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江西省师范大学附属中学、鹰潭一中2016届高三4月联考数学(理)试题 Word版


江西师大附中、鹰潭一中联考(高三理科数学试卷) 考试时间:120 分钟 满分:150 分

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? {x | A. (0,2] 2.若复数 1+ai A. 1 B. - 1 3.式子
2

? x ? 0}, N ? { y | y ? ln x} ,则. M ? N ? ( x ?1



B. (?1,2]

C. (?1,??)

D.R )

(

)

2

- 2i ( i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a = (
C. 0 D. ± 1 )

1 1 ? (? ? R) 的最小值为( 2 2 ? cos ? 2 ? sin 2 ?
B.

A.

3 4

3 2

C.

4 3

D.

2 3

4 . 如 图 , 在 正 方 形 OABC 内 , 阴 影 部 分 是 由 两 曲 线

y ? x , y ? x 2 (0 ? x ? 1) 围成,在正方形内随机取一点,则
点取自阴影部分的概率是( A. ) D.



1 6

B.

1 3

C.

1 2

2 3
3 4 ,其中一条准线方程 x ? ? ,则双曲线 C 的方 3 2

5.已知中心在原点的双曲线 C 的离心率等于 程是( A . ) B.

x2 y 2 ? ?1 4 5
B.10

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ? ?1 2 5

D.

x2 y 2 ? ? ?1 2 5

6.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 5, 则输出 s 的值为( A. 9 C.11 D.12

) 开始 输入 n
i ? 1, s ? 1

7.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 S5 ? S9 , 且 a1 ? 0 ,则 Sn 中最大的是( A. S6 B. S 7 C. S8 )

D. S15

8.某大学的 8 名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、 大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐 4 名同 学 (乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置) , 其中大一的孪生姐妹 需乘同一辆车,则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自

i?n




s ? s ? ? i ?1?
i ? i ?1
第 6 题图

输出 s 结束

-1-

同一年级的乘坐方式共有( A. 24 种 C. 48 种 9. ( x ?



B. 18 种 D. 36 种 ) D.-160

1 ? 2) 5 展开式中常数项为( x
B.-252

A.252

C.160

10.命题 p : sin ? ?

1 1 ? ? tan ? ? (0 ? ? ? ) 无实数解,命题 tan ? sin ? 4
) D. p 且 q

q : ex ?

1 1 ? ln x ? x 无实数解. 则下列命题错误的是( ln x e
B. (? p )或 (?q ) C. p 且(? q )

A. p 或 q

11.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体 10 的体积为( A. ) B.

1 6

1 3

C.

1 2

D.

4 3

8

12.已知 f ( x) 是定义域,值域都为 (0, ??) 的函数, 满足 2 f ( x) ? xf ?( x) ? 0 ,则下列不等式正确的是( A. 2016 f (2016) ? 2015 f (2015) B. 2016 f (2016) ? 2015 f (2015) C. 20153 f (2015) ? 20163 f (2016)
15 10 5

6



4

2

5

10

D. 20153 f (2015) ? 20163 f (2016) 第Ⅱ卷
2

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做答.
4

第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知向量 a ? ( , ?
r 1 2
6

r r 3 r ), b ? (1, 0) ,则 b 在 a 上的投影等于______________. 8 2

? x? y?2?0 ? 10 14.x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 x2 ? y 2 的取值范围为 ____________. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

15.已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60? ,沿对角线 BD 折成二面角为 120 ? 的四面 体,则四面体的外接球的表面积为________.

-2-

16 .在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别是 a, b,c ,已知 3(a ? c) ? b, A ? C ?

?
3

,则角

B ? ______________.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

bn }分别满足 an ? f ( n), bn ? f ( b 17 .已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ,数列 {an },{ n?1 ),且 b 1 ? 1 . 定义

x ? [ x] ? ( x ), [ x] 为实数 x 的整数部分, ( x) 为小数部分,且 0 ? ( x) ? 1 .
(1)分别求 {an },{bn } 的通项公式; (2)记 cn ? (
an ) ,求数列 {cn } 的前项 n 和. bn ? 1

-3-

18. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, 且 ?ABC ? 120? . 点 E 是棱 PC 的中点, 平面 ABE 与棱 PD 交于点 F . (1)求证:AB∥EF; (2)若 PA ? PD ?AD ? 2 ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ,求平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二 面角的余弦值.

