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说课案(一元一次方程应用 --行程问题)


一元一次方程的应用说课稿
一、数学分析
通过一元一次方程应用的学习, 学生将对利用方程思想解决实际问题有一定的认 识和理解,进一步体会数学建模思想,即:由实际问题抽象为方程模型这一过程 蕴含的模型化的思想,同时也为后继学习用二元一次方程组、分式方程、一元二 次方程解决实际问题奠定了基础。

二、 标准分析
1. 探索具体问题中的数

量关系和变化规律,掌握用方程进行表述的方法。 2. 通过用方程表述数量关系的过程,体会模型的思想。 3. 初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数 学知识和方法等解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力。

三、学情分析
学生已经会解一元一次方程, 有列方程解应用题的初步经验。 经过调研, 抽测 17 人,有 15 人完全掌握了解方程的知识,有 12 人能分析出简单行程问题(不含 分类讨论的问题)的数量关系,能找到相等关系,列出方程。 我所教班级学生 能够比较清晰的表达自己的见解, 愿意与他人合作交流; 基于此在例题的选择上, 我设置了一道分类讨论的题目, 但由于学生正处于有感性认识向理性认识过渡时 期,抽象思维能力有待提高,学生在这道题目上易出现分类讨论不全面、考虑问 题片面、数形结合思想应用不到位等问题。在教学中要重视对学生思维的研究, 从而对学生思维途径进行有效的指导。

四、教学目标
1. 能将实际问题转化为数学问题,并能找出数学问题中的相等关系,列出方程 解决问题。 2. 通过经历“问题情景——建立数学模型——求出数学模型的解——检验、解 释实际问题”的过程,初步渗透分类讨论和数学建模思想。 3. 通过利用电子白板的演示、表演,教师的引领,寻求解决问题的方法;学会 与他人合作,体验解决问题方法的多样性,获得解决实际问题的经验

五、重点、难点分析
重点是能将实际问题转化为数学问题,并能找出数学问题中的相等关系,列出方 程解决问题。 难点是如何正确找出行程问题中的相等关系。 借助电子白板、 按按按互动反馈技术与演示文稿的交互使用,引导学生利用路程 图研究对象的行进过程帮助学生解决教学重点,突破教学难点。

六、教材对比分析
人教版教材中《一元一次方程》是第三章内容,先通过一个具体行程问题,引导 学生尝试如何用算术方法解决它,然后再逐步引导学生列出含未知数的等式 — 方程,突出方程的根本特征,并使学生认识到从算式到方程使我们有了更有力、 更方便的数学工具,从算术方法到代数方法是数学的进步。 京教课改版教材中力图从学生熟悉和可以接触到现实生活中的实际问题出发, 运 用列一元一次方程来解决问题, 基本打破了常规教材的按问题类型分类教学的方 法,更注重分析问题的实际意义,重在提高解决实际问题的能力;激发学生学习 的积极性,以及通过教学对学生进行恰当的思想教育。

七、教学过程设计
(一)复习引入,初步感知 我设置了两个问题,让学生进行解答。 设计意图是: 从已有知识入手激发学生的学习兴趣;利用交互式电子白板的拖拽 功能,呈现学生对知识的掌握情况。 (二)呈现问题,自主思考 我设计了两道选择题。 设计意图是: 通过“按按按”互动反馈系统进行学前调研,呈现学生对行程知识 的掌握情况。 纠正学生审题,分析行程问题中数量关系的错误,为新知识做铺垫。 (三)问题引领,学习新知 我设置了几道题目。

设计意图是:利用电子白板,学生表演等方式引导学生正确进行审题、分析数量 关系,建立方程、解决实际问题的目的。 (四)课堂练习,反馈结果 设计意图是了解学生掌握学习情况 (五)知识梳理,初步建模 以两个问题形式出现。 设计意图是:进行知识梳理知识,增强学生的归纳、概括能力,形成基本的解决 实际问题的模型。 (六)布置作业,反思强化 第一题的设计意图是进行利用一元一次方程解决行程问题的课后训练, 达到反馈 强化的目的;第二题的设计意图是进行知识迁移解决新的问题。

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《一 元一次方程的应用——打折问题》教学设计 一、数学分析
本章是继第一章《有理数》之后属于新课标的“数与代数”领域,是代数学的的 核心内容。既是最简单的代数方程,也是所有代数方程的基础。 本课时是在已经讨论过由实际问题抽象出一元一次方程模型和解它的一般步骤 的基础上安排的,是利用方程解决实际问题的内容之一。内容比前几节复杂些, 情境与实际情况更接近,本节课的内容要点是,在清楚地了解利润、成本、售价 之间数量关系的基础上,根据打折销售的具体问题情境,确定数量关系,列出一 元一次方程,并正确求解。 通过本节内容的学习, 不仅让学生理解打折销售中的数学关系,掌握列一元一次 方程解决有关问题的基本技能, 更要让学生体验数学在生活中的应用与价值,从 而提高学生学习数学的兴趣。

