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2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:9.6空间向量的坐标运算(第1课时)


第九章 直线、平面、简单几何体
第 讲

(第一课时)

1

考点 搜索

●空间直角坐标系的有关概念,空间向量的 坐标 ●空间向量的坐标运算公式,空间两点间的 距离公式 ●直线的方向向量,平面的法向量高考

高考 1. 利用空间向量判断或证明线面平行、垂直. 猜想

2. 利用空间向量的坐标运算求空间角和距离.
2

? 1. 如果空间的一个基底的三个基向量互相 垂直,且长都为1,则这个基底叫做 _____________,常用{i,j,k}来表示. 单位正交基底 ? 2. 在空间选定一点O和一个单位正交基底 {i,j,k},以O为原点,分别以i、j、k的 方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、 z轴,它们都叫做________,点O叫做原 坐标轴 点,向量i、j、k都叫做__________, 坐标向量
3

坐标平面 ? 通过每两个坐标轴的平面叫做_________ , 分 别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面. ? 3. 在空间直角坐标系中,记右手拇指指向 _____的正方向,食指指向_____的正方向, y轴 x轴 如果中指能指向_____的正方向,则称这个 z轴 坐标系为右手直角坐标系. ? 4. 在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一向 量a,满足a=a1i+a2j+a3k的有序实数组 (a1,a2,a3)叫做a的坐标,简记为a=_________. (a1,a2,a3)
4

? ? ? ? ?

5. 在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一 向量a,满足a=xi+yj+zk的有序实数组(x,y,z) 叫做点A的坐标,记作_________,其中x,y,z A(x,y,z) 分别叫做点A的_______________________. 横坐标、纵坐标、竖坐标 6. 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则

5

? ? ? ? ? ?

a+b=________________; (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) ; a-b= λa=______________(λ∈R); (λa1,λa2,λa3) a· b= ____________; a1b1+a2b2+a3b3 a∥b (λ∈R); a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 ? a⊥b? ______________________. a b +a b +a b =0

?

1 1

2 2

3 3

6

? ? ? ? ? ? ?

7. 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), a1b1 ? a2b2 ? a3b3 则cos〈a,b〉= _________________. 2 2 2 2 2 a1 ? a2 ? a3 ? b12 ? b2 ? b3 8. 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), ???? ___________________. 2 则dAB= AB = ( x1 - x2 )2 ? ( y1 - y2 )2 ? ( z1 - z2 ) 9. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂 直于平面α,即a⊥α,那么向量a叫做 平面α的_______. 法向量
7

1.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是( ) D 1 A. 1 B. C. 3 D. 7 5 5 5 解:ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), 2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2). 因为两向量垂直, 所以3(k-1)+2k-2×2=0,解得k= 7
5
8

? ? ? ? ? ? ? ?

2.在空间直角坐标系中, 已知点A(1,0,2), B(1,-3,1),点M在y轴上, 且M到A与到B的距离相等, 则M的坐标是________ (0,-1,0). 解:设M(0,y,0). 由12+y2+4=1+(-3-y)2+1,可得y=-1, 故M(0,-1,0).
9

3. 已知空间三点A(1,1,1)、B(-1,0,4)、 ???? ??? ? C(2,-2,3),则AB与CA的夹角θ的大小是 120.. ???? ??? ? 解: =(-2,-1,3), =(-1,3,-2), AB CA
???? ??? ? (-2) ? (-1) ? (-1) ? 3 ? 3 ? (-2) cos ? AB , CA ?? 14 ? 14 ?7 1 ? ?? 14 2

???? ??? ? 所以θ=〈 AB CA , 〉=120°.
10

题型1 求点和向量的坐标 1. 如图,在棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是D1D、DB 的中点,G在棱CD上,且CG= 1 , CD 4 H是C1G的中点.以D为原点, DA、DC、DD1所在直线分 别为x轴、y轴、z轴建立空 间直角坐标系, ? 求向量 ???? ???? 和 的坐标. FH EF

11

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

解:由已知可得,E(0,0, 3 1 1 ( , ,0), C1(0,1,1),G(0, ,0). 4 2 2 因为H是C1G的中点,所以H(0, 7 1 , ). 2 8 ? 1 3 1 故 ???? 1 1 1 ???? EF ? ( , , ? ), FH ? ( ? , , ) 2 2 2 2 8 2 点评:涉及空间向量的坐标问题,首先建 立空间直角坐标系,即找到从一点出发的 三条两两互相垂直的直线,以此点为原 点,三条直线分别为三条坐标轴;然后根 据条件写出关键点的坐标;再求得向量 的坐标.
12

1 ),F 2

?