P F D A E C B

19.某校课改实行选修走班制,现有甲,乙,丙,丁四位学生准备选修物理,化学,生物三 个科目. 每位学生只选修一个科目,且选修其中任何一个科目是等可能的. (1)恰有 2 人选修物理的概率; (2)选修科目个数 ? 的分布列及期望.

20.已知抛物线 C 的标准方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,M 为抛物线 C 上一动点, A(a,0)(a ? 0) 为
2

其对称轴上一点,直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N.当 A 为抛物线 C 的焦点且直线

MA 与其对称轴垂直时,△MON 的面积为 18.
(1)求抛物线 C 的标准方程;

-4-

(2)记 t ?

1 1 ,若 t 值与 M 点位置无关,则称此时的点 A 为“稳定点” ,试求出 ? AM AN

所有“稳定点” ,若没有,请说明理由.

-5-

21. 已知函数 f ( x ) ?

x . ln(1 ? x )

(1)当 x ? 0 时,证明: f ( x) ?

1 x ? 1; 2

(2)当 x ? ?1 ,且 x ? 0 时,不等式 (1 ? kx) f ( x) ? 1 ? x 成立,求实数 k 的值.

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使 BC ? CD , 过C作圆O的切线交AD于E.若 AB ? 6 , ED ? 2 . (1)求证: CE ? AD ; (2)求BC的长. A O. B
第 22 题 图

E D C

23.选修 4-4:坐标系与参数方程
? ? x ? 2 cos t 已知曲线 C 的参数方程为 ? (t 为参数),C 在点 ?1,1? 处的切线为 l,以坐标原点为极 y ? 2 sin t ? ?

点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 l 的极坐标方程;

-6-

(2)过点 M (? ,

1 3 ) 任作一直线交曲线 C 于 A, B 两点,求 | AB | 的最小值. 4 4

24.选修 4-5:不等式选讲: 设函数 f ( x) ?| x ?

4 | ? | x ? a | ( a ? 0) . a

(I)证明: f ( x) ? 4 ; (II)若 f (2) ? 5 ,求 a 的取值范围.

-7-

1 B

2 B

3 C

4 B

5 B

6 C

7 B

8 A

9 A

10 D

11 D

12 D

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {x | A. (0,2]

2? x ? 0}, N ? { y | y ? ln x} ,则 M ? N ? ( x ?1
C. (?1,??) D. R



B. (?1,2]

解析: M ? {x | ?1 ? x ? 2}, N ? R . 选 B. 2. 若复数 1+ai A. 1
2

(

)

2

- 2i (为虚数单位)是纯虚数,则实数 a = (
C. 0 .选 B D. ± 1



B. - 1

解析:原式 1 ? a ? 2ai ? 2i ,由题意 a ? ?1 3.式子 A.

3 4

1 1 ? (? ? R) 的最小值为( 2 2 ? cos ? 2 ? sin 2 ? 3 4 2 B. C. D. 2 3 3



解析: 法一, 利用不等式

1 1 4 1 1 4 4 ? ? ? ? ? , 2 2 2 2 x y x ? y 2 ? cos ? 2 ? sin ? 4 ? (sin ? ? cos ? ) 3 ,

sin 2 ? ? cos2 ?
当且仅当 法二,直接通分, ,即

??

k? ? ? (k ? Z ) 2 4 时,等号成立. 选 C

1 1 4 ? (sin 2 ? ? cos2 ? ) ? = 2 ? cos2 ? 2 ? sin 2 ? 4 ? 2(sin 2 ? ? cos2 ? ) ? sin 2 ? cos2 ?

?

3 4 ? 1 2 2 ? sin 2? 3 , 4
sin 2 ? ? cos2 ?

