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不等式与不等关系


3.1
知识点一:不等式的概念:

不等式与不等关系

用数学符号“ ? ” 、 “ ?” 、 “?” 、 “ ≥” 、 “ ≤ ”连接两个数或不等式,以表 示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子叫做不等式. 大于等于 (至少、 不少于) ≥:
≤: 小于等于 (________、 _______)

例1:一桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥, 应使货车总重量 T 不超过40吨,用不等式表示为____________. 例2:某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张, 如果每种邮票至少买两套,则买票面8角的 x 套与买票面2元的 y 套应满足的 条件为________________. 练习:某蔬菜收购点租用蔬菜,将100t新鲜辣椒运往某市销售。可租用的大 卡车和农用车分别为10辆和20辆,若每辆卡车载重8t,运费960元,每辆农用 车载重2.5t,运费360元,则安排 x 辆卡车与 y 辆农用车需要满足的不等式组 为__________________. 知识点二、比较两个数的大小 (1)作差法: a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b 作差法的一般步骤: 判号(与 0 比较大小) 定论 a a a (2)作商法:若 b ? 0 ,则 ? 1 ? a ? b ; ? 1 ? a ? b ; ? 1 ? a ? b b b b 作商法的一般步骤:(研究符号相同的两个量) 作商 变形 与 1 比较大小 定论 作差 变形

例 3:设 a ? 0, b ? 0 ,比较 (a ? b) (a 3 ? b3 ) 与 (a 2 ? b 2 ) 2 的大小.

1 例 4:已知 a >0,试比较 a 与 的大小. a

例 5:已知 a ? b ? 0 ,比较 a abb 与 abba 的大小.

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知识点三:不等式的性质 (1)对称性______________________; (2)传递性____________________; (3) 可加性______________________; (4)加法法则____________________; (5)可乘性______________________; (6)乘法法则__________________; (7)乘方法则____________________; (8)开方法则___________________。 例 6:下列命题中正确的是( A.若 a ? b ,则 ac2 ? bc 2 C.若 ab ? 0 , a ? b ,则 ) B.若 a ? b , c ? d ,则 a ? c ? b ? d a b D.若 a ? b , c ? d ,则 ? c d (2)若 a ? b ,则 2 x a ? 2 x b ; (4)若 a ? b ,则 ac ? bc ; c c (6)若 a ? b ? 0, c ? 0 ,则 ? a b )

1 1 ? a b 例7:下列命题正确的是___________
(1)若 a ? b ? 0 ,则 a2 ? ab ; (3)若 a ≥ b , ac ≥ bc ,则 c ≥ 0 ; (5)若 ac 2 ? bc 2 ,则 a ? b ; 【拓展提升】

1、已知 a ? b , c ? d ,且 c 、 d 不为 0 ,那么下列不等式成立的是(
ad ? bc A. ac ? bc B. a?c ?b?d C.

a?c ?b?d D.

2、如果 a ? 0 , b ? 0 ,则下列不等式中正确的是( ) 1 1 A. ? B. ?a ? b C. a 2 ? b 2 a b 3、下列各式中,对任何实数 x 都成立的一个式子是( ) 1 ?1 A.lg ? x 2 ? 1? ? lg 2 x B.x 2 ? 1 ? 2 x C. 2 x ?1 4、若 a 、 b 是任意实数,且 a ? b ,则( A. a ? b
2 2

D. a ? b D.x ?
1 ?2 x



b B. ? 1 a

C. lg ? a ? b ? ? 0

?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ?2? ? 2?

a

b

5、如果 a ? R ,且 a 2 ? a ? 0 ,那么 a , a 2 , ?a , ? a 2 的大小关系是( A. a 2 ? a ? ?a 2 ? ?a C. ?a ? a 2 ? a ? ?a 2 A. ? ? ? ( A. 0 A. f ? x ? ? g ? x ? ) B. 1 B. f ? x ? ? g ? x ? C. 2 C. f ? x ? ? g ? x ?
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B. ?a ? a 2 ? ?a 2 ? a D. a 2 ? ?a ? a ? ?a 2 ) C. ? ? ? D. ? ? ? B. ? ? ?

6、若 ? ? 3x2 ? x ? 1 , ? ? 2 x 2 ? x ,则(

7、不等式① a 2 ? 2 ? 2a ,② a2 ? b2 ? 2 ? a ? b ?1? ,③ a 2 ? b2 ? ab 恒成立的个数是 D. 3 ) D.随 x 值的变化而变化

8、 若 f ? x ? ? 3x2 ? x ? 1,g ? x ? ? 2x2 ? x ?1 ,则 f ? x ? ,g ? x ? 的大小关系是(

9、某一天 24 小时内两艘船均须在某一码头停靠一次,为了卸货的方便,两艘船 到达该码头的时间至少要相差两小时,设甲、乙两船到达码头的时间分别 x , y 小时,且两船互不影响,则 x , y 应满足的关系是( )
? y?x ?2 ? D. ?0 ? x ? 24 ?0 ? y ? 24 ?

?y ? x ? 2 ? A. ?x ? 0 ?y ? 0 ?

?x ? y ? 2 ? B. ?x ? 0 ?y ? 0 ?

?y ? x ? 2 ? C. ?x ? 0 ?y ? 0 ?

c c ________ . b a 11 、若 x ? 2 或 y ? ?1 , M ? x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y, N ? ?5 ,则 M 与 N 的大小关系为
10、用“ ? ” “ ? ”号填空:如果 a ? b ? 0 ? c ,那么 ___________. 12、设 a ? 0 ,且 a ? 1 ,比较 loga (a3 ? 1) 与 loga (a2 ? 1) 的大小.

13、已知 a 、 b ? R? ,且 a ? b ,比较 a5 ? b5 与 a 3b 2 ? a 2b3 的大小.

14、已知 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 , e ? 0 ,求证:

e e ? . 2 (a ? c) (b ? d ) 2

15、已知 2 ? m ? 4,3 ? n ? 5 ,求下列各式的取值范围: (1) m ? 2n ; (2) m ? n ; (3) mn ; (4)
m n

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