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扬州中学08-09高一下学期期末考试数学试


江苏省扬州中学 08-09 学年高一下学期期末考试

高一数学
全卷分两部分:第一部分为填空题,第二部分为解答题(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在密封线内。 2. 试题答案写在规定的相应位置,答在其它地方无效。 一、填空题(本大题共 14 小题, 每小题 5 分,共

70 分,请将答案填写在规定的相应位置上) 1. 点 P ?1,1, ?2? 关于 xoy 平面的对称点的坐标是 2. 在 ?ABC 中,已知 AB ? 2, ?B ? 60° ?C ? 45° , ,则 AC ? 3. 在等比数列 ?an ? 中,若 a7 ? a9 ? 4, a4 ? 1, 则 a12 的值是 4. 过点 P ?1,1? 且与直线 2 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 式表示) 5. 如图 1,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 、 F 分别为 BC 、 CC1 的中点,则异面直线 1 。 。 (结果用直线方程的一般 。 。

AB1 与 EF 所成的角的大小是



6. 已知直线 l1 : ? a ? 3? x ? 2 y ? 5 ? 0 与 l2 : ? a ?1? x ? y ? 8 ? 0 平行, 则 a 的值是 。

?x ? 1 ? 7. 如果实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 , z ? x ?y 的最小值 则 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
是 。 8. 已 知 ?ABC 中 , 顶 点 A? 0, 0 、 B ? 2,4? 、 C ? 6,2? , 则 ?ABC 的 形 状 ? 是 。 9. 如图 2, 一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰三角形, 如果直角三角形的直角边成为 1,那么这个几何体的表面积 是 。 10. 已知正实数 a 、 b 满足 a ? b ? 1 ,且 则实数 m 的最大值是
2 2

1 2 ? ? m 恒成立, a b



11. 如果圆 ? x ? a ? ? ? y ? a ? ? 4 上总存在两个点到原点的 距离为 1,那么实数 a 的取值范围是 。

1

12. 设 ? 、 ? 、 ? 为 三 个 不 同 的 平 面 , 给 出 下 列 条 件 : ① a , b 为 异 面 直 线 ,

a ? ? , b ? ? , ? // ? , b // ? ;② ? 内有三个不共线的点到 ? 的距离相等;③ ? ? ? , ? ? ? ;
④ ? // ? , ? // ? 。则其中能使 ? // ? 的条件是 。

13.在等差数列 ?an ? 中,Sn 是其前 n 项的和,且 a1 ? 2 , 的前 n 项的和是 。
2 2

?1? S2009 S2007 ? ? 2 ,则数列 ? ? 2009 2007 ? Sn ?

14. 已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 1与圆 C2 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 1 ,过动点 P ? a, b? 分别作圆 C1 、 圆 C2 的 切 线 PM 、 PN ( M 、 N 分 别 为 切 点 ), 若 PM ? PN , 则

a 2 ? b2 ?

? a ? 5? ? ? b ? 1?
2

2

的最小值是



二、解答题(本大题共 6 道题,计 90 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15. (本题满分 14 分) 已知不等式 x ? 5 x ? 6 ? 0 的解集是 A ,函数 f ? x ? ? log2 ? a ? x ? 的定义域为集合 B 。
2

(1)求集合 A ; (2)若 A 躡Bn a 的取值范围。 求

2

16. (本题满分 14 分) 已 知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的 三 个 内 角 , 且 其 对 边 分 别 为 a, b, c , 这 向 量

ur r m ? ? c o sB , s i C n?? n ? ,
(1)求内角 A 的大小;

u r 1 r c o ? , ?Bi n m ? n ? 。 Cs s,且 2

(2)若 a ? 2 3 ,求 ?ABC 面积 S 的最大值。

17. (本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AA1 , D 是 BC 的中点, P 是 CC1 的中点。 求证: (1) A B // 平面 AC1D ; 1 (2) B1P ? 平面 AC1D ;

18. (本题满分 16 分) 已知: ?ABC 中,顶点 A? 2,2? ,边 AB 上的中线 CD 所在直线的方程是 x ? y ? 0 ,边

AC 上高 BE 所在直线的方程是 x ? 3 y ? 4 ? 0 。
(1)求点 B 、 C 的坐标; (2)求 ?ABC 的外接圆的方程。

3

19. (本题满分 16 分) 已知在等差数列 ?an ? 中, a3 ? 4, 前 7 项和等于 35,数列 ?bn ? 中,点 ?bn , Sn ? 在直线

x ? 2 y ? 2 ? 0 上,其中 Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和 ? n ? N * ? 。
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (3)设 cn ? an ? bn ,Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求 Tn 并证明;

4 5 ? Tn ? 。 3 2

20. (本题满分 16 分)
2 已知圆 C 过点 P ?1,1? , 且圆 M : ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? r ? r ? 0 ? 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 2 2

对称。 (1)判断圆 C 与圆 M 的位置关系,并说明理由; (2)过点 P 作两条相异直线分别与 e C 相交于 A, B 。 ①若直线 PA 和直线 PB 互相垂直,求 PA ? PB 的最大值; ②若直线 PA 和直线 PB 与 x 轴分别交于点 G 、 H ,且 ?PGH ? ?PHG, O 为坐标原点, 试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由。

4

高一数学参考答案及评分标准
一、填空题: 1. ; ( 1 , 1 , 2 ) 2. 6 ; 3. 4 ; 4. x ? 2 y ? 3 ? 0 ; 5.

