3 不得相邻故从 4 个 0 形成的 5 个空档中选 3 个插入 1,2,3 即可. ∴不同排法有 A5=60 种. 8.已知集合 A={x|1≤x≤9,且 x∈N},若 p、q∈A,e=logpq,则以 e 为离心率的不 同形状的椭圆有________________个. [答案] 26 [解析] 由于 e∈(0,1),∴9≥p>q>1, 当 q=2 时,p=3、4、?、9,椭圆的不同形状有 7 个; 当 q=3 时,p=4、5、?、9,椭圆的不同形状有 6 个;
2
3 2 1 1 2 3 3 3 0 1 2 2 3 2

3

) B.11 D.15

) B.80 种 D.140 种

当 q=4 时,p=5、6、?、9,椭圆的不同形状有 5 个; 当 q=5 时,p=6、7、8、9,椭圆的不同形状有 4 个; 当 q=6 时,p=7、8、9,椭圆的不同形状有 3 个; 当 q=7 时,p=8、9,椭圆的不同形状有 2 个; 当 q=8 时,p=9,椭圆的不同形状有 1 个; 其中 log42=log93,log32=log94, ∴共有(7+6+5+4+3+2+1)-2=26 个. [点评] 上面用的枚举解法,也可由 p、q∈A,e=logpq∈(0,1)知 9≥p>q>1,因此问 题成为从 2 至 9 这 8 个数字中任取两个数字并作一组的不同取法. ∴有 C8-2=26 个. 9.(2015·沈阳质量监测)将 7 支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中,每个笔筒中至 少放两支笔,有________种放法(用数字作答). [答案] 112 [解析] 设有 A,B 两个笔筒,放入 A 笔筒有四种情况,分别为 2 支,3 支,4 支,5 支, 一旦 A 笔筒的放法确定,B 笔筒的放法随之确定,且对同一笔筒内的笔没有顺序要求,故为 组合问题,总的放法为 C7+C7+C7+C7=112. [易错警示] 本题是分配问题,考生不能按照正确的顺序,即先分组再分配导致错误, 同时要注意均匀分配与不均匀分配是不同的. 三、解答题 10.在∠MON 的边 OM 上有 5 个异于 O 点的点,边 ON 上有 4 个异于 O 点的点,以这 10 个 点(含 O 点)为顶点,可以得到多少个三角形? [解析] 解法 1:(直接法)分几种情况考虑:O 为顶点的三角形中,必须另外两个顶点 分别在 OM、ON 上,所以有 C5·C4个,O 不为顶点的三角形中,两个顶点在 OM 上,一个顶点 在 ON 上有 C5·C4个,一个顶点在 OM 上,两个顶点在 ON 上有 C5·C4个.由分类加法计数原理 知,共有 C5·C4+C5·C4+C5·C4=5×4+10×4+5×6=90(个). 解法 2: (间接法)先不考虑共线点的问题, 从 10 个不同元素中任取三点的组合数是 C10, 但其中 OM 上的 6 个点(含 O 点)中任取三点不能得到三角形, ON 上的 5 个点(含 O 点)中任取 10×9×8 6×5×4 3 3 3 3 3 3 3 点也不能得到三角形,所以共可以得到 C10-C6-C5个,即 C10-C6-C5= - 1×2×3 1×2×3 5×4 - =120-20-10=90(个). 1×2 解法 3:也可以这样考虑,把 O 点看成是 OM 边上的点,先从 OM 上的 6 个点(含 O 点)中 取 2 点,ON 上的 4 点(不含 O 点)中取一点,可得 C6·C4个三角形,再从 OM 上的 5 点(不含 O 点)中取一点, 从 ON 上的 4 点(不含 O 点)中取两点, 可得 C5·C4个三角形, 所以共有 C6·C4+ C5·C4=15×4+5×6=90(个).
3
1 2 1 2 2 1 2 1 3 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 3 4 5 2

一、选择题 11.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1、2、3、?、18 的 18 名火炬手,若从 中任选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为( 1 A. 51 1 C. 306 [答案] B [解析] 从 18 人中任选 3 人,有 C18种选法,选出的 3 人编号能构成公差为 3 的等差数 列有 12 种情形),∴所求概率 P=
2 2 3

)

1 B. 68 1 D. 408

12 1 . 3 = C18 68

12. 以圆 x +y -2x-2y-1=0 内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为 ( ) A.76 C.81 [答案] A [解析]
2

B.78 D.84

如图,首先求出圆内的整数点个数,然后求组合数,圆的方程为(x-1) +(y
3

2

-1) =3,圆内共有 9 个整数点,组成的三角形的个数为 C9-8=76.故选 A.

