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成才之路·人教A版数学选修2-3 2.2.3


选修 2-3

第二章

2.2

2.2.3

一、选择题 1.任意抛掷三枚均匀硬币,恰有 2 枚正面朝上的概率为( 3 A. 4 1 C. 3 [答案] B 1 [解析] 抛一枚硬币,正面朝上的概率为 ,则抛三枚硬币,恰有 2 枚朝上的概率为 P 2 3 B. 8 1 D. 4 )

r />?1?2 1 3 =C2 3 2 × = . ? ? 2 8
2.在 4 次独立重复试验中,事件 A 发生的概率相同,若事件 A 至少发生 1 次的概率为 65 ,则事件 A 在 1 次试验中发生的概率为( 81 1 A. 3 5 C. 6 [答案] A
0 4 65 [解析] 事件 A 在一次试验中发生的概率为 p,由题意得 1-C0 4p (1-p) = ,所以 1 81

) 2 B. 5 3 D. 4

2 1 -p= ,p= ,故答案选 A. 3 3 3.(2013· 河南安阳中学高二期中)若 X~B(10,0.8),则 P(X=8)等于(
8 2 A.C8 10×0.8 ×0.2 2 8 B.C8 10×0.8 ×0.2

)

C.0.88×0.22 [答案] A

D.0.82×0.28

k 10 k 8 [解析] ∵X~B(10,0.8),∴P(X=k)=Ck ,∴P(X=8)=C8 0.22,故 100.8 (1-0.8) 100.8 ·


选 A. 4 4.某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概 5 率是( ) 96 B. 625 256 D. 625

16 A. 625 192 C. 625

[答案] B

?4?2?1?2= 96 . [解析] P=C2 4 5 ? ? ?5? 625
3 1 5.某电子管正品率为 ,次品率为 ,现对该批电子管进行测试,设第 ξ 次首次测到正 4 4 品,则 P(ξ=3)=( )

?1?2 3 A.C2 3 4 × ? ? 4
1?2 3 C.? ?4? ×4 [答案] C

?3?2 1 B.C2 3 4 × ? ? 4
3?2 1 D.? ?4? ×4

6.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的 概率,则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是( A.[0.4,1) C.[0.6,1) [答案] A [解析] 由条件知 P(ξ=1)≤P(ξ=2),
3 2 2 2 ∴C1 4p(1-p) ≤C4p (1-p) ,

)

B.(0,0.4] D.(0,0.6]

∴2(1-p)≤3p,∴p≥0.4,又 0≤p<1,∴0.4≤p<1. 二、填空题 7.下列例子中随机变量 ξ 服从二项分布的有________. ①随机变量 ξ 表示重复抛掷一枚骰子 n 次中出现点数是 3 的倍数的次数; ②某射手击中目标的概率为 0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数 ξ; ③有一批产品共有 N 件,其中 M 件为次品,采用有放回抽取方法,ξ 表示 n 次抽取中 出现次品的件数(M<N); ④有一批产品共有 N 件,其中 M 件为次品,采用不放回抽取方法,ξ 表示 n 次抽取中 出现次品的件数. [答案] ①③ 1 [解析] 对于①,设事件 A 为“抛掷一枚骰子出现的点数是 3 的倍数”,P(A)= .而在 3

?1? n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生了 k 次(k=0、1、2、??、n)的概率 P(ξ=k)=Ck n× 3 ? ?
k

2?n-k 1 ×? ?3? ,符合二项分布的定义,即有 ξ~B(n,3). 对于②,ξ 的取值是 1、2、3、??、P(ξ=k)=0.9×0.1k 1(k=1、2、3、??n),显然


