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三角函数图像与性质知识点总结和经典题型


三角函数图像与性质知识点总结和经典题型
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

/>7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

y

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

2.三角函数的单调区间:

? ?? ? 3? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) ,递减区间是 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) ; y ? sin x 的递增区间是 ?2k? ? , 2 2? 2 2? ? ?
2k? ? (k ? Z ) ,递减区间是 ?2k?, 2k? ? ? ? (k ? Z ) , y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?,

? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
(其中A ? 0,? ? 0) 3.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B

最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 T ? 图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ?

2?

?
2

?

,频率是 f ?

? ,相位是 ?x ? ? ,初相是 ? ;其 2?

(k ? Z ) ,凡是该图象与直线 y ? B 的交点都是该图象的对称中心。

4.由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才 能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种变形,请切记 每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位,再将图象上各点的横坐标变 为原来的
1

?

倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 =平移
|? | 1

?

倍(ω >0), 再沿 x 轴向左( ? >0)或向右( ? <0

?

个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

5.由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式: 给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(- 破口,要从图象的升降情况找准 第一个零点的位置。 .. 6.对称轴与对称中心: y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? 2 ,对称中心为 (k? ,0)
?

? ,0)作为突 ?

k ?Z ;

y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? 2 , 0) ; 对于 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、 ? 的正 负 利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; 8.求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用周期公式,另外还有图 像法和定义法。
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9.五点法作 y=Asin(ω x+ ? )的简图: 五点取法是设 x=ω x+ ? ,由 x 取 0、 、π 、 四.典例解析 题型 1:三角函数的图象 例 1. (2000 全国,5)函数 y=-xcosx 的部分图象是( )
π 2 3π 、2π 来求相应的 2

x 值及对应的 y 值,再描点作图。

。 题型 2:三角函数图象的变换 例 2.试述如何由 y = sin(2x+
1 3
π )的图象得到 y =sinx 的图象。 3

例 3. (2003 上海春,15)把曲线 ycosx +2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 1 个单位,得到的曲线方程是( A. (1-y)sinx + 2y-3=0 C. (y +1)sinx + 2y + 1=0 题型 3:三角函数图象的应用 )

? 个单位,再沿 y 轴向下平移 2

B. (y-1)sinx + 2y-3=0 D.-(y+1)sinx + 2y +1=0

例 4. (2003 上海春,18)已知函数 f(x)=Asin(ω x+ ? ) (A>0,ω >0,x∈R)在一个周期内的 图象如图所示,求直线 y= 3 与函数 f(x)图象的所有交点的坐标。
(2) (2002 全国文 5,理 4)在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围 为( )

A. (

? 4 ? 4



? 2

)∪(π ,

5? ) 4

B. (

? 4

,π )



C. (



5? ) 4

D. (

? 4

,π )∪(

5? 3? , ) 4 2

题型 4:三角函数的定义域、值域 例 5. (1)已知 f(x)的定义域为[0,1] ,求 f(cosx)的定义域; (2)求函数 y =lgsin(cosx)的定义域;

题型 5:三角函数的单调性 例 6.求下列函数的单调区间: (1)y= sin( -
1 2 π 4

2x π ) ; (2)y=-|sin(x+ )|。 4 3

题型 6:三角函数的奇偶性 例 7. (2001 上海春)关于 x 的函数 f(x)=sin(x+ ? )有以下命题: ①对任意的 ? ,f(x)都是非奇非偶函数; ②不存在 ? ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数; ③存在 ? ,使 f(x)是奇函数; ④对任意的 ? ,f(x)都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当 ? =_____时,该命题的结论不成立。

题型 7:三角函数的周期性 例 8.设 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值 f (

?
12

) ? 4,

(1)求 ? 、 a 、 b 的值; (2) 若?、、?为方程f ( x) ? 0的两根,?、、?终边不共线,求tan(? ? ? )的值 。

题型 8:三角函数的最值 例 9. (2000 京、皖春理,10)函数 y=

1 的最大值是( 2 ? sin x ? cos x
2 2
D.-1-



A.

2 -1 2

B.