??
,即

当且仅当

k? ? ? (k ? Z ) 2 4 时,等号成立.选 C

-8-

4. 如图,在正方形 OABC 内,阴影部分是由两曲线 y ? 形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

x , y ? x 2 (0 ? x ? 1) 围成,在正方

A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2
1

D.

2 3

解析:阴影部分面积 S ?

?(
0

x ? x 2 )dx

3 2 2 1 3 1 1 ? ( x ? x ) | ? ,由几何概型知,选 B. 0 3 3 3

5.已知中心在原点的双曲线 C 的离心率等于

3 ,其中一条准线方程 4 ,则双曲线 C 的方 2 x?? 3

程是 ( A .

) D.

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 B. ? C . ?1 ? ?1 4 5 4 5 2 5

x2 y 2 ? ?1 2 5

解析:依题意 c ? 3 , a ? 2 ,从而 a 2 ? 4 , b2 ? c 2 ? a 2 ? 5 ,故选 B. 6.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 5, 则输出 s 的值为( A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 ) 开始 输入 n
i ? 1, s ? 1

解析:第一次循环后: s ? 1, i ? 2 ; 第二次循环后: s ? 2, i ? 3 ; 第三次循环后: s ? 4, i ? 4 ; 第四次循环后: s ? 7, i ? 5 ;第五次 循环后: s ? 11 , i ? 6 ,故输出 11. 选 C. 7.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 S5 ? S9 , 且 a1 ? 0 ,则 Sn 中最大的是( A. S6 B. S7 ) C. S8 D. S15

i?n




s ? s ? ? i ?1?
i ? i ?1
第 6 题图

输出 s 结束

解析:由 S5 ? S9 ,得 a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 0 ,由 a1 ? 0 知, a7 ? 0, a8 ? 0 ,所以 S7 最大,选 B. 8.某大学的 8 名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽

-9-

车,每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置) ,其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的

4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一年级的乘坐方式共有(
A. 24 种 B. 18 种 C. 48 种

) D. 36 种

2 1 1 解析:分类讨论,有 2 种情形.孪生姐妹乘坐甲车 ,则有 C3 C2C2 ? 12 . 孪生姐妹不乘坐甲 1 1 1 车,则有 C3 C2C2 ? 12 . 共有 24 种. 选 A.

(x ?
9.

1 ? 2) 5 展开式中常数项为( x
B. 252



A. -252 解析: ( x ?

C. -160

D. 160

1 1 10 ? 2)5 ? ( x ? ) x x . 展开式通项公式
(?1) x
r 1 ? r 2 r 5? r ? (?1) r C10 x

Tr ?1 ? C x
r 10

1 (10? r ) 2

r ?5
当且仅当 时,

-252 为常数项. 选 A.

10.命题 p : sin ? ?

1 1 ? ? tan ? ? (0 ? ? ? ) 无实数解,命题 tan ? sin ? 4 1 1 q : ex ? ? ln x ? x 无实数解. 则下列命题错误的是( ) ln x e
B. (? p )或 (?q ) C. p 且(? q ) D.

A. p 或 q

p 且q

1 在 (0,1) 单调递减,由 0 ? sin ? ? tan ? ? 1 得 x 1 1 ? sin ? ? ? tan ? ? (0 ? ? ? ) ,命题 p 为真; sin ? tan ? 4 1 1 ln x ? e x x x x ? ln x ? x ? e ? ln x ? x 又e ? ,当 x ? 0 时,易知 e ? ln x ? 0 ln x e e ln x
解析: f ( x) ? x ? ∴ ln x ? ?

1 1 ,由同一坐标系中 y ? ln x , y ? ? x 的图像知,存在 x0 ? (0,1) ,使 x e e

ln x0 ? ?

1 1 1 x ? ln x ? x 有实数解,命题 q 为假.选 D. ,故 e ? x0 ln x e e

11.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体的 体积为( ) B.
10

1 A. 6

1 3

C. 1

D.

4 3

8

6

- 10 4

解析:由题意,原几何体为三棱锥,如图所示.