不符合二项分布的定义,因此 ξ 不服从二项分布. ③和④的区别是:③是“有放回”抽取,而④是“无放回”抽取,显然④中 n 次试验是

M? 不独立的,因此 ξ 不服从二项分布,对于③有 ξ~B? ? n, N ? . 故应填①③. 8.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9,则服用这种新药的 4 个病人中至少 3 人被治愈的概率为________(用数字作答). [答案] 0.9477 [解析] C3 0.93· 0.1+(0.9)4=0.9477. 4· 1 9.如果 X~B(20,p),当 p= 且 P(X=k)取得最大值时,k=________. 2 [答案] 10 1 ?1?k ?1?20-k [解析] 当 p= 时,P(X=k)=Ck 20 2 ·2 ? ? ? ? 2 1?20 k =? C20,显然当 k=10 时,P(X=k)取得最大值. ?2? · 三、解答题 10.(2014· 西安市质检)某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯 1 是相互独立的,遇到红灯的概率都是 ,遇到红灯时停留的时间都是 2 分钟. 3 (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ξ 的分布列. [解析] (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯, 在第三个路口遇到红灯”, 所以事 件 A 的概率为 1 1 1 4 P(A)=(1- )×(1- )× = . 3 3 3 27 (2)由题意,可得 ξ 可以取的值为 0、2、4、6、8(单位:分钟), 事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯”(k=0、1、2、3、4), 1 k 2 4-k ∴P(ξ=2k)=Ck (k=0、1、2、3、4), 4( ) ( ) 3 3 ∴即 ξ 的分布列是 ξ P 0 16 81 2 32 81 4 8 27 6 8 81 8 1 81

一、选择题 11.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 4 次,且各次射击是否击中 目标相互之间没有影响.则他恰好击中目标 3 次的概率为( )

A.0.93×0.1
3 C.C3 4×0.9 ×0.1

B.0.93 D.1-0.13

[答案] C [解析] 由独立重复试验公式可知选 C. 12.位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方 1 向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是 .质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 2 ( ) 1 A.( )5 2 13 C.C3 5( ) 2 [答案] B [解析] 由于质点每次移动一个单位, 移动的方向向上或向右, 移动五次后位于点(2,3), 1312 3 1 5 2 1 5 所以质点 P 必须向右移动二次,向上移动三次,故其概率为 C3 5( ) ( ) =C5( ) =C5( ) . 2 2 2 2 13.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占 70%,乙厂占 30%,甲厂产品的合格率为 95%, 乙厂产品的合格率是 80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( A.0.665 C.0.24 [答案] A [解析] 设 A=“从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的”,B=“从市场上买到一个灯 泡是合格品”,则 A、B 相互独立,则事件 AB=“从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯 泡”. ∵P(A)=0.7,P(B)=0.95,∴P(AB)=P(A)· P(B)=0.7×0.95=0.665. 二、填空题 5 14.设随机变量 X~B(2,p),Y~B(4,p),若 P(X≥1)= ,则 P(Y≥2)的值为________. 9 [答案] 11 27 B.0.56 D.0.285 ) 15 B.C2 5( ) 2
3 1 5 D.C2 5C5( ) 2

4 1 0 2 [解析] 由条件知,P(X=0)=1-P(X≥1)= =C0 2P (1-P) ,∴P= , 9 3 ∴P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)
0 4 1 3 =1-C0 4P (1-P) -C4P(1-P)

16 32 11 =1- - = . 81 81 27 15. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同, 且在两次罚球中至多命中一次的概率