2 +1 2

C.1-

2 2

例 10. (1)已知 f(x)的定义域为[0,1] ,求 f(cosx)的定义域; (2)求函数 y=lgsin(cosx)的定义域;

6 cos4 x ? 5 cos2 x ? 1 例 11. (2003 京春,18)已知函数 f(x)= ,求 f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求 cos 2 x
其值域。

题型 5:三角函数的单调性 例 12.求下列函数的单调区间: (1)y=
1 π 2x π sin( - ) ; (2)y=-|sin(x+ )|。 2 4 4 3

1 2 π 分析: (1)要将原函数化为 y=- sin( x- )再求之。 2 3 4

(2)可画出 y=-|sin(x+

π )|的图象。 4

例 13. (2002 京皖春文,9)函数 y=2

sinx

的单调增区间是(



A. [2kπ -

? 2

,2kπ +

? 2

] (k∈Z)B. [2kπ +

? 2

,2kπ +

3? ] (k∈Z) 2

C. [2kπ -π ,2kπ ] (k∈Z)D. [2kπ ,2kπ +π ] (k∈Z)

例 14.判断下面函数的奇偶性:f(x)=lg(sinx+ 1 ? sin 2 x ) 。 例 15. (2001 上海春)关于 x 的函数 f(x)=sin(x+ ? )有以下命题: ①对任意的 ? ,f(x)都是非奇非偶函数; ②不存在 ? ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数; ③存在 ? ,使 f(x)是奇函数; ④对任意的 ? ,f(x)都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当 ? =_____时,该命题的结论不成立。

题型 7:三角函数的周期性 6 6 例 16.求函数 y=sin x+cos x 的最小正周期,并求 x 为何值时,y 有最大值。 题型 8:三角函数的最值

例 17. (2003 京春文,2)设 M 和 m 分别表示函数 y=

1 cosx-1 的最大值和最小值,则 M+m 等于( 3
4 3
D.-2



A.

2 3

B.-

2 3

C.-

答案: 例 1.解析:因为函数 y=-xcosx 是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除 A、C,当 x∈(0, 时,y=-xcosx<0。答案为 D 例 2 解析:y = sin(2x +
1 3
π ) 3

? ) 2

1 π 2倍 ?横坐标扩大为原来的 ? ?? ? ?? ? ? ?? y ? sin (x ? ) 纵坐标不变 3 3
π 图象向右平移 个单位 1 ?? ? ? ? ?3 ? ??? y ? sin x 纵坐标不变 3

3倍 ?纵坐标扩大到原来的 ???????? ?? y ? sin x 横坐标不变

另法答案: (1)先将 y = sin(2x+
1 3 1 3
π π 1 )的图象向右平移 个单位,得 y= sin2x 的图象; 3 6 3

(2)再将 y = sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得 y= sinx 的图象; (3)再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍(横坐标不变) ,即可得到 y=sinx 的图象。 例 3 解析:将原方程整理为:y =
1 3

1 3

1 ? ,因为要将原曲线向右、向下分别移动 个单位和 1 个 2 ? cos x 2

单位,因此可得 y =

1

2 ? cos(x ? ) 2
点评: 本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。 如果对平移有深刻理解, 可直接化为: (y+1)cos(x-

?

-1 为所求方程.整理得(y+1)sinx +2y+1=0.

? )+2(y+1)-1=0,即得 C 选项。 2

例 4 解析: 根据图象得 A=2, T=

1 7 ? π- (- ) =4π , ∴ω = , ∴y=2sin 2 2 2





x +? ) , 2
又由图象可得相位移为-

? 1 ? ? ? ? ,∴- =- ,∴ ? = .即 y=2sin( x+ ) 。 1 2 2 2 4 4 2

根据条件 3 =2sin(

1 ? 1 ? 1 ? 2 ? x? ) ,∴ x ? =2kπ + (k∈Z)或 x ? =2kπ + π (k∈Z) ,∴x=4k 3 3 2 4 2 4 2 4

π+

5 ? (k∈Z)或 x=4kπ + π (k∈Z) 。 6 6

∴所有交点坐标为( 4kπ +

?
6

, 3 )或(4kπ +

5? (k∈Z) 。点评:本题主要考查三角函数的 , 3) 6

基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
解析:C; 解法一:作出在(0,2π )区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标

? 4



5? ,由图 1 可得 C 答案。 4

例 5 分析:求函数的定义域: (1)要使 0≤cosx≤1, (2)要使 sin(cosx)>0,这里的 cosx 以它 的值充当角。 解析: (1)0≤cosx<1 ? 2kπ -
π π ≤x≤2kπ + ,且 x≠2kπ (k∈Z) 。 2 2 π π ,2kπ + ]且 x≠2kπ ,k∈Z}。 2 2

∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ -

(2)由 sin(cosx)>0 ? 2kπ <cosx<2kπ +π (k∈Z) 。又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1。故所求 定义域为{x|x∈(2kπ -
π π ,2kπ + ) ,k∈Z}。 2 2 1 2 2 3 π 4 π 4