13.(2014·合肥八中联考)将 4 个颜色互不相同的球全部收入编号为 1 和 2 的两个盒子 里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( A.10 种 C.36 种 [答案] A [解析] 根据 2 号盒子里放球的个数分类: 第一类, 2 号盒子里放 2 个球, 有 C4种放法, 第二类,2 号盒子里放 3 个球,有 C4种放法,剩下的小球放入 1 号盒中,共有不同放球方法 C4+C4=10 种. 14.编号为 1、2、3、4、5 的五个人,分别坐在编号为 1、2、3、4、5 的座位上,则至 多有两个号码一致的坐法种数为( A.120 ) B.119
4
2 3 3 2

)

B.20 种 D.52 种

C.110 [答案] D

D.109

[解析] 5 个人坐在 5 个座位上, 共有不同坐法 A5种, 其中 3 个号码一致的坐标有 C5种, 有 4 个号码一致时必定 5 个号码全一致,只有 1 种,故所求种数为 A5-C5-1=109. 二、填空题 15. 北京市某中学要把 9 台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学, 每所小学至 少得到 2 台,共有________________种不同送法. [答案] 10 [解析] 每校先各得一台,再将剩余 6 台分成 3 份,用插板法解,共有 C5=10 种. 16. (2014·辽宁省协作联校三模)航空母舰“辽宁舰”在某次飞行训练中, 有 5 架歼- 15 飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而甲、丁两机不能相邻着舰,那么不同 的着舰方法有________种. [答案] 36 种 [解析] ∵甲、乙相邻,∴将甲、乙看作一个整体与其他 3 个元素全排列,共有 2A4= 48 种,其中甲、乙相邻,且甲、丙相邻的只能是甲、乙、丙看作一个整体,甲中间,有 A2A3 =12 种,∴共有不同着舰方法 48-12=36 种. 三、解答题 17.7 名身高互不相等的学生,分别按下列要求排列,各有多少种不同的排法? (1)7 人站成一排,要求最高的站在中间,并向左、右两边看,身高逐个递减; (2)任取 6 名学生,排成二排三列,使每一列的前排学生比后排学生矮. [解析] (1)第一步,将最高的安排在中间只有 1 种方法;第二步,从剩下的 6 人中选 取 3 人安排在一侧有 C6种选法,对于每一种选法只有一种安排方法,第三步,将剩下 3 人安 排在另一侧,只有一种安排方法,∴共有不同安排方案 C6=20 种. (2)第一步从 7 人中选取 6 人, 有 C7种选法; 第二步从 6 人中选 2 人排一列有 C6种排法, 第三步,从剩下的 4 人中选 2 人排第二列有 C4种排法,最后将剩下 2 人排在第三列,只有一 种排法,故共有不同排法 C7·C6·C4=630 种. 18.有 9 本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分 法? (1)甲得 4 本,乙得 3 本,丙得 2 本; (2)一人得 4 本,一人得 3 本,一人得 2 本; (3)甲、乙、丙各得 3 本. [解析] (1)分三步完成: 第一步:从 9 本不同的书中,任取 4 本分给甲,有 C9种方法; 第二步:从余下的 5 本书中,任取 3 本给乙,有 C5种方法;
5
3 4 6 2 2 2 6 2 3 3 2 3 4 2 5 3

5

3

第三步:把剩下的书给丙有 C2种方法, ∴共有不同的分法有 C9·C5·C2=1260(种). (2)分两步完成: 第一步:将 4 本、3 本、2 本分成三组有 C9·C5·C2种方法; 第二步:将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有 A3种方法, ∴共有 C9·C5·C2·A3=7560(种). (3)用与(1)相同的方法求解, 得 C9·C6·C3=1680(种).
3 3 3 4 3 2 3 3 4 3 2 4 3 2

2

6


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