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2.3.2双曲线的简单几何性质


2.3.2 双曲线的简单几何性质
●三维目标 1.知识与技能 掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质; 理解渐近线的证明方法; 理解离心率和双曲线形状间的变化关系. 2.过程与方法 通过对双曲线几何性质的探究及应用过程培养学生的观察能力、 想象能力、 数形结合能 力、逻辑推理能力以及类比的学习方法. 3.情感、态度与价值观 培养学生对待知识的科学态度和探索精神, 而且能够

运用运动的、 变化的观点分析理解 事物. ●重点难点 重点:方程导出性质及其应用. 难点:渐近线的理解. 从学生的认知水平来看, 对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难, 同时渐进线概 念如何顺应学生思维的自然呈现,是教法中的一个困惑.因此,将渐近线的呈现与分析设置 为本课时的难点. 为突破该难点, 应从“如何画双曲线草图”入手, 分析作草图必须的条件, 以“双曲线的走向”为切入口,通过复习反比例函数图象,以旧引新,使双曲线的概念自然 呈现,并通过学生讨论与交流,充分暴露思维过程,完成分析和证明过程.

(教师用书独具)

●教学建议 本节课宜采用的教学方法和手段:类比、启发、探索式相结合的教学方法,体现学生的 主体作用.

●教学流程 提出问题:类比椭圆的几何性质,你能得到双曲线的哪些几何性质? ?

引导观察双曲线图形,分析其几何性质,导出范围、对称性、顶点、离心率等几何性质. ? 通过引导学生回答所提问题引出渐近线的概念,理解渐近线的特征. ? ?

通过例1及其互动探究,使学生掌握已知双曲线方程求几何性质的方法.

通过例2及其变式训练,使学生掌握由几何性质求双曲线标准方程的方法. ?在熟练掌握离 心率与渐近线概念的基础上,完成例 3 及其变式训练,从而解决双曲线中离心率、渐近线的 求 法 . ? 通过例4及变式了解直线与双曲线的位置关系问题 ? ?

归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识. 完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正.

课 标 解 读 1.掌握双曲线的简单几何性质.(重点) 2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义.(难点)

双曲线的几何性质 【问题导思】 类比椭圆的几何性质,结合双曲线的图象,你能得到双曲线的哪些几何性质? 【提示】 范围、对称性、顶点、渐近线、离心率.

标准方程

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 性 质 顶点 轴长 离心率 渐近线

x≥a 或 x≤-a

y≤-a 或 y≥a

对称轴:坐标轴,对称中心:原点 (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a)

实轴长=2a,虚轴长=2b c e= 且 e>1 a b y=± x a a y=± x b

双曲线的相关概念 1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.

2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其离心率 e= 2.

根据双曲线方程研究几何性质 求双曲线 nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心 率、顶点坐标和渐近线方程. 【思路探究】 化为标准 得双曲线的 → 求出a、b、c → 方程形式 几何性质

【自主解答】 把方程 nx2-my2=mn(m>0,n>0), x2 y2 化为标准方程 - =1(m>0,n>0), m n 由此可知,实半轴长 a= m, 虚半轴长 b= n,c= m+n, 焦点坐标( m+n,0),(- m+n,0), m+n c 离心率 e= = = a m n 1+ . m

顶点坐标为(- m,0),( m,0). ∴渐近线的方程为 y=± n mn x=± x. m m

由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤: (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定 a、b 的值. (3)由 c2=a2+b2 求出 c 值,从而写出双曲线的几何性质.

将本例双曲线方程改为“4x2-y2=-4”,试求解之. y2 x2 【解】 将方程 4x2-y2=-4 变形为 - =1. 4 1 ∴a=2,b=1,c= 5.

∴实半轴长为 2,虚半轴长为 1,焦点坐标为(0,- 5),(0, 5). c 5 离心率 e= = ,顶点坐标为(0,-2),(0,2). a 2 渐近线方程为 y=± 2x. 求双曲线的标准方程 求适合下列条件的双曲线标准方程. 3 (1)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± x. 2 x2 y2 (2)经过点 M(-3,2 3),且与双曲线 - =1 有共同的渐近线. 9 16 【思路探究】 分析双曲线 确定?讨论? 求双曲线的 → 求a、b、c → → 的几何性质 焦点位置 标准方程

b 3 9 【自主解答】 (1)当焦点在 x 轴上时,由 = 且 a=3,∴b= , a 2 2 x2 4y2 ∴所求双曲线方程为 - =1; 9 81 a 3 当焦点在 y 轴上时,由 = 且 a=3,∴b=2. b 2 y2 x2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 9 4 x2 y2 4 (2)法一 双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x 9 16 3 x2 y2 设所求双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b