二、标准分析
探索具体问题中的数量关系, 掌握用一元一次方程进行表述的方法;通过用一元 一次方程表述数量关系的过程,体会模型的思想,建立符号意识;感受成功的快 乐,体验独自克服困难、解决数学问题的过程,有克服困难的勇气,具备学好数 学的信心。

三、学情分析
在日常生活中, 学生对打折销售现象有一定的生活经验,但对打折销售的实质未 必真正清楚。 从这种现象的实质上把握其中的数量关系,对学生来说具有一定的 挑战性。同时,本节内容是生活中的常见现象,学生具备可以利用的现有知识和 生活经验。在教师的适当点拨、引导下,学生完全有能力独立探究出打折销售中 的数量关系,列一元一次方程,解决有关问题。

四、重点分析
依据新课改理念和学生已有生活、知识水平确定本节的重点是:本节问题的数量 关系比较复杂,通过逐步探究活动,体验一元一次方程与实际的密切联系,建立 实际问题的方程模型。

由于本节问题有些数量关系比较隐蔽,所以难点是在探究过程中正确地建立方 程。通过弄清问题背景,分析清楚有关数量关系来突破,突破关键是引导找出可 以作为列方程依据的主要相等关系。

五、教材对比分析
“一元一次方程的应用 —— 打折销售问题”是北京版七年级上册, 第二章一元 一次方程第 6 节列方程解应用问题第 4 课时内容。 人教版属于列方程解应用问 题第 1 课时内容。教材比较注重用实际问题的引入,让学生在解决实际问题的 过程中体会解一元一次方程的实质,建立模型意识。

六、教学目标
1. 会列一元一次方程解决实际问题; 2. 经历“探索实际问题的解决”过程,培养学生从多角度运用数学知识分析解 决问题的意识和能力; 3. 在参与课堂活动中,体会数学在实际问题中的应用; 4. 让不同的学生在学习中体会愉悦与成功感,感受数学学习的价值。

七、教法分析
根据本课时的目标和面对的学生实际生活经验和已有知识水平, 有关销售中的一 些概念不给严格定义,让学生根据生活经验自然而然地理解、接受和运用它们, 而不感到学了没有。并创设情境问题,采用引导、启发式教学方法,并使用多媒 体, 这样让学生感到接受容易, 有兴趣、 有目的学到知识, 达到我们的教学目标。

八、教学过程
复习回顾: 通过前面几节关于一元一次方程应用的学习, 想一想利用一元一次方程解决实际 问题的一般思路是什么?

【设计意图】使学生整体把握利用一元一次方程解决实际问题的一般思路,为 本节课的学习提供了学习依据。 情景引入: 走过路过千万不要错过,本店羽绒服打折大酬宾!全场 7 折!顾客:老板,这 件羽绒服多少钱?商家:原来标价 1000 元,打完 7 折后是 700 元。顾客:还 能在便宜点吗?商家:不能在少了,这件羽绒服的进价还 650 元呢!怎么着您 也得让我挣点吧!顾客:嗯 —— 那就 700 元吧!给我拿一件!商家:得,今 天少挣您点儿,就挣您 50 元钱,下次您再来啊! 思考: 1. 在整个情境中,共涉及哪些销售用语? 2. 说一说你是怎么理解这些概念的? 3. 它们之间有着怎样的等量关系呢? ( 观看视频 6 秒至 4 分 20 秒 ) 【设计意图】通过本环节使学生了解打折问题中所涉及的数量关系和等量关系。 热身活动: 某商场正在进行打折促销活动, ( 1 ) 将一件羽绒服标价为 1500 元, 并按 8 折出售, 则售价为 _________ 元; ( 2 ) 若这件羽绒服的进价为 800 元,则这件羽绒服的利润是 _________ 元, 利润率是 _________ 。 学生独立完成计算。

【设计意图】初步应用打折销售问题中的等量关系解决问题,为例题的解决做 好铺垫。 归纳小结:打折销售问题中的等量关系:

