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高中数学 3-2-3 立体几何中的向量方法 空间向量与垂直关系课件 新人教A版选修2-1


3.2.3 立体几何中的向量方法 ——空间向量与垂直关系 线线垂直关系: 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 (1) l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0 l a b m 线面垂直关系: 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 (2

) l ? ? ? ① a / / u ? a ? ? u l a ? ② a ⊥AB, a ⊥AC u ? C A B 面面垂直关系: 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 (3)? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0 β u v α 1.若平面 α、β 的法向量分别为 a =(-1,2,4), b =(x,-1,-2),并且 α⊥β,则 x 的值为( B ) A.10 B.-10 1 C. 2 1 D.- 2 2.若直线l的方向向量为 a =(-1,0,-2),平面α的 法向量为 u =(4,0,8),则( B C.l?α D.l与α斜交 A.l∥α B.l⊥α 例:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, O为AC与BD的交点,G为CC1的中点. ( 13 ) A (平面 2)AO ? 平面 求证: 1O ? 1 ( )平面 A BG BD ; ? GBD . GBD; 1 证明:(1)证法一: 设A1B1 ? a, A1D1 ? b, A1 A ? c , 则a ? b=0,a ? c=0, b ? c=0. 1 而A1O=A1A+AO =A1A+ ( AB ? AD ) 2 1 ? c ? (a ? b); 2 BG ? BC ? CG ? BC + 1 1 1 ? A1O ? BG ? (c ? a ? b) ? (b ? c) 2 2 2 1 1 1 1 1 ? c?b? a?b? b?b? c?c ? a?c? b?c 2 2 2 4 4 =0 1 ? b ? c; 2 1 AA1 2 向 量 法 b a c ? AO ? BG,? AO ? BG 1 1 例:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, O为AC与BD的交点,G为CC1的中点. (1)A (2)AO ? 平面GBD; 求证: 1O ? BG; 1 (3)平面A1BD ? 平面GBD. 证明:(2)证法一:(向量法) 设A1B1 ? a, A1D1 ? b, A1 A ? c , 则a ? b=0,a ? c=0, b ? c=0. 1 而A1O=A1A+AO =A1A+ ( AB ? AD ) 2 1 ? c ? (a ? b); 2 BD ? AD ? AB b a c ? b ? a; 1 1 ? A1O ? BD ? (c ? a ? b) ? (b ? a ) 2 2 1 1 1 1 ? c?b? a?b? b?b?c?a ? a?a ? b?a 2 2 2 2 =0 ? A1O ? BD, 又 A1O ? BG BG ? 平面GBD, BD ? 平面GBD, BG ? BD ? B ? A1O ? 平面GBD 例:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, O为AC与BD的交点,G 为 的中点 . GBD; ( 2CC )1 AO ? 平面 1 求证: (1)AO ? BG;(2)AO ? 平面GBD;

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