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江苏省宿迁市沭阳县2015-2016学年高一数学下学期期中试题


2015~2016 学年度第二学期期中调研测试 高一数学试题
本试卷包含填空题(第 1 题—第 14 题)和解答题(第 15 题—第 20 题)两部分,共 4 页.本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 请把答案填写在答题卡相应的位 ....... 置上 . .. 1.不等式 ?x ? 1??x

? 2? ? 0 的解集为 2.已知数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? sin 3. sin 10 cos20 ? cos10 sin 20 ?
? ? ? ?



. ▲ . . ▲ ▲ ▲ . . . .

n? , 则 a3 ? 3
▲ ▲

4.函数 y ? x ?

4 ?x ? 0? 的最小值为 x

5.在 ?ABC 中, a ? 1, b ? 3, A ? 30? , 则 sin B = 6. 在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 3, a5 ? 12, 则 a8 ? 7. 在 ?ABC 中,若 AC ? 1, AB ? 2, A ? 600 ,则 BC= 8.已知正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1, 则 9. 若 tan ?? ? ? ? ?

1 1 ? 的最小值为 x y
▲ .





3 1 , tan ? ? , 则 tan ? ? 5 3

2 10.已知集合 A ? x x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? x x ? t . 若 A ? B ? A ,则实数 t 的取值范围

?

?

?

?







11.设 ?an ? 是 公差不为 0 的等差数列, a1 ? 4 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项 和 Sn = ▲ .

1

12.设 S n , Tn 分别是等差数列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和,已知

Sn n ?1 ,n? N *, ? Tn 2n ? 1



a5 ? b5





13 .等 差数 列 ?an ? 的 公差为 d , 关于 x 的 不 等式 a1 x 2 ? ?

?d ? ? a1 ? x ? c ? 0 的 解集为 ?2 ?
▲ .

?1 4 ? , ,则使数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 最小的正整数 n 的值为 ? ?3 5 ? ?
14.若正实数 x, y 满足 x ?

1 1 ? y ? ? 5 ,则 xy 的取值范围为 x y





二、 解答题: 本大题共 6 小题, 15—17 每小题 14 分, 18—20 每小题 16 分, 共计 90 分. 请 在答题卡指定的区域内作答 ,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ........... 15.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x? ? sin 2 x ? 3 sin x cos x, ?x ? R?。 (1)求函数 f ?x ? 的最小正周期; (2)当 x ? ?0,

? ?? ? 时,求 f ( x) 的最大值和最小值. ? 2?

16 .(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 4, an?1 ? 2an 。 (1)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (2)设等差数列 ?bn ? 满足 b7 ? a3 , b15 ? a4 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

2

17.(本小题满分 14 分) 已知 ? ? ? 0,

3 ? ?? ?, cos? ? . 5 ? 2? ?? ? ? ? ? 的值; ?6 ? ?? ? ? 2? ? 的值. ?3 ?

(1)求 sin ?

(2)求 cos?

18.(本小题满分 16 分) 已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1 ? a2 ? 12,9a3 ? a2 ? a6 .
2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ?log3 an , 求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和. b ? n?

3

19.(本小题满分 16 分) 如图,某测量人员,为了测量西江北岸不能到达的两点 A,B 之间的距离,她在西江南岸 找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找到一个点 D,从 D 点可以观 察到点 A,C;找 到一个点 E,从 E 点可以观察到点 B,C;并测量得到数据:

?ACD ? 90? , ?ADC ? 60? , ?ACB ? 30? , ?BCE ? 105? , ?CEB ? 45? ,
DC=CE=2(百米). (1)求△CDE 的面积; (2)求 A,B 之间的距离.

20.(本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 且 a n ?1 ? a n .设 bn ? 2 ? 3 log 1 an ?n ? N ? ? ,数列 ?cn ? 满足 4 2 2

cn ? an ? bn .
(1)求数列 {bn } 通项公式; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn ; (3)若 c n ?