? ? ? ?

如图所示,PD⊥平面ABCD, 且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB ???? ???? 3 的中点,cos〈AE , 〉= . DP 3 (1)建立适当的空间直角坐 标系,写出点E的坐标; (2)在平面PAD内求一 点F,使EF⊥平面PCB.

13

? 解:(1)以点D为原点,以DA、DC、DP所在直 线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0). ? 设E(1,1,m). ? 所以 ???? =(-1,1,m) AE ???? ? =(0,0,2m). DP ? 所以cos〈 ???? ???? , 〉

? =
?

3 解得m=1. ? 2 3 1 ? 1 ? m ? 2m 所以点E的坐标是(1,1,1). 2m 2
14

DP

AE

? ? ? ? ? ? ? ?

(2)因为F∈平面PAD,所以可设F(x,0,z), ???? 则 EF =(x-1,-1,z-1). 因为EF⊥平面PCB, ??? ? 所以 ???? ? CB, ???? ? ???? . EF EF PC 由(x-1,-1,z-1)· (2,0,0)=0,解得x=1; 由(x-1,-1,z-1)· (0,2,-2)=0,解得z=0. 所以点F的坐标是(1,0,0), 即点F是AD的中点.
15

题型2

平行问题的判定与证明

? 2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、E 分别是A1D1、A1B1、C1D1的中点, ? 求证:BE∥平面AMN. ? 证明:如图建立空间直 ? 角坐标系,设正方体 ? 的棱长为4,则 ? A(4,0,0),M(2,0,4), ? N(4,2,4),B(4,4,0),E(0,2,4).
16

? 所以 ???? ? =(-4,-2,4). BE

???? ? ????? =(2,2,0), AM =(-2,0,4), MN

? 设
? 则

???? =x BE

????? ???? ? +y AM , MN

?2 x ? 2 y ? 0 解得 ? x ? ?1 ? ? ? 2 x ? ?2 ?y ?1 ?4 y ? 4 ? ? ???? ????? ???? ???? ????? ???? ? ? 所以 BE MN AM =+ ,所以 BE MN AM 与 、

? 共面.所以BE∥平面AMN.
17

? 点评:利用坐标向量判断平行(或共面)问题 的思路是:先利用平面向量基本定理,即 向量a与两向量b、c共面的充要条件: a=xb+yc(x,y∈R).当向量b,c是坐标形式 时,由待定系数法可得三个方程,两个未 知数,如果有解,则说明三向量共线.再根 据向量对应直线的关系得到平行(或共面).

18

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分 别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD.

19

证明:方法 1:如图所示,以 D 为原点,DA、 DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 1 直角坐标系. 设正方体的棱长为 1, 则可得 M(0,1, ), 2 1 N( ,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0). 2 → =(1, 1), 1=(1,0,1),→ =(1,1,0). 于是MN 0, DA DB 2 2 设平面 A1BD 的法向量是 n=(x,y,z).

20

则 n·→1=0,且 DA

?x+z=0 ? → =0,可得? n· DB ?x+y=0 ?

.

取 x=1,得 y=-1,z=-1, 所以 n=(1,-1,-1). → · 1,0,1)· 又MN n=( (1,-1,-1)=0, 2 2 → 所以MN⊥n.

21

则 n·→1=0,且 DA

?x+z=0 ? → =0,可得? n· DB ?x+y=0 ?

.

取 x=1,得 y=-1,z=-1, 所以 n=(1,-1,-1). → · 1,0,1)· 又MN n=( (1,-1,-1)=0, 2 2 → 所以MN⊥n. 又因为 MN?平面 A1BD, 所以 MN∥A1BD.
22

→ → → 方法 2:因为MN=C1N-C1M 1 → 1→ = C1B1- C1C 2 2 1 → → = (D1A1-D1D) 2 1→ = DA1. 2 → → 所以MN∥DA1, 又因为 MN?平面 A1BD,所以 MN∥平面 A1BD.