【设计意图】总结归纳分析打折问题中的等量关系,以及感受每个等量关系的 不同形式。 例题解析: 例:商场将一件羽绒服标价为 1500 元,并按标价的 8 折出售给某顾客,最终 获利 400 元,请问这件羽绒服的进价是多少元?列方程解应用题的一般步骤是 什么? 审:审题,理解题意,弄清题目中的数量关系,找出其中的等量关系; 设:设出未知数,用含有未知数的代数式表示题目中涉及的数量关系; 列:根据等量关系列出方程; 解:求出方程的解; 验:检验方程解是否符合实际意义; 答:答题。 分析:这个问题中涉及了哪些数量关系? 进价: x 元 标价: 1500 元 折数: 8 折

售价: 利润: 400 元

等量关系是:售价-进价=利润 解:设这件羽绒服的进价是 x 元, 根据题意列方程,得

解这个方程得 x=800 答:这件羽绒服的进价是 800 元。 分析及列方程的过程由师生共同完成。 【设计意图】此处主要是想起到示范作用。让学生经历运用方程解决实际问题 的过程,进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。 小结: 对于打折销售问题,我们利用什么方法来分析这类问题?又是怎么找到 的等量关系? 变式 1 : 商场把一种羽绒服按进价提高 50% 标价,然后再按 8 折(标价的 80% )出售, 这样商场每卖出一件羽绒服就可盈利 200 元。 ( 1 ) 这种羽绒服的进价是多少元? ( 2 ) 如果按 6 折出售, 商场还盈利吗? 为什么? 变式 2 : 商场搞促销活动,降价销售,把标价为 1500 元的羽绒服以 9 折优惠出售,但 仍可获得 25% 的利润,那么这种羽绒服的进价是多少元? 学生独立思考,小组讨论完成,学生讲解分析及解题过程。 【设计意图】通过变式练习进一步体会一元一次方程在解决实际问题时的应用。 课堂小结: 1. 这节课你有什么收获? 2. 打折销售问题我们运用什么方法进行分析的?

【设计意图】 通过归纳总结,培养学生自我整理的学习习惯,强化对知识的理 解,体会方程在解决实际问题中的应用,并锻炼学生归纳概括的能力。 课后作业: 必做题:练习册 P77 基础达标 选做题:练习册 P78 能力提升、中考链接 【设计意图】 关注学生的个体差异,使每一个学生都有成功的体验,得到相应 的提高与发展,体现课标的“使不同的学生得到不同的发展”这一宗旨。

《实际问题与一元二次方程》教学设计
谷洪英 ( 北京市八一学校 中学高级 )

【数学分析】
一元二次方程是中学数学的重要内容, 其中一元二次方程的应用在初中数学应用 问题中极具代表性,它是一元一次方程应用的继续,又是函数学习的基础。 本 节课是人教版九年级数学上册第二十二章 22.3 《实际问题与一元二次方程》第 一节内容, 以一元二次方程解决的实际问题为载体,通过对它的研究, 体会数 学与现实生活的紧密联系, 体现数学建模的过程, 增强应用意识,提高运用代 数知识与方法解决问题的能力。 其应用的广泛性能激发学生学习兴趣,能让学 生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。

【标准分析】
《标准》中 要求能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实 世界数量关系的有效模型。

【重难点分析】
教学重点:分析题目数量关系,并寻求等量关系,会用一元二次方程解决实际问 题。 教学难点:怎样寻找等量关系,建立数学模型。

突破方法:设置情境,握手活动 ,是基本的生活现象,学生做起来轻而易举, 而其中的生活经验却与数学固有的特性相通, 这种精致化的生活经验无疑更有利 于学生对数学理性知识的认知和意义的建构。 在贴近学生认知经验的生活化的情 境中来理解数学, 正好印证了好的数学一定还伴随着必要的学生视角和立场。让 学生在活动中克服心理障碍 , 突破思维难点。

教学设计在图片库

《用函数观点看一元二次方程》说课
人民教育出版社数学九年级下册第 26 章二次函数第二节 张国春(北京市十一学校 中教一级) 函数是描述运动、变化的基本概念 . 函数概念的产生,标志着数学思想方法的 重大转折 —— 由常量数学到变量数学。人民教育出版社数学九年级下册第 26 章二次函数第二节内容,大致用一个课时。

一、教学背景分析
1. 教学内容的功能和地位 从学科知识体系看, 以函数的角度给予方程新的内涵,类比函数观点下的一元一 次方程研究, 用函数观点看一元二次方程体现了数学学习中的动静转化,数形结 合重要思想, 从而给予了学生对一元二次方程新的认识,并让学生可以通过画图 象求出方程的根。 它对于后续高中学习一元二次不等式有重要的意义,因此它起 着承上启下的作用。本节课中动静,数形结合及转化的思想体现的很经典,学生 会因此感受到数学思想的精髓。 2. 学情分析 在知识方面, 学生已经学习了一元二次方程及二次函数,同时在这之前学生学习 过用函数观点看一元一次方程,因此这部分内容又是前面的延续。在能力方面, 初三学生,有较强的概括能力和抽象思维能力;在情感方面,求知的欲望强烈, 喜欢探求真理,具有积极的情感态度。