1 1 4 . 选 D. V ? ? ? 2? 2? 2 ? 3 2 3

12.已知 f ( x) 是定义在 (0,??) 的函数,且 f ( x) ? 0 . 满足 2 f ( x) ? xf ?( x) ? 0 ,则下列不等 式正确的是( ) B. 2016f (2016 ) ? 2015f (2015 )
3 3 D. 2015 f (2015 ) ? 2016 f (2016 ) 2

A. 2016f (2016 ) ? 2015f (2015 ) C.
3 3 2015 f (2015 ) ? 2016 f (2016 ) 2

? ? 解析: 构造函数 g ( x) ? x f ( x), g ( x) ? 2xf ( x) ? x f ( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在 (0,??) 单调递增, ) ? 2016 f (2016 ) ,结合不等式性质. 选 D. 所以 2015 f (2015
2 2

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

r r r 1 3 r 13.已知向量 a ? ( , ? ), b ? (1, 0) ,则 b 在 a 上的投影等于______________. 2 2

解析:由定义,

1 | b | cos ? a, b ?? ? |a| 2

a ?b

. 答数 1 .

2

? x? y?2?0 ? 14.x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 x2 ? y 2 的取值范围为____________. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

解析:如图,约束条件对应的可形域为 ?BCD 所围成的阴影部分,则目标函数对应的 范围为 0 ? x 2 ? y 2 ? 8

- 11 -

15.已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60? ,沿对角线 BD 折成二面角为 120? 的四 面体,则四面体的外接球的表面积为________. 解析:如图 1,取 BD 的中点 E, 连 AE, CE. 由已知条件, 面 ACE ? 面 BCD . 则外接球球心在面 ACE 内,如图 2,

OG ? CE , OE 垂直平分 AC ,其中 CG ? 2GE ,

?CEA ? 120? . 分别解 ?OCG, ?EGO 得 R ? OC ? OA ? 7 ,外接球的表面积为 28? .
16.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 3(a ? c) ? b, A ? C ? ,则 B ? _________________. 解析: sin A ? sin(

?
3

A?C A?C A?C A?C A?C A?C ? ) ? sin cos ? cos sin , 2 2 2 2 2 2

sin C ? sin(

A?C A?C A?C A?C A?C A?C - ) ? sin cos -cos sin , 2 2 2 2 2 2
A?C A?C sin . 2 2

两式相减得 sin A ? sin C ? 2 cos

由正弦定理得 3(sin A ? sin C) ? sin B

? 3 cos

A?C A?C B B B 3 ? sin ? 2 sin cos ? cos ? ?B? . 2 2 2 2 2 2 3

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ,数列 {an },{bn } 分别满足 an ? f (n),bn ? f (bn?1 ) ,且 b1 ? 1 . 定 义 x ? [ x] ? ( x) , [ x ] 为实数 x 的整数部分, ( x ) 为小数部分,且 0 ? ( x) ? 1 . (1)分别求 {an },{bn } 的通项公式; (2)记 cn ? ( 解析: (1)

an ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和. bn ? 1

an ? 2n ?1, bn ? 2n ?1 ;
a1 3 1 a 5 1 ? , c1 ? ; 2 ? , c2 ? ; b1 2 2 b2 4 4
2n ? 1 ?1, 2n

(2)依题意,

当 n ? 3 时,可以证明 0 ? 2n ? 1 ? 2n ,即 0 ?

- 12 -

所以 c n ? ( 则 S1 ? 令W ?

2n ? 1 2n ? 1 )? (n ? 3) , 2n 2n

1 1 7 9 2n ? 1 1 1 1 3 ? ... ? n (n ? 3) . , S2 ? ? ? , Sn ? ? ? ? 2 4 8 16 2 2 2 4 4

7 9 2n ? 1 1 7 9 2n ? 1 ? ? ... ? n (n ? 3) , W ? ? ? ... ? n ?1 (n ? 3) , 8 16 2 2 16 32 2
9 1 2n ? 1 9 2n ? 5 ? n?2 ? n = ? (n ? 3) . 4 2 2 4 2n

两式相减得 W ? ∴ Sn ? 3 ?

