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2010-2011年度第一学期《概率论与数理统计A》期末试题(A)


西南交通大学 2010-2011 学年第(一)学期考试试卷
课程代码 2100031 课程名称《概率论与数理统计 A 》 (A 卷)考试时间 120 分钟
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题号





















总成绩

得分





阅卷教师签字
考生注意:1.请将班级、学号、姓名填写清楚;2.所有题目的答案写在后面。

一.是非题(对的打√错的打 ? ,每题 2 分,共 10 分)
1.随机事件 A, B 都发生,可以表示为 AB ; 密封装订线 2.若随机事件 A, B, C 相互独立,则 A, B, C 两两独立; 3.设函数 F ( x ) ?
1 1 ? x2 ( ?? ? x ? ?? ) 可以作为随机变量 X 的分布函数;

( ( (

) ) ) ) )



4.设随机变量 X ~ N ( ? , ? 2 ) ,则随着 ? 的增大,概率 P( X ? ? ? k? ) 而增大; ( 5.设事件 A, B 是两个随机变量,且 P ( A) ? 0.7 , P ( A ? B) ? 0.2 ,则 P( AB) ? 0.6 .(



二.选择题(每题 3 分,共 24 分)
1.设随机变量 X 的概率分布表如右图,则数学期望 E ( X ) =(
X

); -1 0.3 0 1

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(A) -1 (C) 2

( B) 1 (D) 0

p( xi )

0.4 0.3

2.设 F1 ( x), F2 ( x) 分别是随机变量 X 1 , X 2 的分布函数, F ( x) ? aF1 ( x) ? bF2 ( x) ,要使 F ( x ) 也是 分布函数 ,则有( (A)
a? 2 1 ,b ? 3 3



);
2 3 ( B) a ? ? , b ? 5 5 2 1 (D) a ? ? , b ? ? 3 3



(C)

a?

3 2 ,b ? ? 5 5

3.设随机变量 X1 ? B(4,0.5), X 2 ? U (2,4) 若随机变量 Y ? X1 ? X 2 ,则数学期望 E (Y ) ? ( (A) 1 (B)-1 (C)-2 (D)2 ) ;

) ;

4.已知 DX ? 4 , DY ? 9 ,且 X 与 Y 的相关系数 R( X , Y ) ? 0.3 ,则 D( X ? Y ) ? ( (A) 16.6 (B) 9 (C) 9.4 (D) 13

5.设 X 和 S 2 分别为来自正态总体 N (0,? 2 ) 的样本均值和样本方差,样本容量为 n ,则 从

S2 服 n( X )2

分布; (A) ? 2 (1) (B) t (1) (C) F (1, n ? 1) (D) F ( n ? 1,1) 6.已知 X ~ p(2) ,且 Y ? 3 X ? 1 ,利用切比雪夫不等式估计 P (0 ? Y ? 10) ( ); 7 18 7 18 (A) ? ( B) ? (C) ? (D) ? 25 25 25 25 7. 设随机变量 X 与 Y 独立且同分布, 具有方差 ? 2 ? 0 , 则随机变量 U ? X ? Y 和 V ? X ? Y ( ). (A)独立 (B)不相关 (C)不独立

(D)相关 1 8.设 X ? N ( ? , ? 2 ) ,且 y 2 ? 4 y ? X ? 0 二次方程无实根的概率为 ,则 ? ? ( 2 (A)4 (B)-4 (C)2 (D)-2

) ;

三.填空题(每空 3 分,共 24 分)
1.设 A, B, C 是三个事件,且 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.25 , P ( AB) ? P ( BC ) ? 0 , P ( AC ) ? 0.125 , 则 A, B, C 至少有一个发生的概率为: (1) ; (2) ;

?ax 0 ? x ? 2 2.设随机事件 X 的概率密度为 f ( x ) ? ? ,则常数 a ? 其他 ?0 数学期望 E ( X ) ? (3) ;方差 D( X ) ? (4) ;
1 3.设随机变量 X 与 Y 独立,且 X ? N (0,1), Y ? N (0, 22 ) ,则 X 2 ? Y 2 ? 2
2 1

(5)



4.如图所示,构成系统的四个电子元件的可靠性都为 p ,并且各个元件能否正常工作是相互
3
4

独立的,则系统的可靠性为 (6) ; 2 5.设总体 X ~ N ( ? , ? ) ,由它的一个容量为 9 的简单随机样本测得 x ? 10 , s 2 ? 1.96 ,则 ? 的 置信度为 0.95 的置信区间为 (7) ; ( t0 . 0 ( 8) ? 2 .) 31 25

6.设随机变量 X , Y 相互独立,且 X ? N (1, 2),Y ? N (0,1), 则随机变量 Z ? X ? 2Y ? 3 的概率密度

f Z ( z) 为

(8)

.

四、计算题(1-3 小题各 10 分,4 小题 12 分,共计 42 分)

1. 已知在正常生产情况下某汽车零件的质量服从正态分布 N (54,0.752 ). 在某日生产的零件中抽取 10 件,测得质量如下:54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 如果标

准差不变,该日生产的汽车零件的质量的均值是否有显著差异?(取显著水平 ? ? 0.05 , u0.025 =1.96 )

1 ?? 2.设总体 X 的概率密度为 f ( x;? ) ? e , ? ? ? x ? ??, ,其中 参数 ? ? 0 ,如果取得样本观 2?
测值为 x 1 , x 2 ,..., x n ,求:参数 ? 的矩估计值与最大似然估计值. 3.在电源电压不超过 200V 、 200 ? 240V 、超过 240V 三种情况下,某电子元件损坏的概率分别 为 0.1, 0.01, 0.2 。假设电源电压 X ? N (220, 252 ) .求电子元件损坏的概率. (注: ?(0.8) ? 0.7881 )

x

? 1 , 0 ? x ? 1,0 ? y ? 2 x 4.已知二维连续型随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) ? ? , ? 0 , 其他
求:(1) 求 ( X , Y ) 的边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ); (2) 求 Z ? 2 X ? Y 的概率密度 f Z ( z ) .