1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

4

2015~2016 学年度第二学期期中调研测试 高一数学参考答案 1.

?? ?,1? ? ?2,???
7.

2. 0 8. 3 ? 2 2

3.

1 2
9.

4. 4

5.

3 2

6. 21

3

2 9

10. ?2,???

11.

10 n 2 ? 7n 12. 17 2

13. 4

14. ? ,4? 4

?1 ? ? ?

15.解:

f ?x ? ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ?

1 ? cos2 x 3 3 1 1 ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? 2 2 2 2 2
…………………………………6 分

?? 1 ? ? sin? 2 x ? ? ? 6? 2 ?
(1)函数 f ?x ? 的最小正周期为 (2) x ? ?0, 当 2x ?

2? ?? ; 2

………………………………… 8 分

? ? ? 5? ? ? ?? ? 2 x ? ? ?? , ? ? 6 ? 6 6 ? ? 2?
?

…………………………………10 分

? ? 即x ? 0 时, f ?x?min ? 0 6 6 ? ? ? 3 当 2 x ? ? 即x ? 时, f ? x ?max ? 6 2 3 2

?

…………………………………12 分 …………………………………14 分

16.解: a1 ? 4, an?1 ? 2an ? an ? 4 ? 2n?1 ? 2 n?1. …………………………………3 分 (1) Sn =

4 1? 2 n 1? 2

?

?

? 4 2 n ? 1 = 2 n?2 ? 4

?

?

…………………………………7 分

(2)设等差数列 ?bn ? 的公差为 d , 由 b7 ? a3 =16, b15 ? a4 =32 得 d ? 2, b1 ? 4. …………………………………9 分

所以 bn ? b1 ? ?n ? 1?d ? 4 ? 2?n ? 1? ? 2n ? 2. …………………………………11 分 则 Tn ?

n?b1 ? bn ? n?4 ? 2n ? 2? ? ? n 2 ? 3n. …………………………………14 分 2 2
5

17. 解: ? ? ? 0,

4 3 ? ?? ?, cos? ? ? sin ? ? , …………………………………2 分 5 5 ? 2?

(1) sin?

? ? 1 3 3 4 3? 4 3 ?? ? ? ? ? ? sin cos? ? cos sin ? ? ? ? ? ? . ………6 分 6 6 2 5 2 5 10 ?6 ?
…………………………………8 分 …………………………………10 分

(2) sin 2? ? 2 sin ? cos ? ?

24 , 25 7 cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? . 25

则 cos?

? ? ?? ? ? 2? ? ? cos cos2? ? sin sin 2? …………………………………12 分 3 3 ?3 ?
…………………………………14 分
2

?

1 ? 7? 3 24 7 ? 24 3 ??? ? ? ? ?? 2 ? 25 ? 2 25 50
2 2

18.解: (1)由 9a3 ? a2 ? a6 得 9a3 ? a4 ,而等比数列 ?an ? 的各项均为正数,则

3a3 ? a4 ,

…………………………………2 分

即等比数列 ?an ? 的公比为 3. a1 ? a2 ? 12 ? a1 ? 3a1 ? 4a1 ? 12, 则 a1 ? 3 , …………………………………5 分

则 an ? 3n. 即数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n. …………………………………7 分 (2) log3 an ? log3 3n ? n ? bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ?log3 an

? 1? 2 ? 3 ??? n ?


n?n ? 1? , 2

…………………………………10 分

1 2 1 ? ?1 ? ? 2? ? ? bn n?n ? 1? ? n n ? 1?

……… …………………………13 分

1? ?1 1 ? ? 1? ? 1 1? ?1 1? ? 1 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?1 ? bn ? 2?1 ? ? ? 2? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? 2? ? ? 2 2 3 3 4 n ? 1 n n n ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2 1 ? ? ……………… …………………16 分 ? 2?1 ? ? ? 2? n ?1 ? n ? 1?
19.解:(1)连接 DE, 在△CDE 中,∠DCE=360°﹣90°﹣30°﹣105°=135°,………………………3 分
6

S ?BCD ?

