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2016-2017高三半期复习数学试题(理科)


2016-2017 高三半期复习数学试题
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1 .若复数 z 满足错误!未找到引用源。 (3 ? 4i) z ?| 4 ? 3i | ,则 z 的虚部为 ( D ) 4 4 A.-4 B.- C.4 D. 5 5 2. 已知集合 A={x|y= x ? x ) ,B= {x| y=ln(1-x)},则 A U B=C

/>2

A [0,1] B [0,1) C (一∞,1] D (一∞,1) 3.给出下列4个命题,其中错误的是 ( C ) A.若“命题 p ? q 为真” ,则“命题 p ? q 为真” ; B.②命题“ ?x >0, x ? ln x >0”的否定是 “ ?x ? 0, x ? ln x ? 0 ” ; C.已知命题p:函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π D D.函数y=x3+sinx的图像关于原点中心对称 4. 已知 f ? x ? 在 R 上是奇函数,且满足 f ? x ? 4? ? f ? x ? , 当 x ? ? 0,2? 时, f ? x ? ? 2x2 ,则 f ? 7? ? A. 2 B. ?2 C. ?98 D. 98 B

N

C M

??? ? ???? ? ??? ? 5.如图,正方形 ABCD 中,M\N 是 BC 的中点,若 AC ? ? AM ? ? BN , 则 ? ? ? ? ( D ) 8 6 8 A. 2 B. C. D. 3 5 5 ? 2 ? (0 ? ? ? ) 的图象的一个对称 6. 已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x sin ? ? 2 cos 2 x sin 2 2 ? 中心为( ,0) ,则下列说法不正确的是 ( B ) 6 5 ? 是函数 f ( x) 的图象的一条对称轴 A.直线 x ? 12 ? B .函数 f ( x ) 的图象向右平移 个单位可得到 y ? cos 2 x 的图象] 6 ? ? C. 函数 f ( x ) 在 x ? [0, ] 上的最小值为-1 D.函数 f ( x ) 在 [ 0, ] 上单调递减 6 2 81 7.若等比数列的各项均为正数,前 4 项的和为 9,积为 ,则前 4 项倒数的和为 D 4 3 9 (A) (B) (C)1 (D)2 2 4 7 8. ?ABC 的三内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 cos A ? , c ? a ? 2, b ? 3, 则 a 等于 A 8 5 7 A.2 B. C .3 D. 2 2 9.已知 ?ABC 的三个顶点 A , B , C 的坐标分别为 ? 0,1? , 2, 0 , ? 0, ?2 ? ,O 为坐标

A

B

?

?

1

原点,动点 P 满足 CP ? 1 ,则 OA ? OB ? OP 的最小值是 (A) 3 ? 1 (B) 11 ? 1 (C ) 3 ? 1

uur

uur

uu u r uu u r

A (D) 11 ? 1

10. 已知等差数列 ?a n ?的等差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a13 成等比数列,若 a1 ? 1 , S n 为数列 ?a n ?的

前 n 项和,则

2 S n ? 16 的最小值为(A an ? 3



A. 4 B. 3 C. 2 3 ? 2 D.5 11. 已知点 P 在直线 x+3y-2=0 上, 点 Q 在直线 x+3y+6=0 上, 线段 PQ 的中点为 M(x0, y0), 且 y0<x0
+2,则

y0 的取值范围是 D x0
(B)(一

1 1 1 ,0)(C)(一 ,+∞) (D)(一∞,一 ) U (0,+∞) 3 3 3 ? 12.已知函数 f(x)的定义域为 D,若对于 a,b,c∈D, .f(a),f (b),f(c)分别为某个三角形的三边
(A)[一 长,则称 f(x)为“三角形函数” .给出‘F 列四个函数:
1

1 ,0) 3

①f(x)f=lnx(x>1),②f(x)=4+sinx,③f(x)= x 3 (1≤x≤8),④f(x)= 其中为“三角形函数”的个数是 A.1 B.2 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. B C.3

2x ? 2 , 2x ? 1
D. 4

?