?a=3 由题意得? 9 12 ?a - b =1,
2 2

b 4

9 ? ?a2=4 ∴? ? ?b2=4.

x2 y2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1; 9 4 4 y2 x2 设所求双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b

?b=3 由题意得? 12 9 ? a -b =1
2 2

a 4

此方程组无解.

x2 y2 综上可知,双曲线的标准方程为 - =1. 9 4 4

x2 y2 法二 设所求双曲线方程为 - =λ(λ≠0), 9 16 ∵双曲线经过点 M(-3,2 3), ?-3?2 ?2 3?2 1 ∴λ= - = . 9 16 4 x2 y2 1 x2 y2 故双曲线方程为 - = ,即 - =1. 9 16 4 9 4 4

1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程 (组), 但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式. x2 y2 2.利用渐近线与双曲线的位置关系,设有公共渐近线的双曲线系方程 2- 2=λ(λ≠0), a b 这样可避免分类讨论,从而减少运算量,提高解题速度与准确性.

求适合下列条件的双曲线的标准方程. 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 (2)一条渐近线方程是 x-2y=0,且过点 P(4,3). 【解】 (1)设双曲线的标准方程为 x2 y2 y2 x2 2- 2=1 或 2- 2=1(a>0,b>0). a b a b c 5 由题知 2b=12, = 且 c2=a2+b2, a 4 ∴b=6,c=10,a=8, x2 y2 y2 x2 ∴标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36 (2)法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为 x-2y=0,当 x=4 时,y=2<yP=3. a 1 ∴双曲线的焦点在 y 轴上.从而有 = ,∴b=2a. b 2 y2 x2 设双曲线方程为 2- 2=1, a 4a 由于点 P(4,3)在此双曲线上, 9 16 ∴ 2- 2=1,解得 a2=5. a 4a y2 x2 ∴双曲线方程为 - =1. 5 20

法二 ∵双曲线的一条渐近线方程为 x-2y=0, x x2 即 -y=0,∴双曲线的渐近线方程为 -y2=0. 2 4 x2 设双曲线方程为 -y2=λ(λ≠0), 4 42 ∵双曲线过点 P(4,3),∴ -32=λ,即 λ=-5. 4 x2 y2 x2 ∴所求双曲线方程为 -y2=-5,即 - =1. 4 5 20 求双曲线的离心率 x2 y2 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 为双曲线 a b 上一点,且∠PF1F2=30° ,∠PF2F1=60° ,则双曲线的离心率为________. 【思路探究】 通过解三角形 PF1F2 结合双曲线的定义你能得到关于 a、 c 的关系式吗? 【自主解答】 如图所示,在△PF1F2 中,∠F1PF2=90° ,

1 ∴|PF2|= |F1F2|=c, 2 |PF1|= 3c, 根据双曲线的定义, 有|PF1|-|PF2|= 3c-c=2a, c 2 故离心率 e= = = 3+1. a 3-1 【答案】 3+1

求双曲线离心率方法: c (1)若可求得 a,c,则直接利用 e= 得解; a (2)若已知 a,b,可直接利用 e= b 1+? ?2得解; a

(3)若得到的是关于 a,c 的齐次方程 pc2+q· ac+r· a2=0(p,q,r 为常数,且 p≠0),则

转化为关于 e 的方程 pe2+q· e+r=0 求解.

x2 y2 双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为( a b A.2 B. 3 C. 2 3 D. 2

)

b b 【解析】 依题意( )· (- )=-1,∴a=b. a a
2 2 c2 a +b 则 e2= 2= 2 =2,∴e= 2. a a

【答案】 C 直线与双曲线的位置关系问题 已知双曲线 C:x2-y2=1 及直线 l:y=kx-1, (1)若直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若直线 l 与双曲线 C 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,且△AOB 的面积为 2,求实 数 k 的值. 【思路探究】 (1)联立方程并消元得到关于 x 的方程,若直线与双曲线有两个不同交 点,该方程有怎样的特点? (2)△AOB 的面积是如何求出的?要得到这一结果需要求出哪些量,怎样求?
?y=kx-1, ? 【自主解答】 (1)联立方程组? 2 2 ? ?x -y =1,

消去 y 并整理得(1-k2)x2+2kx-2=0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点,
2 ? ?1-k ≠0, ? 则满足条件 2 2 ?Δ=4k +8?1-k ?>0, ?