60? ; 6.5;

7.3 ; 8. 等腰直角三角形 ; 9.

3? 3 ;10. 3 ? 2 2 ; 2

11.

2 3 2 3 2 2 ; ?a? 或? ?a?? 2 2 2 2
n n ?1
;14. 34 ;

12.①④ ;13. 二、解答题:

2 15.解: (1)∵ x ? 5 x ? 6 ? 0 ,∴ ( x ? 6)( x ? 1) ? 0 ,∴ ?1 ? x ? 6

∴ A ? {x | ?1 ? x ? 6} .

……………………(7 分)

(2)由题意可知: a ? x ? 0 ,∴ x ? a ,∴ B ? {x | x ? a} ,……………………(10 分) ∵A ? B,∴ a ? 6 . ……………………(14 分) 16.解: (1)∵ m?n ? cos B cos C ? sin B sin C ? cos( B ? C ) ? 又 A、B、C 为三角形的三个内角, ∴ B ? C ? 60 ,∴ A ? 120 .……………………(7 分)
?

?? ?

1 ,………………(3 分) 2

?

(2)∵ a ? 2 3 , a ? b ? c ? 2bc cos A ,∴ b ? c ? bc ? 12 ,……………(10 分)
2 2 2 2 2

又 b ? c ? 2bc (当且仅当 b=c 时取“=”) ∴ 12 ? 3bc ,∴ bc ? 4 …………(12 分) ,
2 2

∴S ?

1 3 3 bc sin A ? bc ? ? 4 ? 3 .……………………(13 分) 2 4 4

∴当 b=c 时,三角形 ABC 的面积 S 的最大值为 3 .……………………(14 分)

17. 证明 (1) 连结 AC 交 AC1 于点 O, 连结 OD, 在正三棱柱 ABC- A1B1C1 中, 1 AB=AA1,∴侧面 AAC1C 是正方形,∴点 O 是 AC1 的中点,又点 D 是 BC 1 的中点,∴ OD // A B 1

5

又 A1B ? 平面 AC1D , OD ? 平面 AC1D , ∴A1B// 平面AC1 D .……………………(7 分) (2)(1) 侧面 BCC1B1 是正方形, D、 分别为 BC、 1 的中点, 由 知, 又 P CC ∴△CC1D≌△C1B1P, ∴ ?CDC1 ? ?C1PB1 ,∴ B1P ? C1D ,……………………(9 分) 在正三棱柱 ABC- A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,∴ AD ? BC ,又侧面 BCC1B1 ⊥底面 ABC, 且侧面 BCC1B1 ? 底面 ABC ? BC , AD ? 底面 ABC,∴ AD⊥平面 BCC1B1 ,…(12 分) 又 B1P ? 平面 BCC1B1 ,∴AD⊥B1P,又 AD ? C1D ? D ∴ B1P ? 平面AC1D .……………………(14 分) 18.解(1)由题意可设 B(?3a ? 4, a) ,则 AB 的中点 D ( ∴

?3a ? 2 a ? 2 ? ? 0 ,∴ a ? 0 ,∴ B(?4, 0) ,……………………(5 分) 2 2

?3a ? 2 a ? 2 , ) 必在直线 CD 上, 2 2

又直线 AC 方程为: y ? 2 ? 3( x ? 2) ,即 y ? 3x ? 4 ,

由?

?x ? y ? 0 得, C (1, ?1) ……………………(10 分) ? y ? 3x ? 4
2 2

(2)设△ABC 外接圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,

? 22 ? 22 ? 2 D ? 2 E ? F ? 0 ? 2 则 ?(?4) ? 4 D ? F ? 0 ……………………(12 分) ?1 ? 1 ? D ? E ? F ? 0 ?
9 ? ?D ? 4 ? 11 ? 得 ? E ? ? ……………………(15 分) 4 ? ? F ? ?7 ? ?
∴△ABC 外接圆的方程为 x ? y ?
2 2

9 11 x ? y ? 7 ? 0 .……………………(16 分) 4 4

?a1 ? 2d ? 4 ? a1 ? 2 ? 19.解(1)设数列 {an } 的公差为 d,则由题意知: ? 得? 7?6 ?7a1 ? 2 d ? 35 ? d ? 1 ?

