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江苏省苏州市第五中学2014-2015学年高中数学 3.3简单的三角恒等变换学案 新人教A版必修4


3.3 几个三角恒等式(选讲)
一、 学习内容、要求及建议 知识、方法 和差化积、积化和差公式、 万能公式、半角公式 方程思想 主元思想 代换思想 要求 了解 建议 经历数学探索和发现过程,激发数 学发 现的欲望和信心,提高三角变 换的能力

二、 预习指导 1. 预习目标 本小节我们来了解几组三角恒等式,包括有和差化积公式、积化和差公式、万能公式和 半角公式.学习重点是了解推导这几组公式的思想方法和推导过程,而不是公式的记忆和灵 活应用. 2. 预习提纲 (1)知识准备:掌握两角和与差的三角函数公式,二倍角公式及运用; (2)阅读课本 P111~113 了解几个三角恒等式、万能公式、半角公式的推导与应用. 3. 典型例题 (1) 和差化积与积化和差公式:推导思想是方程组思想与代换思想

1 ? ?? ? ?? sin ? cos ? ? [sin( ? ? ? ) ? sin(? ? ? )] ; sin ? ? sin ? ? 2 sin cos 2 2 2 1 ? ?? ? ?? cos ? sin ? ? [sin( ? ? ? ) ? sin(? ? ? )] ; sin ? ? sin ? ? 2 cos sin 2 2 2 1 ? ?? ? ?? cos ? cos ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] ; cos ? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 2 1 ? ?? ? ?? sin ? sin ? ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] ;cos ? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2 2
例 1 求值:(1) sin 75 ? sin15 ;(2) sin10 sin 30 sin 50 sin 70 .
? ? ? ? ? ?

分析:这两道题都能用以前学过的方法解决(其中(2)可转化为 也可用和差化积与积化和差公式,比较一下两种方法吧! 解:(1)原式= 2cos

1 cos 20? cos 40? cos 80? ), 2

75? ? 15? 75? ? 15? 2 ? ? sin = 2cos 45 sin 30 = 2 2 2
? ? ? ? ?

(2)原式= ? [cos(10 ? 50 ) ? cos(10 ? 50 )] ? sin 70 =

1 4

1 1 ? sin 70? ? cos 40? sin 70? 8 4

=

1 1 ? sin 70? ? [sin(40? ? 70? ) ? sin(40? ? 70? )] 8 8 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? = ? sin 70 ? (sin110 ? sin 30 ) = ? sin 70 ? sin 70 ? = 8 8 8 8 16 16
(2) 万能公式

sin ? ?

2 tan

?
2 ?

2 , cos? ? 2

1 ? tan2 1 ? tan

?
2 , tan? ? 2

2 tan

?
2

1 ? tan

2 ?

1 ? tan2

?
2

? ? 2t a n 2 tan 2 2 , n? 其 中 t a? 就 是 正 切 的 二 倍 角 公 式 , sin ? ? ? ? 1 ? tan2 1 ? t a 2n 2 2
cos? ? 2 的推导均可在 sin ? ? 2 sin ? cos ? ,cos ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? 的基础 ? 2 2 2 2 1 ? tan2 2
2

1 ? tan2

?

上构造二次齐次分式,再分子分母同除以 cos

?

2

得到.万能公式的用途是用 tan

?

2

表示 ?

角的任何三角函数值,从而实现了从“多元问题”向“一元问题”的转化. 例 2 (1)已知 tan (2)若
?
2 ? 1 ? ? ?? 3sin ? tan ,求证: ; tan ? 4 2 2 5 ? 3cos ?