2n ? 5 (n ? 3) ,检验知, n ? 1 不合, n ? 2 适合, 2n

1 ? ,n ?1 ? ? 2 ∴ Sn ? ? . 2 n ? 5 ?3 ? ,n ? 2 ? ? 2n

18. 某校课改实行选修走班制,现有甲,乙,丙,丁四位学生准备选修物理,化学,生物三 个科目. 设每位学生只选修一个科目,且选修其中任何一个科目是等可能的. (1)恰有 2 人选修物理的概率; (2)选修科目个数 ? 的分布列及期望. 解:这是等可能性事件的概率计算问题.
2 (I)解法一:所有可能的选修方式有 3 种,恰有 2 人选修物理的方式 C4 ? 22 种,从而恰
4

有 2 人选修物理的概率为

C42 ? 22 8 ? . 4 27 3

解法二:设对每位学生选修为一次试验,这是 4 次独立重复试验. 记“选修物理”为事件 A,则 P ( A) ?

1 . 3

从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知,恰有 2 人选修物理的概 率为

8 2 1 2 2 2 P4 (2) ? C4 ( ) ( ) ? . 3 3 27
(II)ξ 的所有可能值为 1,2,3.又

- 13 -

3 1 ? , 4 27 3 C 2 (C1C 3 ? C 2 C 2 ) 14 C 2 (24 ? 2) 14 P(? ? 2) ? 3 2 4 4 4 2 ? (或P(? ? 2) ? 3 4 ? ) 27 27 3 3 P(? ? 1) ?

P(? ? 3) ?

1 2 1 2 3 C3 C4 C2 4 C4 A3 4 ? ( 或 P ( ? ? 3) ? ? ). 4 4 9 9 3 3

综上知,ξ 有分布列

ξ P 从而有

1

2

3

1 27

14 27

4 9

E? ? 1 ?

1 14 4 65 ? 2? ? 3? ? . 27 27 9 27

如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, 且 ?ABC ? 120? . 点 E 是棱 PC 的中点, 平面 ABE 与棱 PD 交于点 F .

P

F
(1)求证: AB / / EF ; (2)若 PA ? PD ? AD ? 2 ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ,

E D C B

A
求平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值.

CD ? 面 PCD , 19. 试题解析: (1) ∵底面 ABCD 是菱形, ∴ AB / / CD , 又∵ AB ? 面 PCD , ∴ AB / / 面 PCD ,
又∵ A ,B ,E ,F 四点共面, 且平面 ABEF ? 平面 PCD ? EF , ∴ AB / / EF ; (2) 取 AD 中点 G , 连接 PG ,

GB ,∵ PA ?PD ,∴ PG ?AD ,又∵平面 PAD ? 平面 ABCD ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,∴ PG ?
平面 ABCD ,∴ PG ? GB ,在菱形 ABCD 中,∵ AB ? AD ,

- 14 -

?DAB ? 60? , G 是 AD 中点,∴ AD ? GB ,如图,建立空间直角坐标系 G ? xyz ,设 PA ? PD ? AD ? 2 ,
则 G (0, 0, 0) , A(1,0,0) , B(0, 3,0) C(?2, 3,0) , D(?1,0,0) D(?2, 0, 0) , P(0,0, 3) ,又∵ AB / / EF ,点

E 是 棱 PC 中 点 , ∴ 点 F 是 棱 PD 中 点 , ∴ E (?1,

3 3 1 3 , ) , F (? ,0, ) , 2 2 2 2

3 3 1 3 AF ? (? ,0, ) , EF ? ( ,? ,0) ,设平面 AFE 的法向量为 2 2 2 2

r uuu r ? z ? 3x ? ? ? ?n ? AF ? 0 ,∴ ? n ? ( x, y, z) ,则有 ? r uuu r 3 ,不妨令 x ? 3 , y ? x n ? EF ? 0 ? ? ? 3 ? ? 则平面 AFE 的一个法向量为 n ? (3, 3,3 3) ,
∵ BG ? 平面 PAD ,∴ GB ? (0, 3,0) 是平面 PAF 的一个法向 量,

z

P F G A
x

E D C B
y

r uu u r r uu u r n ? GB 6 13 ∵ cos < n, GB >? r uu ,∴平面 PAF 与 ? u r ? 13 39 ? 2 3 n ? GB
平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值为