6

∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? n ?1 ? n ? 1. ……………………(3 分) (2)∵点 (bn , Sn ) 在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上 ∴ bn ? 2Sn ? 2 ? 0 ----① , bn?1 ? 2Sn?1 ? 2 ? 0 (n ? 2) ①-②得 bn ? bn?1 ? 2bn ? 0 ,∴ bn ? 又当 n ? 1 时, b1 ? ? -----②

1 b1 ? 1 2 2 1 ∴数列 {bn } 是以 为首项, 为公比的等比数列。……………………(9 分) 3 3 2 1 n ?1 2 (3)由(2)知, bn ? ? (? ) ? n , 3 3 3 2 ∴ c n ? a n ? bn ? (n ? 1) ? n 3 2? 2 2?3 2? 4 2( n ? 1) Tn ? ? 2 ? 3 ?? ? -----------③ 3 3 3 3n 1 2? 2 2?3 2? 4 2n 2( n ? 1) Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 ------④ 3 3 3 3 3 3 2 2? 2 2 2 2 2(n ? 1) ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 ③—④得, Tn ? 3 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 1 1 (n ? 1) n ?1 3 ∴ Tn ? 2 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? =2? 3 ? n n 1 3 3 3 3 3 3 1? 3 1 1 n ? 1 5 2n ? 5 = 2 ? (1 ? n ?1 ) ? n = ? …………………… (14 分) 2 3 3 2 2 ? 3n 5 2n ? 5 5 ? Tn ? ? 2 2 ? 3n 2 4 由③知 Tn 的最小值是 T1 ? 3 4 5 ∴ ? Tn ? ……………………(16 分) 3 2 ?a ? 2 b ? 2 ? 2 ? 2 ?2?0 ?a ? 0 ? 20 解:(1)设圆心 C ( a, b) ,则 ? ,解得 ? ……………………(2 分) b?2 ?b ? 0 ? ?1 ? a?2 ? 2 2 2 2 2 2 则圆 C 的方程为 x ? y ? r ,将点 P 的坐标代入得 r ? 2 ,故圆 C 的方程为 x ? y ? 2

1 bn ?1 (n ? 2) ,……………………(6 分) 3 2 ∴ b1 ? ? 0 3

?CM ? 2 2 ,又两半径之和为 2 2 ,? 圆 M 与圆 C 外切.…………………(4 分)
(2) ①设 l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦的中点分别为 E, F ,弦长分别为 d1 , d 2 ,因为四边形

OEPF 是矩形,所以 OE 2 ? OF 2 ? OP2 ? 2 ,即

7

? ? d1 ?2 ? ? ? d 2 ?2 ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ,化简得 d1 ? d2 ? 8 ……………………(9 分) ? ?2? ? ? ? 2? ? ? ? ? ?
从而 d1 ? d 2 ?
2 2 ? d12 ? d 2 ? 4 , d1 ? d 2 时取等号,此时直线 PA,PB 必有一条斜率不存在) (

综上: l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值为 4…………………(10 分) 另解:若直线 PA 与 PB 中有一条直线的斜率不存在, 则 PA=PB=2,此时 PA+PB=4. …………………(5 分) 若直线 PA 与 PB 斜率都存在,且互为负倒数,故可设 PA : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,即

kx ? y ? 1 ? k ? 0 ,( k ? 0 ) 点 C 到 PA 的距离为

k ?1 1? k 2

,同理可得点 C 到 PB 的距离

(1 ? k )2 (1 ? k )2 为 ,? PA ? PB ? 2( 2 ? 2 ? 2? 2 ) …………………(8 分) k ?1 k ?1 1? k 2 2 ? ( PA ? PB)2 ? 4(2 ? 2 1 ? 2 ) <16,? PA ? PB ? 4 …………………(9 分) k ?1 综上: l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值为 4…………………(10 分) ②直线 OP 和 AB 平行,理由如下: 由题意知, 直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA : y ? 1 ? k ( x ? 1) , ? y ? 1 ? k ( x ? 1) PB : y ? 1 ? ?k ( x ? 1) ,由 ? 2 ,得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k )2 ? 2 ? 0 x ? y2 ? 2 ?
因为点 P 的横坐标 x ? 1 一定是该方程的解,故可得 x A ? 同理, xB ?

k ?1

k 2 ? 2k ? 1 ……………(12 分) 1? k 2

k 2 ? 2k ? 1 , 1? k 2 y ? y A ?k ( xB ? 1) ? k ( xA ? 1) 2k ? k ( xB ? xA ) 所以 k AB ? B ? ? ? 1 = kOP …………(15 分) xB ? xA xB ? xA xB ? xA 所以,直线 AB 和 OP 一定平行. ……………………(16 分)
(说明:解答题方法不唯一时,评分参照执行。 )

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