解得- 2<k< 2,且 k≠± 1. ∴若 l 与 C 有两个不同交点,实数 k 的取值范围为(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2). (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 对于(1)中的方程(1-k2)x2+2kx-2=0, 由韦达定理,得 x1+x2=- ∴|AB|= 1+k2|x1-x2| 2k 2 ,x x =- , 1-k2 1 2 1-k2

= 1+k2· =

?-

2k 2 8 ?+ 1-k2 1-k2

?1+k2??8-4k2? . ?1-k2?2 1 , 1+k2

又∵点 O(0,0)到直线 y=kx-1 的距离 d= 1 1 ∴S△AOB= · |AB|· d= 2 2 8-4k2 = 2, ?1-k2?2

6 即 2k4-3k2=0.解得 k=0 或 k=± . 2 6 ∴实数 k 的值为± 或 0. 2

1.直线与双曲线的位置关系的判定方法. 直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况,其判定方法通常也是用 Δ 来 解决. x2 y2 设直线方程为 Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0),双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b 两方程联立消去 y 得 mx2+nx+q=0(*)形式的方程. (1)当 m≠0,方程(*)为关于 x 的一元二次方程. 当 Δ>0 时,方程有两解,则直线与双曲线相交于两点; 当 Δ=0 时,方程有一解,则直线与双曲线相切; 当 Δ<0 时,方程无解,则直线与双曲线相离. q (2)若 m=0,方程(*)为关于 x 的一次方程,x=- ,直线与双曲线相交于一点(此时直线 n 平行于渐近线). 2.双曲线的弦长公式. 与直线与椭圆相交所得的弦的长度求法一样,设直线 y=kx+b 与双曲线交于 A(x1,y1), B(x2,y2),则: |AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2. 或|AB|= 1 1+ 2|y1-y2|= k 1 1+ 2· ?y1+y2?2-4y1y2. k

已知双曲线 3x2-y2=3,直线 l 过右焦点 F2,且倾斜角为 45° ,与双曲线交于 A、B 两点,试问 A、B 两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦 AB 的长.

y2 【解】 双曲线 3x2-y2=3 化为 x2- =1, 3 则 a=1,b= 3,c=2. ∵直线 l 过点 F2 且倾斜角为 45° , ∴直线 l 的方程为 y=x-2, 代入双曲线方程,得 2x2+4x-7=0. 设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 7 ∵x1· x2=- <0, 2 ∴A、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上. 7 ∵x1+x2=-2,x1· x2=- , 2 ∴|AB|= 1+12|x1-x2|= 2· ?x1+x2?2-4x1x2 7 = 2· ?-2?2-4?- ?=6. 2 因此弦 AB 的长为 6.

忽略确定焦点的位置致误 已知双曲线 2x2-y2=k(k≠0)的焦距为 6,求实数 k 的值. x2 y2 【错解】 方程化为标准方程形式为 - =1. k k 2 k 3 3 ∵c2= +k= k,∴ k=32,∴k=6. 2 2 2 【错因分析】 k 值可正可负,错解中误把焦点看作在 x 轴上. 【防范措施】 求双曲线的标准方程、焦点坐标、渐近线方程、离心率时,一般要先确 定焦点的位置,当焦点位置不能确定时,要分类讨论,否则会导致错误. 【正解】 当 k>0 时,解法同“错解”. x2 y2 当 k<0 时,方程化为- + =1. k -k - 2 k 3 ∵c2=- -k=- k=32,∴k=-6. 2 2 综上可知 k=± 6.

1.通过双曲线方程可以讨论双曲线的几何性质,通过双曲线的几何性质也可以得到双 曲线方程.

2.渐近线是双曲线特有的性质,渐近线和离心率都可以描述双曲线的“张口”大小. 3.直线与双曲线的位置关系,可以通过由直线方程与双曲线方程得到的方程来判断, 首先看二次项系数是否为零,如果不为零,再利用 Δ 来判断直线与双曲线的关系.