13 . 13

20. 已知抛物线 C 的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,M 为抛物线 C 上一动点, A(a,0)(a ? 0) 为其对称轴上一点, 直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N. 当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时, △MON 的面积为18 . (Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程; (Ⅱ)记 t ?

1 1 ,若 t 值与 M 点位置无关,则称此时的点 A 为“稳定点” ,试求出所有“稳定点” ,若 ? AM AN

没有,请说明理由.

1 1 p p2 解析: (Ⅰ)由题意, S△MON ? ? | OA | ? | MN |? ? ? 2 p ? ? 18 ,∴ p ? 6 , 2 2 2 2
抛物线 C 的标准方程为 y 2 ? 12 x .

? x ? my ? a (Ⅱ)设 M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ) ,设直线 MN 的方程为 x ? my ? a ,联立 ? 2 得 y 2 ? 12my ? 12a ? 0 , y ? 12 x ?
? ? 144m2 ? 48a ? 0 ,

y1 ? y2 ? 12m , y1 y2 ? ?12a ,

由对称性,不妨设 m ? 0 ,

- 15 -

(ⅰ) a ? 0 时,∵ y1 y2 ? ?12a ? 0 ,∴ y1,y2 同号, 又t ?

1 1 1 1 ( y ? y2 ) 2 1 1 144m2 1 ? 1 ? ? ? ? g 1 ? g ? 2 ?1 ? , ∴t 2 ? ?, 2 2 2 2 2 2 | AM | | AN | 1 ? m ( y1 y2 ) 1 ? m 144a a ? 1 ? m2 ? 1 ? m | y1 | 1 ? m | y2 |

不论 a 取何值,t 均与 m 有关, 即 a ? 0 时,A 不是“稳定点” ; (ⅱ) a ? 0 时,∵ y1 y2 ? ?12a ? 0 ,∴ y1,y2 异号,又 t ?

1 1 1 1 ? ? ? , 2 | AM | | AN | 1 ? m | y1 | 1 ? m2 | y2 |

1 ? ? 2 2 a ?1? 2 ? ( y ? y ) ? 4 y y 1 1 144 m ? 48 a ( y ? y ) 1 1 2 1 2 1 2 1 2 3 ? ? ∴t ? g ? ? ? 2 ?1 ? ?, 1 ? m2 ( y1 y2 )2 1 ? m 2 ( y1 y2 ) 2 1 ? m2 144a2 a ? 1 ? m2 ? ? ? ? ?

∴仅当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 3 时,t 与 m 无关,

1 3

21. 已知函数

f ( x) ?

. x ln(1 ? x)

(3)当 x ? 0 时,证明:

f ( x) ?

x?2; 2

(4)当 x ? ?1 ,且 x ? 0 时,不等式 (1 ? kx) f ( x) ? 1 ? x 成立,求实数的值. (5)证明: (1)? x ? 0,ln(1 ? x) ? 0 ? (6)令 h( x) ? ln(1 ? x) ? (7) h?( x) ?

x x?2 2x ? ? ? ln(1 ? x) ln(1 ? x) 2 x?2

2x . x?2

x2 ? 0 ,则 h( x) 在 (0, ??) 上是增函数. (1 ? x)(2 ? x)2

(8)故 h( x) ? h(0) ? 0 ,即命题结论成立??????5 分 (9)(2)当 x ? 0 时, 当 0 ? x ? ?1 时,

x ? 0 ,1 ? x ? 0 ; ln(1 ? x)

x ? 0 ,1 ? x ? 0 ln(1 ? x)
(1 ? x) ln(1 ? x) ? x ? kx 2 ?0. x
- 16 -

(10)所以 1 ? kx ? 0 ,原不等式可化为

(11)令 g ( x) ? (1 ? x)ln(1 ? x) ? x ? kx 2 .