2

0

16 ? x 2 dx =

;13. 4

?
3

?2 3

14. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ?1 ? x ? 若数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 ,且 an ?1 ? ,则 f ? ?a2016 ? ? 2 1 ? an

2

15. 若函数 y1 ? sin 2 x1 ? 最小值为

3 2 2 x1 ? ?0, ? ?? ,函数 y2 ? x2 ? 3 ,则 ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? 的 ? 2

?? ? 18?
72

2

3 ? ? ?1? 16.若数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足, bn?1an ? bn an?1 ? ? ?1? ? 1, bn ? , n ? N ? ,且 2 . 16.527. a1 ? 2 ,设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S61 ?
n ?1 n

三.解答题: 17.(本小题满分 12 分)命题 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0;命题 q:实数 x 满足 x2 -x-6≤0 或 x2+2x-8>0.若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围.
2

17【解】 由 x2-4ax+3a2<0,且 a<0.得 3a<x<a. ∴记 p:对应集合 A={x|3a<x<a,a<0}. 又记 B={x|x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0} ={x|x<-4 或 x≥-2}. ∵ ? p 是 ? q 的必要不充分条件,∴q 是 p 的必要不充分条件. 因此 A ? B. 2 ∴a≤-4 或 3a≥-2(a<0),解之得- ≤a<0 或 a≤-4. 3

18.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 (2a ? c)cos B ? b cos C . (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? 3 , ?ABC 的面积为

??? ? ??? ? 3 3 ,求 BA ? AC 的值. 2

18.(1)∵ (2a ? c)cos B ? b cos C ,由正弦定理得: (2sin A ? sin C )cos B ? sin B cos C , ∴ 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? sin( B ? C ) ? sin A ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 ∴ 2cos B ? 1 , cos B ?

1 2

又0 ? B ?? ∴c ? 2,

∴B ?

?
3



(2)∵ a ? 3 , ?ABC 的面积为

1 ? 3 3 3 3 ,∴ ? 3c sin ? 2 3 2 2

b 2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos

?
3

? 7 ,即 b ? 7 , cos A ?

22 ? ( 7)2 ? 32 7 , ? 14 2? 2? 7

∴ BA ? AC ? bc cos(? ? A) ? 2 ? 7 ? (?

??? ? ??? ?

7 ) ? ?1 . 14

19. 已知单调递增的等比数列 {an} 满足:a2 ? a3 ? a4 ? 28 , 且 a3 ? 2 是 a2 ,a4 的等差中项. (1) 求数列 {an} 的通项公式;

3

( 2) 若 bn ?an o 求 sn ? n ? 2n?1 ?5 lg a sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 0 0 ? 成立的正整数 n 的最小值. 2n , 19 : ( 1 )设等比数列 {an} 的首项为 a1 ,公比为 q ,依题意有: 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,代入

a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,得 a3 ? 8

?a ? 32 ? a1q ? a1q 3 ? 20 ? a1 ? 2 ? 1 ? ∴? 解之得 ? 或? 1 又∵ {an} 单调 2 ? ? q ? 2 ?q ? ? a3 ? a1q ? 8 ? 2

递增,∴ a1 ? 2 , q ? 2 ,∴ an ? 2n . (2) bn ? 2n log2 2n ? n ? 2n ,∴ sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n ?① ∴ 2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ?② ②-①得: sn ? n ? 2
n?1

? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ?

2(2n ? 1) ? ?2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2 2 ?1

由 sn ? n ? 2n?1 ? 50 ? 0 得 ?2n?1 ? 52 ? 0 ,∴ 2n?1 ? 52 . 又当 n ? 4 时, 2
n?1

? 25 ? 32 ? 52 ,当 n ? 5 时, 2n?1 ? 26 ? 64 ? 52

20.已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn (n ? N * ) ,且满足 an ? Sn ? 2n ? 1 . (1)求证:数列 {an ? 2} 是等比数列,并求数列 {an} 的通项公式; (2)求证:

1 1 1 1 ? 2 ??? n ? . 2a1a2 2 a2a3 2 an an?1 3
3 . 2

19: (1)∵ an ? Sn ? 2n ? 1 ,令 n ? 1 ,得 2a1 ? 3 , a1 ?

∵ an ? Sn ? 2n ? 1 ,∴ an?1 ? Sn?1 ? 2(n ? 1) ? 1, (n ? 2, n ? N * ) 两式相减,得 2an ? an?1 ? 2 ,整理 an ?