1 ? cos? ? 2 ,求 cos ? ? sin ? 的值. sin ? ? 1 ? cos? 分析: (1) 左、右两边都用 tan 表示出来; (2) 若用原来的方法,需将 ? 2与 2 sin ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 联立方程组,若用万能公式,只需要将条件与结论都统一成 tan 2 ? ? ? ? ? t an ? t an 4 tan ? tan 3 tan 2 2 = 2 2 = 2 证明:(1)左边= ? ? ? ? ? 1 ? t an t an 1 ? 4 tan ? tan 1 ? 4 tan2 2 2 2 2 2 ? 2 tan 2 3 ? ? ? 3 tan 1 ? tan2 6 tan 2 ∴左边=右边,等式成立. 2 ? 2 = 右边= ? ? ? 1 ? 4 tan2 1 ? tan2 2 ? 8 tan2 2 2 2 5?3 ? 1 ? tan2 2
1? t2 ? 1 ? t 2 ? 2 ,化简得 t ? 1 . 解:(2)设 t ? tan ,由已知 2t 2 2 2 1? t 1?

1? t2 2t 1 ? 2t ? t 2 ? ? ∴ cos ? ? sin ? = = 1? t2 1? t2 1? t2
4. 自我检测 (1)以下推导过程中正确的是

1? 2?

1 1 2 ?( ) 2 2 ? ?1. 1 5 1 ? ( )2 2





sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 1 111111111111111111111111111111 ? sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2



② cos ? ? cos

2?

2

? sin

2?

2

?

cos 2 cos
2

? ?
2

? sin 2 ? sin
2

? ?
2 ? 2

1 ? tan 2 1 ? tan
2

? ?
2; 2

2

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ③ ; 1 111111111111111111111111111111 ? sin ? sin ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2
④ sin ? ? 2sin

?
2

cos

?
2

? 2 tan

?
2

cos

2?

2

?

2 tan sin

?
2

cos 2

?
2 ? 2


2 tan tan
2?

?
2 . ?1

2?

(2)利用积化和差公式化简 sin ? sin(

?
2

2

? cos

2?

2

? ? ) 的结果为

(3)在 ? ABC 中,若 B ? 30? ,则 cos A sin C 的取值范围是 (4)已知 2sin ? ? 1 ? cos ?, 且? ? ? ? 2 k? , k ? Z ,则 tan (5)如果 cos ? ?



?

1 5 ? , ? ? ? ? 3? ,则 sin 的值为________________. 5 2 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? cos sin (6)根据 sin ? ? sin ? ? 2sin 及 cos ? ? cos ? ? ?2sin , 若 2 2 2 2

2

? ________ .

s i n ?s i n ?

??( c o s

3 c o s?) ,? 3

?( 0 , ) ,? 且? ( 0 , )? ? ? ?
?
4

,计算 ? ? ? ? ______ .

(7)函数 y ? sin( x ?

?
4

) ? sin(

? x) 的最大值为_________.

(8)根据你所掌握的知识,试求出 tan 22.5? 的值.

3 3 ? ? , ? ? ? ? ? ,试求出 sin ,cos 的值. 4 2 2 2 ? sin ? (10)①试用万能公式证明: tan ? ; 2 1 ? cos ?
(9)已知 tan ? ?

②已知 sin ? ? 三、课后巩固练习

? 4 ,当 ? 为第二象限角时,利 用(1)的结论求 tan 的值. 2 5
A组

1.已知 tan

?

1 ? ,则 sin(30? ? ? ) ? 2 2



2.化简 sin( x ?

)sin( x ? ) 等于____________________. 3 3 3.若 tan ? ? 3 ,则 sin 2? ? cos 2? 的值是__________. 2sin ? ? cos ? 4.已知 . ? ?5 ,则 tan 2? ? sin ? ? 3cos ?
5. 化下式为积的形式:0 ? ? ?

?

?

?

2

,2? ? ? ? 3? , 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? __________. .

6.化简: cos2 ? ? cos2 (? ? ? ) ? 2cos ? cos ? cos(? ? ? ) ? 7.已知 sin ? ? cos ? ?