点评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角函数线。 例 6 分析: (1)要将原函数化为 y=- sin( x- )再求之。 (2)可画出 y=-|sin(x+ )|的图 象。解: (1)y= sin( 故由 2kπ - +
1 2 π 2x 1 2x π - )=- sin( - ) 。 4 2 4 3 3

π 2x π π 3π 9π ≤ - ≤2kπ + 。 ? 3kπ - ≤x≤3kπ + (k∈Z) ,为单调减区间;由 2kπ 2 4 2 8 3 8

π 2x π 3π 9π 21 π ≤ - ≤2kπ + 。 ? 3kπ + ≤x≤3kπ + (k∈Z) ,为单调增区间。∴递减区间为[3kπ - 2 4 2 3 8 8

3π 9π ,3kπ + ] , 8 8

递增区间为[3kπ + (2)y=-|sin(x+
5? 4 3? 4

9π 21 π ,3kπ + ] (k∈Z) 。 8 8
π π 3π π π )|的图象的增区间为[kπ + ,kπ + ] ,减区间为[kπ - ,kπ + ] 。 4 4 4 4 4
? 4

-

-

y?
4

3? 4

5? 4

7? 4

o
例 7 答案:①,kπ (k∈Z) ;或者①,

x
? ? +kπ (k∈Z) ;或者④, +kπ (k∈Z) 2 2

解析:当 ? =2kπ ,k∈Z 时,f(x)=sinx 是奇函数。当 ? =2(k+1)π ,k∈Z 时 f(x)=-sinx 仍是奇函数。当 ? =2kπ +

? ? ,k∈Z 时,f(x)=cosx,或当 ? =2kπ - ,k∈Z 时,f(x)=-cosx,f 2 2

(x)都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论 ? 为何值都不能使 f(x)恒等于零。所以 f(x)不能 既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。 点评:本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力,注意 k∈Z 不能不写,否则不

给分, 本题的答案不惟一, 两个空全答对才能得分。 例 8 解析: (1) f ( x) ? a 2 ? b 2 sin(?x ? ? ) ,?T ? ? , ?? ? 2 , ? 2? 2? 又 ? f ( x) 的最大值。? f ( ) ? 4 , ? 4 ? a 2 ? b 2 ① ,且 4 ? a sin ? b cos ②,由 ①、 12 12 12 ②解出 a=2 , b=3. (2) f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 4 sin(2 x ?
? 4 sin(2? ?

?
?
3 3

) , ? f (? ) ? f (? ) ? 0 , ? 2k? ? 2? ?

?
3

) ? 4 sin(2? ?

?
3

) , ? 2? ?

?
3

, 或

2? ?

?
3

? 2k? ? ? ? (2? ?

?
3

),
3 3



6 (k ? Z ) 。 点评:方程组的思想是解题时常用的基本思想方法;在解题时不要忘记三角函数的周期性。

? ? k? ? ? ( ?、? 共线,故舍去) ,



? ? ? ? k? ?

?

,? tan(? ? ? ) ? tan(k? ?

?
6

)?

例 9 解析:B; y ?

1 1 1 2 ? ? ?1? 2 ? sin x ? cos x 2 ? 2 sin( x ? ? ) 2 ? 2 2 4
π π ≤x≤2kπ + ,且 x≠2kπ (k∈Z) 。 2 2 π π ,2kπ + ]且 x≠2kπ ,k∈Z}。 2 2

例 10 分析:求函数的定义域: (1)要使 0≤cosx≤1, (2)要使 sin(cosx)>0,这里的 cosx 以它的值充当角。 解析: (1)0≤cosx<1 ? 2kπ -

∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ -

(2)由 sin(cosx)>0 ? 2kπ <cosx<2kπ +π (k∈Z) 。 又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1。 故所求定义域为{x|x∈(2kπ -
π π ,2kπ + ) ,k∈Z}。 2 2

点评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角函数线。 例 11 解析: 由 cos2x≠0 得 2x≠kπ +

? 2

, 解得 x≠

k ? k ? k∈Z, 所以 f ( x) 的定义域为{x|x∈R 且 x≠ ? ? , ? , 2 4 2 4

k∈Z},
因为 f(x)的定义域关于原点对称, 且 f(-x)=

6 cos4 (? x) ? 5 cos2 (? x) ? 1 6 cos4 x ? 5 cos2 x ? 1 ? =f(x) 。 cos(?2 x) cos 2 x

所以 f(x)是偶函数。 又当 x≠

k? ? ? (k∈Z)时, 2 4

6 cos4 x ? 5 cos2 x ? 1 (2 cos2 x ? 1)(3 cos2 x ? 1) ? ? 3 cos2 x ? 1 。 f(x)= cos 2 x cos 2 x
所以 f(x)的值域为{y|-1≤y<