1 an?1 ? 1 2

an ? 2 ?

1 (an?1 ? 2) , (n ? 2) 2 1 1 ,公比为 的等比数列 2 2

∴数列 {an ? 2} 是首项为 a1 ? 2 ? ?

4

n ∴ an ? 2 ? ?( ) ,∴ an ? 2 ?

1 2

1 . 2n

1 (2)∵ n ? 2 an an?1


1 2n?1 1 1 ? n?1 ? n?1 ? n?2 n ?1 n? 2 n?2 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1 2n ? ? n?1 2n 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?( 2 ? 3 )?( 3 ? 4 ) ? ? ? ( n?1 ? n?2 ) ? 2 ??? n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2a1a2 2 a2a3 2 an an?1

1 1 1 ? ? n?2 ? . 3 2 ?1 3
21.(本小题满分 12 分) 一艘轮船在航行过程中的燃料费与它的速度的立方成正比例关系,其 他与速度无关的费用每小时 96 元,已知在速度为每小时 10 公里时,每小时的燃料费是 6 元,要使行驶 1 公里所需的费用总和最小,这艘轮船的速度应确定为每小时多少公里? 21.解:设轮船的速度为 x 千米/小时(x>0) ,????1 分 则航行 1 公里的时间为 t ?

1 小时。 x

依题意,设与速度有关的每小时燃料费用为 p ? kx3 ,????2 分

则 6 ? k ?10 3 ? k ?

3 3 3 ,? p ? x , ????????4 分 500 500 3 3 1 3 16000 故每公里航行费用为 y ? (96 ? p)t ? (96 ? x ) ? ( ? x 2 ), ??6 分 500 x 500 x
3 8000 ( x ? 2 ), 且0 ? x ? 20时, y ? ? 0; x ? 20时, y ? ? 0. ?????9 分 250 x . 由y ? ? 0 ? x ? 20, ? y? ?

x y?
y

(0,20 ) — 单调递减

20 0 极小值

?20,???
+

单调递增

? x ? 20时, y达到最小值

3 16000 36 ( ? 20 2 ) ? 元 ????????11 分 500 20 5

答:轮船的速度应定为每小时 20 公里,行驶 1 公里所需的费用总和最小。??12 分 22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx 。 (1)证明: f ( x) 在 (??,0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (2)若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 ,求 m 的取值范围。

5

6

2016-2017 高三半期复习数学试题(2) 一、选择题 DCCBDB DAAADB

? 2 3 ; 14,2; ; 16,527. 72 ??? ? ???? ? ??? ? 5【答案】D【解析】∵ AC ? ? AM ? ? BN ??? ? 1 ???? ???? 1 ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ? ? ( AB ? BM ) ? ? ( BC ? CN ) ? ? ( AB ? AD) ? ? ( AD ? AB ) 2 2 ??? ? ???? 1 1 ? (? ? ? ) AB ? ( ? ? ? ) AD , 2 2 6 1 ? ? 8 ?? ? 5 ?? ? 2 ? ? 1 ∴? , 解得 ? ,? ? ? ? . 1 2 5 ? ? ? ? ?1 ?? ? ?2 5 ?
二、填空题:13. 4

?

3

?? ? 18? 15,

2

3 y ? cos( x ? 6【解析】 y ? cos x ??????

向右? 个单位

?
3

所有点的纵坐标不变

)

? 横坐标变为原来的一半 ??????? ? y ? cos(2 x ? ) . 纵坐标不变 3 ? ? ∴ f ( x) ? cos(2 x ? ) .对称轴方程为 2 x ? ? k? , k ? Z , 3 3 1 ? 即 x ? k? ? , k ? Z ,故选 A. 2 6
15.

17【解】 由 x2-4ax+3a2<0,且 a<0.得 3a<x<a. ∴记 p:对应集合 A={x|3a<x<a,a<0}. 又记 B={x|x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0}={x|x<-4 或 x≥-2}. ∵ ? p 是 ? q 的必要不充分条件,∴q 是 p 的必要不充分条件.因此 A ? B. 2 ∴a≤-4 或 3a≥-2(a<0),解之得- ≤a<0 或 a≤-4. 3
7

18.(1)∵ (2a ? c)cos B ? b cos C ,由正弦定理得: (2sin A ? sin C )cos B ? sin B cos C , ∴ 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? sin( B ? C ) ? sin A ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 ∴ 2cos B ? 1 , cos B ?