16 为 ,则该队员每次罚球的命中率为________. 25 [答案] 3 5

16 9 [解析] 设篮球运动员罚球的命中率为 P,则由条件得 P(ξ=2)=1- = , 25 25 9 3 ∴C2 P2= ,∴P= . 2· 25 5 三、解答题 16. (2014· 乌鲁木齐诊断)某公司招聘员工, 先由两位专家面试, 若两位专家都同意通过, 则视作通过初审予以录用;若这两位专家都未同意通过,则视作未通过初审不予录用;当这 两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录 用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为 0.5,复审能通过的概率为 0.3,各专家评 审的结果相互独立. (1)求某应聘人员被录用的概率; (2)若 4 人应聘,设 X 为被录用的人数,试求随机变量 X 的分布列. [解析] 设“两位专家都同意通过”为事件 A,“只有一位专家同意通过”为事件 B, “通过复审”为事件 C. (1)设“某应聘人员被录用”为事件 D,则 D=A+BC, 1 1 1 1 1 1 3 ∵P(A)= × = ,P(B)=2× ×(1- )= ,P(C)= , 2 2 4 2 2 2 10 2 ∴P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(B)P(C)= . 5 (2)根据题意,X=0,1,2,3,4, Ai 表示“应聘的 4 人中恰有 i 人被录用”(i=0,1,2,3,4), 3 4 81 ∵P(A0)=C0 , 4×( ) = 5 625 2 3 3 216 P(A1)=C1 , 4× ×( ) = 5 5 625 2 2 3 2 216 P(A2)=C2 , 4×( ) ×( ) = 5 5 625 2 3 3 96 P(A3)=C3 , 4×( ) × = 5 5 625 2 4 3 0 16 P(A4)=C4 . 4×( ) ×( ) = 5 5 625 ∴X 的分布列为 X P 0 81 625 1 216 625 2 216 625 3 96 625 4 16 625

17.(2014· 唐山市一模)甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为 350 个,700 个,1050 个, 现用分层抽样的方法随机抽取 6 个零件进行检验. (1)从抽取的 6 个零件中任意取出 2 个,已知这两个零件都不是甲车床加工的,求至少 有一个是乙车床加工的概率; (2)从抽取的 6 个零件中任意取出 3 个,记其中是乙车床加工的件数为 X,求 X 的分布 列. [解析] (1)由抽样方法可知,从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为 1,2,3. 从抽取的 6 个零件中任意取出 2 个, 记事件“已知这两个零件都不是甲车床加工的”为 A,事件“其中至少有一个是乙车床加工的”为 B,则
2 C2 C2 5-C3 5 P(A)= 2,P(AB)= , 2 C6 C6 2 2 P?AB? C5-C3 所求概率为 P(B|A)= = =0.7. 2 C5 P?A?

(2)X 的可能取值为 0,1,2.
3 i Ci2C4 P(X=i)= 3 ,i=0,1,2. C6


X 的分布列为 X P 0 0.2 1 0.6 2 0.2

18.(2014· 中原名校二次联考)某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试,且规定: 成绩大于或等于 90 分的有参赛资格,90 分以下(不包括 90 分)的被淘汰.若有 500 人参加测 试,学生成绩的频率分布直方图如图. (1)求获得参赛资格的人数; (2)根据频率直方图,估算这 500 名学生测试的平均成绩; (3)若知识竞赛分初赛和复赛,在初赛中每人最多有 5 次选题答题的机会,累计答对 3 题或答错 3 题即终止, 答对 3 题者方可参加复赛. 已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相 1 同,并且相互之间没有影响.已知他前两次连续答错的概率为 ,求甲在初赛中答题个数 ξ 9 的分布列.

[ 解析 ]

(1) 由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为 500×(0.0050 + 0.0043 +

0.0032)×20=125 人. 30+50 50+70 70+90 (2)设 500 名学生的平均成绩为 x ,则 x =( ×0.0065+ ×0.0140+ 2 2 2 90+110 110+130 130+150 ×0.0170+ ×0.0050+ ×0.0043+ ×0.0032)×20=78.48 分. 2 2 2 1 2 (3)设学生甲答对每道题的概率为 P(A),则(1-P(A))2= ,∴P(A)= . 9 3 学生甲答题个数 ξ 的可能值为 3,4,5, 2 1 1 1 23 10 1 2 1 3 则 P(ξ=3)=( ) 3+( )3= ,P(ξ=4)=C1 , 3( )( ) +C3( )( ) = 3 3 3 3 3 3 3 27 1222 8 P(ξ=5)=C2 .所以 ξ 的分布列为 4( ) ( ) = 3 3 27 ξ P 3 1 3 4 10 27 5 8 27


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