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等比数列前n项和教学设计


教学设计
教师姓名 授课班级 课 题 李杰 高一(2) 职 专 称 业 中教一级 美术设计制作 学 科 数学 本班教 授课地点 室 等比数列前 n 项和 章 节 6.3.2 人民教 教 材 《数学(基础模块)下册》 出版社 育出版 社 大纲分析:

《中等职业学校数学教学大纲》对等比数列的教学要求: 认知要求:理解(懂得知识的概念和规律(定义、定理、

法则 等)以及与其它相关知识的联系) 。 能力要求:培养学生计算工具使用技能,数据处理技能(按要 求对数据(数据表格)进行处理并提取有关信息)和分析与解决问
教学目标

题能力(能对工作和生活中的简单数学相关问题做出分析,并运用 适当的数学方法予以解决) 。

教材分析: 本节内容位于教材第六章《数列》的第三节《等比数

列》中。前一节是“等比数列的概念和通项公式” 。本节课所涉及 的等比数列、公比、常数列的概念和通项公式等内容都已在上一节 中讲授并被学生所理解。上节课学习中,学生已掌握用计算器计算

1

等比数列中高阶运算的方法。

学情分析: 本节课面对的学生是要参加高考的美术专业的职高生。

就学习而言,他们有共同点也存在差异。下面就从这两个方面分别 进行分析: (一)共性分析 1.学习能力方面:缺乏对学习方法的认识和运用能力(包括观 察分析能力、归纳总结能力及将知识置于系统中学习的能力等) ; 学习状态不稳定,缺乏学习中的自我监控和反思能力; 2.对学习的情感态度方面:在参加高考的动机支配下有学习的 愿望,但认为学数学没用、对数学的兴趣不大;缺乏合作学习的意 识和精神;对学习缺乏科学严谨的态度。 (二)差异分析: 虽然有共性,但学生之间还存在着较大的差异。这些差异主要 表现为知识基础参差不齐;学习能力有高有低;学习兴趣和积极性 差别很大。

知识目标: 理解等比数列前 n 项和概念及公式。 能力目标: 1.已知公式四个变量中任意的 3 个,会求第 4 个量; 2.会分析生活中简单的等比数列前 n 项和的问题并能运用公式求解 3. 逐渐养成学习中观察分析,学习后总结提炼,在知识系统中学习的能力;
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5. 逐渐养成学习过程中自我的监控和反思。 德育目标: 1.通过小组合作的方式促进学生的学习热情和互助精神; 2.通过运用与学生生活和专业相关问题激发学生的学习兴趣; 3.通过对学生解题过程步骤和书写的要求逐渐培养严谨的学风; 4.通过学生对所学内容的独立分析总结和课后开放作业的布置,逐渐培养其 自主学习意识。 教学重点 教学难点 教学方法 教学用具 等比数列前 n 项和公式的记忆和熟练运用 对实际生活中等比数列前 n 项和的提炼和计算 情景教学法、错位相减法、类比分析法、小组合作法 计算器、多媒体教学系统 课前将学生分成 5 个组,每一组包括 A 类学生(基础较弱)和 B 类学生(基 课前准备 础较好) 。小组分工:B 类同学负责组织本组的任务完成;A 类同学负责小组 发言。 教学过程 教学内容 一、相关旧课回顾 等比数列的概念 等比数列的公比 等比数列通项公式 常数列 师:提问 生:举手回答问题 温故 知新 师生互动 设计意图

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二、创设情景导入新课: 1.创设情景: 相信同学们选择美术专业并有志 师:展示 PPT 结合专业

于到大学学习也一定想在不久的将来 生:听、思考、以小组为单位完成计 和 生 活 、 能够在美术方面有一定的作为。可是 算 任何事业在初期起步都不是顺顺利利 (使用计算器) 的。首先都需要得到行业界的认可, 然后才可以进一步发展。大家大学毕 师: 业后也会面临同样的问题。 那么假设毕业后专业方面已经具 有相当的水平,又如何尽快扩大在业 界的影响力? 途径可能很多,但我认为最好的 莫过于当今社会时兴的途径—— 网 络。那么我们一起来看网络是如何为 一个初出茅庐的学生提供帮助的: 假设如果最初你只将图片的电子 版发送给 2 个你认识的专业人士(比 如你的专业老师) 。 由于被你优秀作品 所打动,他将图片的电子版和推荐的 语言转发给他认识的 3 名较有影响的 专业人士。假设他们也同样被你的作
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激发学习 兴趣、导 入新课

巡视各组完成情况给予指导和鼓励 学生使用 计算器可 以节省课 堂计算的 时间

品所感染,接下来又每人转发给 3 个 朋友。以此类推,接下来看到的每个 人都将你的作品发送给 3 个朋友,那 么从你的老师开始经过 6 次转发后除 你自己之外,就会有多少位业界人士 看到了你的作品并认识了你?请同学 们做个计算。 6+18+54+162+486+1458=2186 个 由实例抽 象出等比 数列,引 2.建立等比数列前 n 项和概念
2、 2 ? 31、 2 ? 32 、 2 ? 33 、 2 ? 34 、 2 ? 35 、 2 ? 36

师问(并写于黑板上):