1.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( A.2 B.2 2 C.4

) D.4 2

x2 y2 【解析】 双曲线的标准方程为 - =1,∴a2=4,∴2a=4. 4 8 【答案】 C x2 y2 2.双曲线 - =1 的渐近线方程是( 4 9 2 A.y=± x 3 3 C.y=± x 2 4 B.y=± x 9 9 D.y=± x 4 )

【解析】 焦点在 x 轴上,a=2,b=3,渐近线方程为: b 3 y=± x,即 y=± x. a 2 【答案】 C 3.已知双曲线的焦点为(-4,0),(4,0),离心率为 2,则双曲线的标准方程为________. c 【解析】 ∵e= =2,c=4,∴a=2,∴b2=c2-a2=12,且焦点在 x 轴上,故标准方 a x2 y2 程为 - =1. 4 12 【答案】 x2 y2 - =1 4 12

4.求双曲线 y2-2x2=1 的离心率和渐近线方程. y2 x2 【解】 双曲线方程化为标准方程形式为 - =1. 1 1 2 1 ∴a2=1,b2= ,焦点在 y 轴上. 2 ∴a=1,b= ∴e= = 2 2 3 6 ,c = ,c= . 2 2 2

c a

6 ,渐近线方程为 y=± 2x. 2

一、选择题 1.等轴双曲线的一个焦点是 F1(-6,0),则它的标准方程是( y2 x2 A. - =1 18 18 x2 y2 C. - =1 8 8 x2 y2 B. - =1 18 18 y2 x2 D. - =1 8 8 )

x2 y2 【解析】 设等轴双曲线方程为 2- 2=1(a>0), a a ∴a2+a2=62,∴a2=18, x2 y2 故双曲线方程为 - =1. 18 18 【答案】 B x2 x2 2. (2013· 济南高二检测)对于方程 -y2=1 和 -y2=λ(λ>0 且 λ≠1)所表示的双曲线有 4 4 如下结论: (1)有相同的顶点; (2)有相同的焦点; (3)有相同的离心率; (4)有相同的渐近线. 其中正确的是( A.(1)(4) C.(3)(4) )

B.(2)(4) D.(4)

x2 x2 【解析】 对于方程 -y2=1,a=2,b=1,c= 5;对于方程 -y2=λ,a′=2 λ, 4 4 b′= λ,c′= 5 λ,显然 a′、b′、c′分别是 a、b、c 的 λ倍,因此有相同的离心率 和渐近线. 【答案】 C x2 y2 3.双曲线 - =1 的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则 r 等于( 6 3 A. 3 B.2 C.3 D.6 )

2 【解析】 双曲线的渐近线方程为 y=± x,圆心坐标为(3,0),由题意知圆心到渐近线 2

|3 2+0| 3 2 的距离等于圆的半径 r,即 r= = = 3. 6 2+4 【答案】 A x2 y2 4.已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,以线段 F1F2 为边作正三角 a b 形 MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( A.4+2 3 C. 3+1 2 B. 3-1 D. 3+1 )

【解析】 如图,设 MF1 的中点为 P,由题意知 MF1⊥PF2. 3 在 Rt△PF1F2 中,|PF2|=|F1F2|· sin 60° =2c· = 3c. 2 1 |PF1|=|F1F2|· cos 60° =2c· =c, 2 ∵|PF2|-|PF1|=2a,∴a= c 2 ∴e= = = 3+1. a 3-1 【答案】 D 5.已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0 与 nx2+my2=mn 所表示 的曲线可能是( ) 3-1 c. 2

x2 y2 【解析】 方程可化为 y=mx+n 和 + =1,从 B、D 中的两椭圆看,m、n∈(0,+ m n ∞),但 B、D 中 m<0,矛盾;A 中双曲线 m<0,n>0,但直线 m>0,矛盾,只有 C 吻合. 【答案】 C 二、填空题

x2 y2 6.(2012· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - 2 =1 的离心率为 5, m m +4 则 m 的值为________. 【解析】 ∵c2=m+m2+4,
2 c2 m+m +4 ∴e2= 2= =5, a m

∴m2-4m+4=0,∴m=2. 【答案】 2 x2 y2 7.(2013· 玉溪高二检测)双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为________. 4 12 x2 y2 【解析】 由双曲线 - =1, 4 12 知 a=2,b=2 3,c=4, ∴焦点 F1(-4,0),F2(4,0), 渐近线方程 y=± 3x. 由双曲线对称性,任一焦点到任一渐近线的距离都相等. |4 3+0| ∴d= =2 3. 3+1 【答案】 2 3 y2 π 8.过双曲线 x2- =1 的左焦点 F1,作倾斜角为 的直线 AB,其中 A、B 分别为直线与 3 6 双曲线的交点,则|AB|的长为________. 【解析】 双曲线的左焦点为 F1(-2,0), 将直线 AB 方程:y= 3 (x+2)代入双曲线方程, 3