二、教学目标
鉴于这些特点, 并结合课程标准的要求以及对学生的分析, 拟定如下的教学目标:

1. 知识与技能目标: ( 1 )理解二次函数 y=ax? + bx + c 与 x 轴有交点,则一元二次方程 ax? + bx + c = 0 有实数根,若与 x 轴无交点,则方程无实数根; ( 2 ) 知道抛物线与 x 轴三种位置关系, 对应着一元二次方程的根的三种情况; ( 3 )理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化; ( 4 )会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 2. 过程与方法: ( 1 )通过对一元二次方程根的不同情况下,学生历经从函数解析式及函数图 象角度探索与一元二次方程之间的关系,渗透了数形结合及转化的思想方法。通 过这节课的学习,展现知识的形成过程,体验探究,类比等数学学习基本方法。 ( 2 )能根据图象求一元二次方程的根。也能通过一元二次方程根的情况对其 对应的二次函数的图象与 x 轴的交点情况作出判断。 3. 情感态度与价值观目标 由实际问题引入,激发学生应用数学的意识,通过师生交流、生生交流,学生养 成了乐于探究、 勇于探索的良好学习习惯,同时学生从中也感受了合作成功带来 的喜悦。

三、教学重点和难点
教学重点:如何让学生理解一元二次方程与二次函数之间的关系。 教学难点: 让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化及理解用图形 法能求方程解的合理性。

四、过程分析
教学方法:启发探究式教学方法 教学手段:多媒体辅助课堂教学 1. 复习思考与观察,创设问题情境,启动学生思维 问题 1 : (1) 如何求一次函数 y=x-3 的图像与 x 轴的交点坐标

预设学生做法: 法一:学生直接作图,通过图像得到:

法二:通过一元一次方程计算, 设 y=0, 得 x-3=0. 解得 x=3 。所以图像与 x 轴的交点坐标是( 3 , 0 )。 老师适时提问: 一元一次方程的根的几何含义是什么呢?引导学生回顾用函数 观点看一元一次方程内容。 ( 2 )如何求二次函数 y=x2-2x-3 的图像与 x 轴的交点坐标呢?

预设学生做法: 方法一:学生亦会画出并观察抛物线与坐标轴的交点情况得到两个交点坐标。 方法二:设 y=0, 得到一个一元二次方程 x2-2x-3=0 ,解得 x1=3 , x2=-1, 所 以与 x 轴的交点坐标是( 3 , 0 ),( -1 , 0) 。 ( 3 )我们知道, 一元一次方程的根就是对应一次函数的图象与 x 轴交点的 横坐标,反之也成立。通过这个例题的解答我们能得到什么信息? 预设答案:一元二次方程的根就是二次函数的图像与 x 轴的交点的横坐标,反 之也成立。

设计意图:初三学生,已经学习过一次函数与一次方程的关系,对函数与方程之 间的联系已经有了一定的感觉。通过回顾一次函数图象与 轴交点坐标与一次 方程根的关系,运用类比思想,思考得到二次函数的图像与 x 轴的交点坐标与 一元二次方程根之间相同的关系。 引导学生分析一元二次方程的根的情况与二次 函数的图像进行比较,注重学生分析问题时数形结合思想的培养。第( 3 )个 问题引导学生类比总结得出一元二次方程的根的几何意义,即抛物线与 x 轴的 公共点的横坐标,培养学生由特殊到一般的总结概括能力。 2. 继续探究,类比抽象 问题 2 : 下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗 ? 若有 , 请求出交点坐标。 当 x 取公共 点的横坐标时,函数值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗?