23

?

? ? ? ? ? ?

题型3 垂直问题的判定与证明 3. 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1D1中,∠A CB =90°,AC=1,CB=2,侧棱AA1=1, 侧面AA1B1B的两条对角线的交点为D, B1C1的中点为M. 求证:CD⊥平面BDM. 证明:如图建立直角坐标系, 则B( ,0,0),B1( ,1,0), 2 2 A1(0,1,1),D( , 1 1), , 2 2 M( ,1,0). 2 2 2
2
24

? ,-1,-1), 2 ? ? ? ? 1 ? 因为A1B和DM为平面BDM内两条相交直线, ? 所以CD⊥平面BDM.
2 , 2
25

???? ? 1 1 所以 , 2), A1 B =( 2 ????? 1 1 =(0, ,- ). DM 2 ??? ???? 2 2 ? ? 于是有 CD ? A B ? ? 2 ? 1 ? 0 1 2 2 ??? ???? ? ? 2 1 CD ? DM ? ?0? ?4 ? 0 4 所以CD⊥A2 B,且CD⊥DM.
??? ? =( CD

? 点评:利用空间向量的坐标运算证空间 两直线垂直问题的一般步骤是:先建立 空间直角坐标系,然后写出(或求出)关 键点的坐标,再计算出直线所对应向量 的坐标,最后计算其数量积,并判断是 否为零.

26

? ? ? ? ? ? ? ?

如图所示,已知在矩形ABCD中, AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面ABCD, 且PA=1. (1)试建立适当的坐标系, 并写出点P、B、D的坐标; (2)问当实数a在什么范围 时,BC边上能存在点Q, 使得PQ⊥QD?
27

? ? ? ? ? ? ? ?

解:(1)以A为坐标原点,AB、AD、AP 所在直线分别为x、y、z轴建立坐标系, 如图所示. 因为PA=AB=1,BC=a, 所以P(0,0,1),B(1,0, 0),D(0,a,0). (2)设点Q(1,x,0), 则 ???? =(1,x-a,0), ???? =(-1,-x,1).
DQ
QP
28

? ? ? ? ?

由 ???? ??? =0,得x2-ax+1=0. ? DQ· QP 显然当该方程有实数解时, BC边上才存在点Q, 使得PQ⊥QD,故Δ=a2-4 ≥ 0. 因为a>0,故a的取值范围为[2,+∞).

29

? 1. 在给定的空间直角坐标系中,对任一向 量a,据空间向量基本定理知,a的坐标是 唯一存在的. ? 2. 在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任 一点P,过点P作yOz平面的平行平面,交 ? x轴于点A,则点P的横坐标 ??? ,且 | x |?| OA| 当 ??? ? OA ? 与i方向相同时,x>0;反之,x<0.同理可 确定点P的纵坐标y和竖坐标z.
30

? 3. 在空间直角坐标系中,求点的坐标主 要有三种方法:一是几何法,即通过点 P到三个坐标平面的距离来确定点P的坐 标;二是待定系数法,即首先设出点P 的坐标,再结合条件建立方程组求待定 系数的值,进而得到点P的坐标;三是 向量运算法,即把求点P的坐标转化为 ??? ? OP 求向量 的坐标.
31

? 4. 若点P在直线AB上,设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
x1 ? λx2 ( 1? λ
y1 , 2 ? λy 1? λ

???? ??? ? (λ AP ? λPB ≠-1),

? 则利用待定系数法可得点P的坐标为
z1 ? λz2 , 1? λ

),这就是空间

有向线段定比分点公式,可用来求点的坐

标.
32

? 5. 在空间图形中,若有三条两两互相垂 直的直线,或有一条直线垂直于一个平面, 则可考虑利用空间向量的坐标运算来解题, 因为这种背景图形便于建立空间直角坐标 系.判断线线平行或诸点共线,转化为证 a∥b (b≠0)? a=λb;证明线线垂直,转 ? 化为证a⊥b?a· b=0.若a=(a1 , a2 , a3) , b=(b1 , b2 , b3) , 则 转 化 为 计 算 a1b1+a2b2+a3b3=0.
33


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