得 8x2-4x-13=0.显然 Δ>0, 设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 1 13 ∴x1+x2= ,x1x2=- , 2 8 ∴|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 1 1+ × 3 1 13 ? ?2-4×?- ?=3. 2 8

【答案】 3 三、解答题 9.求双曲线 9y2-4x2=-36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近

线方程. x2 y2 【解】 将 9y2-4x2=-36 变形为 - =1, 9 4 x2 y2 即 2- 2=1, 3 2 ∴a=3,b=2,c= 13, 因此顶点为 A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标为 F1(- 13,0),F2( 13,0), 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2b=4, c 13 离心率 e= = , a 3 b 2 渐近线方程:y=± x=± x. a 3 x2 y2 10.双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点,它的一条渐近线为 y=x,求双曲线的标准 16 64 方程和离心率. x2 y2 【解】 由椭圆 + =1,知 c2=64-16=48,且焦点在 y 轴上, 16 64 ∵双曲线的一条渐近线为 y=x, y2 x2 ∴设双曲线方程为 2- 2=1. a a 又 c2=2a2=48,∴a2=24. y2 x2 ∴所求双曲线的方程为 - =1. 24 24 由 a2=24,c2=48, c2 得 e = 2=2, a
2

又 e>0,∴e= 2. x2 11.已知双曲线 C: -y2=1,P 是 C 上的任意一点. 4 (1)求证:点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (2)设点 A 的坐标为(3,0),求|PA|的最小值. 【解】 (1)证明 设 P(x1,y1)是双曲线上任意一点,该双曲线的两条渐近线方程分别

是 x-2y=0 和 x+2y=0. |x1-2y1| |x1+2y1| 点 P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是 和 , 5 5

2 |x1-2y1| |x1+2y1| |x2 1-4y1| 4 它们的乘积是 · = = . 5 5 5 5

∴点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. (2)设 P 的坐标为(x,y),则|PA|2=(x-3)2+y2 x2 5 12 4 =(x-3)2+ -1= (x- )2+ . 4 4 5 5 12 4 ∵|x|≥2,∴当 x= 时,|PA|2 的最小值为 , 5 5 即 2 5 5 |PA| 的 最 小 值 为 .

(教师用书独具)

1 求过点( ,2)且与双曲线 4x2-y2=1 仅有一个公共点的直线方程. 2 【自主解答】 若直线的斜率存在 ,设为 k, 1 则所求直线方程为 y-2=k(x- ), 2 1 ? ?y-2=k?x-2?, 由? ?4x2-y2=1, ② ? ①

1 1 将①代入②整理得(4-k2)x2-2k(2- k)x-( k2-2k+5)=0.③ 2 4 (1)当直线与双曲线相切时,仅有一个公共点,
? ?Δ=0, 所以有? 2 ?4-k ≠0, ?

1 1 ? ?[-2k?2-2k?]2-4?4-k2?[-?4k2-2k+5?]=0, 即? ?k≠± ? 2, 5 5 3 解得 k= .故所求直线方程为 y= x+ . 2 2 4

(2)当 k=2 时,方程③变为一次方程,且有惟一解,因而直线①和双曲线仅有一个公共 点,故得到直线方程 y=2x+1. 1 (3)当 k=-2 时,同理可得直线方程 y=-2x+3.若斜率不存在时,因为点( ,2)在直线 2 1 1 x= 上,故所求直线方程为 x= . 2 2 综上所述,符合题意的直线有四条,分别为 5 3 1 y= x+ ,y=2x+1,y=-2x+3 和 x= . 2 4 2

y2 已知双曲线 x2- =1, 过 P(1,1)的直线 l 与双曲线只有一个公共点, 求直线 l 的斜率. 4 【解】 可分两种情况: ①直线 l 斜率不存在时,l:x=1 与双曲线相切,符合题意. ②直线 l 斜率存在时,设 l 的方程为 y=k(x-1)+1, 代入双曲线方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0. 当 4-k2=0,即 k=± 2,即 l 与双曲线的渐近线平行时, l 与双曲线只有一个公共点; 5 当 4-k2≠0 时,令 Δ=0,得 k= . 2 5 综上,k= 或 k=± 2 或 k 不存在. 2


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