1 2

又0 ? B ?? ∴c ? 2,

∴B ?

?
3



(2)∵ a ? 3 , ?ABC 的面积为

1 ? 3 3 3 3 ,∴ ? 3c sin ? 2 3 2 2

b 2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos

?
3

? 7 ,即 b ? 7 , cos A ?

22 ? ( 7)2 ? 32 7 , ? 14 2? 2? 7

∴ BA ? AC ? bc cos(? ? A) ? 2 ? 7 ? (?

??? ? ??? ?

7 ) ? ?1 . 14

19 : ( 1 )设等比数列 {an} 的首项为 a1 ,公比为 q ,依题意有: 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,代入

a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,得 a3 ? 8

?a ? 32 3 ? ? a1 ? 2 ? 1 ? a1q ? a1q ? 20 ∴? 解之得 ? 或? 1 又∵ {an} 单调 2 ? ? q ? 2 ?q ? ? a3 ? a1q ? 8 ? 2

递增,∴ a1 ? 2 , q ? 2 ,∴ an ? 2n . (2) bn ? 2n log2 2n ? n ? 2n ,∴ sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n ?① ∴ 2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ?② ②-①得: sn ? n ? 2
n?1

? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ?
n?1

2(2n ? 1) ? ?2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2 2 ?1

由 sn ? n ? 2n?1 ? 50 ? 0 得 ?2n?1 ? 52 ? 0 ,∴ 2 又当 n ? 4 时, 2
n?1

? 52 .

? 25 ? 32 ? 52 ,当 n ? 5 时, 2n?1 ? 26 ? 64 ? 52

20: (1)∵ an ? Sn ? 2n ? 1 ,令 n ? 1 ,得 2a1 ? 3 , a1 ?

3 . 2
*

∵ an ? Sn ? 2n ? 1 ,∴ an?1 ? Sn?1 ? 2(n ? 1) ? 1, (n ? 2, n ? N )

8

1 1 an?1 ? 1 an ? 2 ? (an?1 ? 2) , (n ? 2) 2 2 1 1 ∴数列 {an ? 2} 是首项为 a1 ? 2 ? ? ,公比为 的等比数列 2 2 1 1 n ∴ an ? 2 ? ?( ) ,∴ an ? 2 ? n . 2 2
两式相减,得 2an ? an?1 ? 2 ,整理 an ? (2)∵

1 ? n 2 an an?1

1 2n?1 1 1 ? ? n?1 ? n?2 n ?1 n? 2 n?1 n?2 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1 2n ? ? n?1 2n 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?( 2 ? 3 )?( 3 ? 4 ) ? ? ? ( n?1 ? n?2 ) ? 2 ??? n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2a1a2 2 a2a3 2 an an?1

1 1 1 ? ? n?2 ? . 3 2 ?1 3
21.解:设轮船的速度为 x 千米/小时(x>0) ,????1 分 则航行 1 公里的时间为 t ?

1 小时。 x

依题意,设与速度有关的每小时燃料费用为 p ? kx3 ,????2 分

则 6 ? k ?10 3 ? k ?

3 3 3 ,? p ? x , ????????4 分 500 500 3 3 1 3 16000 故每公里航行费用为 y ? (96 ? p)t ? (96 ? x ) ? ( ? x 2 ), ??6 分 500 x 500 x
3 8000 ( x ? 2 ), 且0 ? x ? 20时, y ? ? 0; x ? 20时, y ? ? 0. ?????9 分 250 x . 由y ? ? 0 ? x ? 20, ? y? ?

x y?
y

(0,20 ) — 单调递减

20 0 极小值

?20,???
+

单调递增

? x ? 20时, y达到最小值

3 16000 36 ( ? 20 2 ) ? 元 ????????11 分 500 20 5

答:轮船的速度应定为每小时 20 公里,行驶 1 公里所需的费用总和最小。??12 分 22

9

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