1 1 或 <y≤2}。 2 2

点评:本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 例 12 解: (1)y=
1 π 2x 1 2x π sin( - )=- sin( - ) 。 2 4 2 4 3 3

故由 2kπ -

π 2x π π ≤ - ≤2kπ + 。 2 4 2 3

? 3kπ -
由 2kπ +

3π 9π ≤x≤3kπ + (k∈Z) ,为单调减区间; 8 8

π 2x π 3π ≤ - ≤2kπ + 。 2 4 2 3

? 3kπ +

9π 21 π ≤x≤3kπ + (k∈Z) ,为单调增区间。 8 8
3π 9π ,3kπ + ] , 8 8

∴递减区间为[3kπ - 递增区间为[3kπ + (2)y=-|sin(x+
5? 4

9π 21 π ,3kπ + ] (k∈Z) 。 8 8
π π 3π π π )|的图象的增区间为[kπ + ,kπ + ] ,减区间为[kπ - ,kπ + ] 。 4 4 4 4 4
? 4

-

-

3? 4

y?
4

3? 4

5? 4

7? 4

o
y=2sinx 的单调增区间即求函数 y=sinx 的单调增区间。

x
例 13 解析:A;函数 y=2 为增函数,因此求函数
x

题型 6:三角函数的奇偶性 例 14 分析:判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称,然后再看 f(x)与 f(-x)的关系 。 解析:定义域为 R,又 f(x)+f(-x)=lg1=0, 即 f(-x)=-f(x) ,∴f(x)为奇函数。 点评:定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要(但不充分)条件。
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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? ? +kπ (k∈Z) ;或者④, +kπ (k∈Z) 2 2 解析:当 ? =2kπ ,k∈Z 时,f(x)=sinx 是奇函数。当 ? =2(k+1)π ,k∈Z 时 f(x)=-sinx 仍是奇函数。当
例 15 答案:①,kπ (k∈Z) ;或者①,

? =2kπ +

? 2

,k∈Z 时,f(x)=cosx,或当 ? =2kπ -

? 2

,k∈Z 时,f(x)=-cosx,f(x)都是偶函数.所以②和③

都是正确的。无论 ? 为何值都不能使 f(x)恒等于零。所以 f(x)不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。 点评:本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力,注意 k∈Z 不能不写,否则不给分,本题的答 案不惟一,两个空全答对才能得分。 例 16 分析:将原函数化成 y=Asin(ω x+ ? )+B 的形式,即可求解。 解析:y=sin x+cos x=(sin x+cos x) (sin x-sin xcos x+cos x) =1-3sin xcos x=1- ∴T=
π 。 2
2 2 6 6 2 2 4 2 2 4

3 5 3 2 sin 2x= cos4x+ 。 4 8 8

当例 17 解析:D;因为函数 g(x)=cosx 的最大值、最小值分别为 1 和-1。所以 y=

1 cosx-1 的最大值、最小值 3

为-

4 2 kπ 和- 。因此 M+m=-2。cos4x=1,即 x= (k∈Z)时,ymax=1。 2 3 3
?
12 ) ? 4,

例 14.设 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值 f ( (1)求 ? 、 a 、 b 的值;

(2) 若?、、?为方程f ( x) ? 0的两根,?、、?终边不共线,求tan(? ? ? )的值 。 解析:(1) f ( x) ?

a 2 ? b 2 sin(?x ? ? ) , ?T ? ? , ? ? ? 2 ,
① ,且 4 ? a sin

又 ? f ( x) 的最大值。

? f ( ) ? 4 , ? 4 ? a2 ? b2 12
由 ①、②解出

?

2? 2? ? b cos ②, 12 12

a=2 ,

b=3.

(2) f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 4 sin(2 x ?

?
3

) , ? f (? ) ? f (? ) ? 0 ,

? 4 sin(2? ?
? 2? ?


?
3

) ? 4 sin(2? ?

?
3

),
2? ?

?
3

? 2k? ? 2? ?

?
3





?
3

? 2k? ? ? ? (2? ?


?
3

),

? ? k? ? ? ( ?、? 共线,故舍去) ,
?
6 )? 3 3

? ? ? ? k? ?

?
6



? tan(? ? ? ) ? tan(k? ?

(k ? Z ) 。

点评:方程组的思想是解题时常用的基本思想方法;在解题时不要忘记三角函数的周期性。 例 18 解析:B; y

?

1 1 1 2 。 ? ? ?1? 2 ? sin x ? cos x 2 ? 2 sin( x ? ? ) 2 ? 2 2 4


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