出等比数

网络传输中看到作品的专业人士数目 列前 n 项 第一次到第七次分别是多少? 和的概念
5 6

a1 =2,q=3,n=7
S7 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3
2 3 4

师问:分析这列数的特点我们知道这 ⑴ 是一个什么数列? 师问: 这个数列的项数是多少?首项是 多少?公比是多少? 我们所计算的就是这个等比数列的前 7 项和。 (在黑板上写出算式 通过困难

S7 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? 2 ? 34 ? 2 ? 35 ? 2 ? 36 ) 引 发 学 生

师问:如果作品经过转发 50 次, 100 对 简 便 方 次甚至更多的次数 , 那么我们如何计 法的思考 算?有没有简单的方法帮助我们完成?
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今天要学习的就是等比数列的前 n 项和的算法。 三、推导公式 启发引导

1.运用“错位相减法”求解上例,得 师:如果将算式两边同时乘公比,观 学 生 通 过 出算式
S7 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? 2 ? 34 ? 2 ? 35 ? 2 ? 36

察两式有何共同之处?(板书式⑵) 错 位 相 减 得到已知 数列前 7 项和计算 师:如何消掉两式的相同项? 式


3S 7 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? 2 ? 34 ? 2 ? 35 ? 2 ? 36 ? 2 ? 37

⑵ ⑴- ⑵
S7 ? 3S7 ? 2 ? 2 ? 37
(1 ? 3)S7 ? ( 2 1 ? 37)
S7 ? ( 2 1 ? 37 ) 1? 3

渗透从特 殊到一般 师板书推导过程,得出求和式。 的类比思 想 师:这个算式可以求出首相是 2,公 比是 3 的等比数列的前 7 项和。同学

2.运用类比思想,得出一般式
Sn ? a( 1 1? q ) 1? q
n

们猜测首相是 a1 ,公比是 q 的等比数 逐 渐 培 养 列的前 n 项和是如何求的? 学生分类 讨论的意 识

四、分析公式 1.对公式的分类讨论

师: 公式中 q 可否等于 1?
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q≠1 时, S n ?

n a( 1 1? q ) 1? q

q 等于 1 的数列是什么数列? 常数列前 n 项和如何计算?

q=1 时, S n ? a1n

板书补充 q=1 时, S n ? a1n

强化公式 的记忆

2.分析 q ? 1 时的公式特点 1. 是分式 2. 分母是 1-q,分子是个乘式,括号 外是 a1 , 括号内与分母形式类似 3. 包含 S n 、 a1 、q、n 四个变量,只 要知道其中任意的 3 个量就可以求出 对公式的 其它量 记忆和理 五、运用公式 生: (小组合作) 1.简单直接运用 师:巡视指导 将下列各题填写表格
a1

强化学生



q

n

Sn

A B C A.等比数列 , , ,.......的前 8 项和是 ( )
1 1 1 2 4 8

7

B.等比数列 ?an ?的首项 a1 =3,公比 q=2,则前 6 项和是(
1 3

) 逐渐培养 学生能对 师: 生活中的 简单数学 问题的分 析能力和

C.等比数列 ?an ?的公比 q= ? , 前四项 的和 ,则其首项是(
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2.结合现实生活的运用(难点) 在学习数学过程中,一些同学问 我学习数学有什么用。其实,数学和

1.第 1 年治理的数目是多少? 第 2 年治理的数目是多少? 第 3 年、4 年、5 年呢?

我们的生活有着紧密的联系。今天我 2.由此可见,每年治理的数目形成一 运 用 适 当 们学习的内容就可以在生活中得到一 个什么数列? 方法解决

定程度的运用。北京的雾霾天气最近 3、 这一等比数列已知哪些量?求什么 问 题 的 能 是大家议论最多的话题。据环保专家 量?是什么问题? 称,此类雾霾天气与煤炭的燃烧有很 3.用什么公式? 大关系。为了治理北京的雾霾天气, 环保部决定花大力气治理京津冀地区 生: 的 1221 家煤炭燃烧大户。 今年是第一 (小组合作) 教师的启 发有助于 力

年,根据目前的人力和财力,拟首先 1.在老师的启发下明确是等比数列问 学 生 理 清 治理距离北京最近的 200 家。之后每 题,运用本节公式求解。 思路

年都会加大投入,计划每年治理的污 2.小组代表将本组投影演示给全班。 染企业数是上一年的 1.1 倍。以此速 度,以今年为治理的第一年,那么大 师: 概几年可以完成对所有燃煤大户的治 1.巡查各组予以指导
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理工作为北京的蓝天保驾?

2.借助学生的作业纠正 问题(特别是书写等

解: 根据题目
a1 =200, S n =1221,q=1.1 求 n=?

严谨性问题)

代入公式:
1221 ? 200?1 ? 1.1n? 1 ? 1.1

n≈6 答: 大概 6 年可以完成所有燃煤大户 的治理。 当堂练习:

小结: 1、知识的总结: 等比数列的前 n 项和的概念; 等比数列的前 n 项和
Sn ?
n a( 1 1? q ) ( q ? 1) 1? q

请 B 类学生归纳,最后教师总结

总结本节 课的知识 点和学生 本人的学 习体会、 得失。

S n ? a1n

(q ? 1)

2、学生自我学习状态小结

作业: 1、 教材 23 页练习 A 组 (A 类同学)

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教材 23 页练习 A、 B组 (B 类同学) 2、 完成数列部分知识点梳理,画

枝状图 3、 上网查找中国历史上的数列,

下节课交流

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