设计意图:紧接问题 1 ,在学生已经知道二次方程的根的几何意义的情况下, 通过 3 道典型练习列举出一元二次方程的根的三种情况:即有两个不等的实数 根; 有两个相等的实数根; 和没有实数根。 并且引导学生分别作出对应函数图象, 观察体会二次函数的图象与 x 轴交点坐标与对应一元二次方程的根的情况,以 让学生总结概括相应结论。 3. 归纳总结,得出结论 问题 3 : 你能得到一元二次方程 的根和二次函数 的图象 x 轴交点的横坐标与的关系吗?请完成下表。

设计意图:引导学生对问题 2 进行归纳总结,把一元二次方程的根与二次函数 的图象和 轴交点的横坐标的三种关系明确表达出来。培养了学生由特殊到一 般的归纳总结和概括能力。 通过最后列表得出的结论,通过代数方程与几何图像 的对比,加深了学生对转化及数形结合数学思想方法的理解。 4. 延伸拓展,能力提升 问题 4 : ( 1 ) 将问题 2 例题中的第一个方程进行变形:

思考: x2+x-2=0 与 x2 +x=2 有相同的根 -2 和 1 ,请在同一直角坐标系中画 出函数 y=x2+x 与 y=2 图象,那么你能从这个图像中解释 -2 和 1 的几何含义 吗? ( 2 )将问题 2 例题中的第一个方程进一步变形: ,

再结合同一直角坐标系下函数 y=x2 和 y=2-x 的图像,你又能得出什么结论呢?

预设结论:函数 -x+2 的解。

的图像的交点的横坐标既是方程 x ? =

(3) 通过对以上两个问题的探究学习, 类比求两条直线交点坐标与解二元一次方 程组问题,你又能得到什么一般性的结论呢?

设计意图:( 1 )通过两种不同方程表现形式的对比,以及两种不同形式方程 的相互转化,体现了转化的数学思想。发现方程变形后,根没有发生变化,并引 导学生用图形的方法求方程的近似解,允许学生判断出其准确根,也在参与学生 的小组活动时,说明近似根也是合理的,毕竟作图有误差,并通过画图比较后面 的两种变形,在画图象求解时难易程度是有区别的,向学生渗透优化的意识。 ( 2 )在对该问题的探究过程中,运用了转化,类比等数学方法,不仅使学生 初步认识到曲线的交点问题与该两条曲线对应方程的根的情况之间相互转化的 数学方法,又渗透了一些曲线程的高中知识,为高中学习解析几何做了铺垫。 5. 随堂练习,应用辨析,巩固知识

问题 5 : ( 1 )不与 x 轴相交的抛物线是 ( )

( 2 )以 40 m /s 的速度将小球沿与地面成 30 度角的方向击出时 , 球的飞 行路线是一条抛物线 , 如果不考虑空气阻力 , 球的飞行高度 y ( 单位 :m) 与飞行时间 x( 单位 :s) 之间具有关系: ① 球的飞行高度能否达到 15 m? 若能 , 需要多少时间 ? ② 球的飞行高度能否达到 20 m? 若能 , 需要多少时间 ? ③ 球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能 , 需要多少时间 ? ④ 球从飞出到落地要用多少时间 ? ( 3 )利用函数图像求方程 的近似实数根。(精确到 0.1 )

设计意图 : ( 1 ) 题是加深二次方程的根的几何意义,即抛物线与 x 轴的公 共点的横坐标结论的理解。( 2 )题为应用题,数学源于实践,又应用于实践, 让学生学会用数学知识解决实际问题,另外也是对本节课结论的再落实。 ( 3 ) 题为利用二次函数的图像求一元二次方程的根,由于作图或观察可能存在误差, 有图像求得的根,一般是近似的。另外,引导学生如何利用附值法去探求逼近所 需答案, 提前体验高中阶段使用“二分法”求方程根的数学方法,此题看似与本 节课关联不大, 但正是此题深刻描述了由动到静的函数思想,是本节课的点睛之 题, 另外通过“二分法”的学习可以让学生了解算法这一数学思想以及逐渐逼近 的数学思想 , 培养学生数形结合的数学能力。引导学生分组讨论,合作交流, 进行“再深化”, 体现了数学新课标所倡导的积极主动,勇于探索的学习方式的 课程理念。 让学生在自主探索、自由想象和充分交流的过程中,不断完善自己 的认知结构,充分感受成功与失败的情感体验。 6. 师生共同小结 , 完成概括提升

设计意图: 通过解法流程图的演示,让学生再一次体会二次函数与一元二次方程 之间的关系, 让学生从函数的解析式及图象上掌握与方程的关系,期望学生通过 本节课的学习, 能对一元二次方程给予更深的认识, 并能用图像法求的方程的根。 7. 布置课后作业 , 巩固延伸铺垫 (1) 课本第 19 页练习第 1 、 2 题; 第 20 页练习第 3 、 4 、 5 、 6 题. (2) 思考题:请借助一元二次函数图象直接求满足下列不等式 x 的范围:

设计意图:课后作业的设计既有巩固性练习、拓展性练习,也有探索性练习,另 外补充了思考题, 这种递进式分层作业可以满足不同学生的多样化学习需求,使 他们得到最全面的发展。


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