? 1 ,且 ? ? ? ? 2? ,求 tan 的值. 2 2
B组

8.求下列各式的值:
? ? ⑴ cos 36 ? cos 72 ;

(2)

sin10? ? sin 20? ; cos10? ? cos 20?

2sin
? ? ? (3) tan10 tan 50 tan 70 ;

(4)

4? ? ? sin 9 9. ? cos 9


9.已知 sin 2? ? sin 2? cos ? ? cos 2? ? 1,且 ? 为锐角,则 tan ? ?
2

10.已知 sin x ? sin y ?

1 1 , cos x ? cos y ? ,分别求 cos( x ? y) 和 cos( x ? y ) 的值. 3 4

11.已知

?
2

? ? ?? ?

7 13 3? 7 ,且 sin ? ? sin ? ? ,且 tan(? ? ? ) ? . 13 4 24

求值:(1) cos ? ? cos ? ;(2 ) sin 2? . C组
? ? ? ? 12.求 tan 9 ? tan 27 ? tan 63 ? tan81 的值.

sin x ? 1 的值域. cos x ? 2 14. 已知正方形 ABCD 的边长为 a , 在边 BC、 CD 上分别有点 E、F ,
13.求函数 y ?
? 若 ?EAF ? 30 ,求 ?AEF 面积的最小值.

知识点 和差化积与积 化和差公 式 万能公式 半角公式 综合题 四、 学习心得

题号

注意点 关注角的变化 ,三角函数名 称的变化,灵活运 用公式, 实现三角函数式的和谐统一.

五、 拓展视野 我们已经学习了倍角公式, 该组公式的作用是已知 ? 的三角函数值就能求出 2? 的三角 函数值,若已知 ? 的三角函数值,能否求出

? 的三角函数值呢? 2 ? 1? c o s 2? 1 ? cos2? 在 降 幂 公 式 s i n2 ? ? , cos2 ? ? 中用“ ”代“ ? ”得 2 2 2

s i n2

?
2

?

? 1 ? cos? 1? c o s ? ? 1 ? cos? , cos2 , 两 边 开 方 可 得 sin ? ? , ? 2 2 2 2 2
1 ? cos? ? 1 ? cos? ,两式相除得: tan ? ? ,以上即为半角公式,应用时 2 2 1 ? cos?

cos

?
2

??

注意

? 角的所在象限来定符 号. 2

另外,正切还有两个不带根号的半角公式: tan 它们吗?

?
2

?

sin ? 1 ? cos ? ? ,你能证明 1 ? cos ? sin ?

例 (1)求 sin 67 30 , cos 67 30 , tan 67 30 的值; (2)已知 cos? ?

?

'

?

'

?

'

? ? ? 3 , ? 的终边在第四象限,求 sin , cos , tan 的值. 2 2 2 5
1 ? cos135? 2? 2 , ? 2 2 1 ? cos135? 2? 2 ? 2 2
sin 67?30' ? 2 ?1 cos 67?30'

分析:利用半角公式时,需先判定半角所在象限,从儿确定其符号. 解:(1) sin 67?30' ?

cos 67?30' ?

tan 67?30' ?

(2)∵ ? 的终边在第四象限 ∴ 2k? ? ∴ k? ?

3? ? ? ? k? ? ? , k ? Z 4 2

3? ? ? ? 2k? ? 2? , k ? Z , 2

当 k 为偶数时,

? 1 ? cos? 5 ? 是第二象限角,此时 sin ? , ? 2 2 5 2
tan

cos

?
2

??

1 ? cos? 2 5 , ?? 2 5

?
2

??

1 ? cos? 1 ?? . 1 ? cos? 2

当 k 为奇数时,

? 1 ? cos? 5 ? 是第四象限角,此时 sin ? ? , ?? 2 2 5 2
tan

cos

?
2

?

1 ? cos? 2 5 , ? 2 5

?
2

??

1 ? cos? 1 ?? . 1 ? cos? 2


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