? 2k 令 h( x) ? g ?( x) ? ln(1 ? x) ? 2kx, h?( x) ? 1? x (12)
x?0
(13)当 时,有

1

0?

1 ?1 1? x .

(14)令 2k ? 1 ,则 h?( x) ? 0 ,故 g ?( x ) 在上 (0, ??) 是减函数,即 g ?( x) ? g ?(0) ? 0 . (15)因此 g ( x) 在 (0, ??) 上是减函数,从而 g ( x) ? g (0) ? 0 , (16)所以,当 k ?

1 (1 ? x) ln(1 ? x) ? x ? kx 2 时,对于 x ? 0 ,有 ?0 2 x
1 ? 1. 1? x

(17)当 ?1 ? x ? 0 时,有

(18)令 2k ? 1 ,则 h?( x) ? 0 ,故 g ?( x ) 在 (?1, 0) 上是增函数,即 g ?( x) ? g ?(0) ? 0 . (19)因此, g ( x) 在 (?1, 0) 上是减函数,从而, g ( x) ? g (0) ? 0 . (20)所以,当 k ?

1 (1 ? x) ln(1 ? x) ? x ? kx 2 时,对于 ?1 ? x ? 0 有 ?0 2 x
1 时 , 在 x ? ?1 , 且 x ? 0 时 , 不 等 式 (1 ? kx) f ( x) ? 1 ? x 成 2

(21)综 上 , 当 k ? 立.?????12 分

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上, 延长 BC 到 D 使 BC ? CD ,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E .若

AB ? 6 , ED ? 2 .
(3)求证: CE ? AD ; (4)求 BC 的长. 【解析】 (1)连接 O, C ,因 O, C 分别为 AB, BD 的中点,所以 OC // AD , 又 CE 为圆 O 的切线, CE ? OC ,所以 CE ? AD . (2)依题意易知 ?ABC ? ?CDE ,所以

AB BC ? ,又 CD DE

BC ? CD ,所以 BC 2 ? AB ? DE ? 12 ,从而 BC ? 2 3 .

- 17 -

23.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos t ? ? y ? 2 sin t

( t 为参数), C 在点 ?1,1? 处的切线为 l ,以坐标原点为

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 l 的极坐标方程; (2)过点

1 3 任作一直线交曲线 C 于 A, B 两点,求 | AB | 的最小值. M (? , ) 4 4
? ?

【解析】 (1)? sin ? ? ?

??

2 2 ? ? 2 ;曲线 C 的普通方程为 x ? y ? 2 ,其在点 ?1,1? 处的切线 l 4?

的方程为 x ? y ? 2 ,对应的极坐标方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 ,即 ? sin ? ? ? (2)

? ?

??

?? 2. 4?

| OM |?

1 , | AB |min ? 7 . 2

24.选修 4—5:不等式选讲:

设函数 f ( x) ?| x ?

4 | ? | x ? a | ( a ? 0) . a

(I)证明: f ( x) ? 4 ; (II)若 f (2) ? 5 ,求 a 的取值范围.

4 4 4 | ? | x ? a |?| x ? a ? ? x |? a ? ? 4 ; a a a 4 (II)解: (1)当 a ? 2 时, | 2 ? | ? | 2 ? a |? 5 显然满足; a 当 0 ? a ? 2 时, 4 ? a? ? 5, (2) a
(I)证: | x ? 即 (3)当

a 2 ? 5a ? 4 ? 0, ?1 ? a ? 4
a?2
时,

,联立求解得

1? a ? 2

;

? a2 ? a ? 4 ? 0



? 1 ? 17
2

?a?

1 ? 17 , 2

联立求解得 2 ? a ?

1 ? 17 2 1 ? 17 . 2

综上,

a 的取值范围为

1? a ?

- 18 -

- 19 -


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