一.是非题答案填写处(每题 2 分,共 10 分) 1.
; 2. ; 3. ; 4. ;5.

.

二.选择题答案填写处(每题 3 分,共 24 分) 1. 6.
; 2. ; 3. ; 4. ;5. ;

; 7.

; 8.

.

三.填空题答案填写处(每空 3 分,共 24 分)
(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;

(5)

; (6)

; (7)

; (8)

.

《概率论与数理统计 A》参考答案及评分标准
一.是非题答案填写处(每题 2 分,共 10 分) 1 √ 2 √ 3

?
3 B

4

?

5

?
5 D 6 C 7B 8A

二.选择题答案填写处(每题 3 分,共 24 分) 1 D 2
C

4 A

三.填空题答案填写处(每空 3 分,共 24 分)
(1)
5 8

(2)

1 2

(3)

4 3

(4)
? ( z ? 4)2 12

2 9

(5) ? 2 (2)

(6) p2 [1 ? (1 ? p)2 ]

(7)(8.922,11.078) (8)

1 12?

e

四、计算题(1-3 小题各 10 分,4 小题 12 分,共计 42 分) 1、解:由已给数据计算得 x ? 54.46 …………….1 分
设 H0 : ? ? 54 取统计量 ?=

H1 : ? ? 54 …………….2 分
X ? ?0

?0

?

n

54.46 ? 54 ? 1.94 ? ?0.025 ? 1.96 …………….8 分 0.75 10

在拒绝域外,所以接收原假设,故可以认为该日生产的零件的平均质量与正常生产时无显著差 异…………….10 分.

2、解: (1)由? 1 ( X ) ? E( X ) 知:…………….2 分
EX ? ?
?? ??

xf ( x )dx ? ?

??

??

x

1 ?? e dx ? 0 …………….3 分 2?

x

由? 2 ( X ) ? E( X 2 ) 知:
E( X 2 ) ? ?
?? ??

x 2 f ( x )dx ? ?

??

??

x2

1 ?? 1 n e dx ? ? xi2 …………….4 分 2? n i ?1

x

?? 所以,矩估计值是 ?

1 n 2 ? x .…………….5 分 2n i ?1 i
n

(2)似然函数 L(? ) ? ?
i ?1

1 ? ?i ? 1 ? ? i ?? e ?? …………….2 分 ? e 2? ? 2? ?

x

n

? xi

n

取自然对数 ln L(? ) ? ? n ln(2? ) ?

?x
i ?1

n

i

?

,求导

d ln L(? ) ? 0 …………….4 分 d?

n ??1 则最大似然估计值为 ? ? x …………….5 分 n i? i

3、解:设 A1 , A2 , A3 分别表示电源电压“不超过 200V ” 、 “ 200 ? 240V ” 、 “超过 240V ”.
B 表示“元件损坏” ,由于 X ? N (220, 252 ) ,所以…………….1 分

? X ? 220 200 ? 220 ? ? X ? 220 ? P ( A1 ) ? P{ X ? 200} ? P ? ? ? ?0.8? ?? P? 25 ? 25 ? ? 25 ? ? ?( ?0.8) ? 1 ? ?(0.8) ? 0.212
? 200 ? 240 X ? 220 240 ? 220 ? P ( A2 ) ? P{200 ? X ? 240} ? P ? ? ? ? 25 25 25 ? ? X ? 220 ? ? ? P ? ?0.8 ? ? 0.8 ? ? 2?(0.8) ? 1 ? 0.576 25 ? ?

P( A3 ) ? P( X ? 240) ? 1 ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? 0.212 ……………………………...4 分

又 P( B | A1 ) ? 0.1

P( B | A2 ) ? 0.001
3

P( B | A3 ) ? 0.2 ……………………………...5 分

所以,由全概率公式得 P ( B ) ? ? P ( Ai )P ( B | Ai ) ? 0.069332 …………………………10 分
i ?1

4、解: (1) f X ( x ) ? ? ??
?? 2x ? ? ?0 1dy , 0 ? x ? 1 ? 2 x , 0 ? x ? 1 ………….4 分 f ( x, y )dy ? ? ?? 0 , 其他 ? ? 0 , 其他 ?

fY ( y ) ? ?

??

??

y ? 1 1dx , 0 ? y ? 2 ? ?? y ?1 ? ,0 ? y ? 2 ….8 分 f ( x , y )dy ? ? 2 ?? 2 ? ? , 其他 ? 0 , 其他 ?0

(2) Z ? 2 X ? Y 的非零区间为 [0, 2].
令 FZ ( z )? P( Z ?
z )? P (2X ? Y ? ) z,

(1) 若 z ? 0 ,则 FZ ( z ) ? 0 ; (2) 若 z ? 2 ,则 FZ ( z ) ? 1 ; (3) 若 0 ? Z ? 2 ,则 FZ ( z ) ?

2 x ? y? z

??

1 z 1 f ( x, y )dxdy ? 1 ? (1 ? )(2 ? z ) ? z ? z 2 2 2 4

1 ? dFZ ( z ) ?1 ? z , 所以, f Z ( z ) ? ?? 2 dz ? ? 0,

0? z?2 其他

z?0 ?0 ? 1 2 即 FZ ( z ) ? ? ?z ? z 0 ? z ? 2 4 ? 1 z?2 ? ?

…………………………………………………….12 分


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