1 1 2 DC ? CE ? sin ?DCE ? ? 2 ? 2 ? ? 2 (平方百米) 2 2 2

………6 分

(2)依题意知,在 Rt ?ACD 中,

AC ? DC ? tan?ADC ? 2 ? tan60? ? 2 3

………………………………8 分

在△BCE 中,∠CBE=180°﹣∠BCE﹣∠CEB=180°﹣105°﹣45°=30° 由正弦定理 得 ………………………………10 分

BC ?

CE 2 ? sin ?CEB ? ? sin 45 ? ? 2 2 sin ?CBE sin 30 ?
2 2 2

……………12 分

在△ABC 中,由余弦定理 AB =AC +BC ﹣2AC?BCcos∠ACB 可得 AB ? 2 3 ∴ AB ?

? ? ? ?2 2 ?
2

2

? 2 ? 2 3 ? 2 2 cos 30 ? ? 20 ? 12 2

………15 分

20 ? 12 2 ? 2 5 ? 3 2 (百米)

…………………………………16 分

20.解: (1)由 a n ?1 ? 则 an ? ? ?

1 1 a n 得,数列 ?an ? 为公比为 的等比数列, 2 2
?

?1? ? 2?

n ?1

?n ? N ? ,
n ?1

…………………………………2 分

?1? 所以 bn ? 2 ? 3 log 1 ? ? 2? 2?

? 3n ? 3 ,即 bn ? 3n ? 1。…………………………4 分
n ?1

?1? (2)由(1)知, an ? ? ? ? 2?
则 cn ? ?3n ? 1? ? ? ?
2

?n ? N ? , b
?

n

? 3n ? 1

?1? ? 2?

n ?1


3 4

…………………………………5 分
n n ?1

?1? ?1? ?1? ?1? ?1? S n ? 4 ? ? ? ? 7 ? ? ? ? 10? ? ? ? ? ? ?3n ? 2? ? ? ? ? ?3n ? 1? ? ? ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?


,①

1 ?1? ?1? ?1? ?1? S n ? 4 ? ? ? ? 7 ? ? ? ? 10? ? ? ? ? ? ?3n ? 2? ? ? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?

3

4

5

n ?1

?1? ? ?3n ? 1? ? ? ? ? 2?

n?2



…………………………………7 分
7

①-②两式相减得

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? Sn ? 4 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 3 ? ? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
n ?1 n?2 ?? 1 ? 3 ? 1 ? 4 ?1? ? ?1? ? 1 ? 3 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3n ? 1?? ? ?2? ? ?2? ? ?? 2 ? ? 2 ? ?

2

3

4

n

n ?1

?1? ? ?3n ? 1?? ? ? 2?

n?2

? 1? 3?

?1? ? ? ?2?

3

? ? 1 ? n ?1 ? ?1 ? ? ? ? n?2 ? ?2? ? ? ? ? ?3n ? 1?? 1 ? ? ? 1 ?2? 1? 2
n?2

7 ?1? ? ? ?3n ? 7?? ? 4 ? 2?

.
n ?1

7 ?1? S n ? ? ?3n ? 7?? ? 2 ?2? 所以

.
n ?1

…………………………………10 分

(3)因为 cn ? ?3n ? 1? ? ? ?

?1? ? 2?

,所以
n ?1

?1? cn?1 ? cn ? ?3n ? 4?? ? ? 2? ? 3 ?? 1 ? ? ?1 ? n ?? ? ? 2 ?? 2 ?
n ?1

n?2

?1? ? ?3n ? 1?? ? ?2?

? 0,
1 4
…………………13 分

则数列 ?cn ? 单调递减。∴当 n=1 时, cn 取最大值是 又 cn ?

1 2 1 1 m ? m ? 1对一切正整数 n恒成立 ? m 2 ? m ? 1 ? 4 4 4
2

即 m ? 4m ? 5 ? 0得m ? 1或m ? ?5 .…………………… ……………16 分

8


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