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广东省佛山市顺德区高三数学第一轮复习 导数在函数单调性、极值中的应用导学案 理


课题:导数在函数单调性、极值中的应用
编制人: 【学习目标】 1、了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间; 2、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极值。 【课前预习案】 一、基础知识梳理 1、函数的单调性与导数 审核: 下科行政:

f ?( x) ? 0
在 ( a, b) 内 f ( x )

f ( x ) 在 ( a, b) 内

f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0

f ( x ) 在 ( a, b) 内 f ( x) 是常函数

2、函数的极值与导数 若函数 y ? f (x) ①在 x ? a 的函数值 f ( x) 比它在 x ? a 附近其他点的函数值 都 右侧 f ?( x) 近的左侧 f ?( x) 做函数的极大值。 特别注意:(1)函数 y ? f ( x) 在一点的导数值为 0,是函数 y ? 条件 (2) f ?( x) ? 0 是 f ( x) 在 (a, b) 内单调递增的 条件。 二、练一练 1、函数 y ? ;② f ?(a ) = ;③在 x ? a 附近的左侧 f ?( x) 0,

,则点 a 叫做函数的极小值点, f (a ) 叫做函数的极小值;在 x ? a 附 0,右侧 f ?( x) ,则点 a 叫做函数的极大值点, f (a ) 叫

f ( x) 在这点取得极值的

x 在区间 (1, ??) 上( ln x
(B) 是增函数

) (C)有极小值 ) (D) 有极大值

(A) 是减函数

2、函数 y ? x sin x ? cos x 在 [? ,3? ] 内的单调区间为( (A) (? ,

3? ) 2
3

(B) (

3? 5? , ) 2 2

(C)

(

5? ,3? ) 2

(D) (? , 2? )

3、已知 f ( x) ? x ? ax 在 [1, ??) 上是单调函数,则 a 的最大值为 4、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,其导函数 f ?( x) 的图象如图所示,
3 2

-1-

则函数 f ( x) 的极大值为 【课内探究】 一、讨论、展示、点评、质疑 探究一 利用导数研究函数单调性
2 x

例 1、已知 a ? R ,函数 f ( x) ? (? x ? ax)e ( x ? R ) (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调增区间; (2)函数 f ( x) 是否为 R 上的单调函数,若是,求出 a 的范围,若不是,请说明理由。 拓展 1、设函数 f ( x) ? x ? b ln(2 x ? 1) ,其中 b ? 0
2

(1)若已知函数 f ( x) 是增函数,求 b 的取值范围 (2)若已知 b ? 1 ,求证:对任意的正整数 n ,不等式 n ? f (n) 恒成立

探究二、函数极值与导数 例 2、 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? nx ? 2 的图象过点 (-1, , -6) 且函数 g ( x) ? f ?( x) ? 6 x
3 2

的图象关于 y 轴对称 (1)求 m, n 的值及函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2)求函数 y ? f ( x) 的极大值和极小值

拓展 2、设函数 f ( x) ? ? x( x ? a ) ( x ? R ) ,其中 a ? R
2

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程 (2)当 a ? 0 是,求函数 f ( x) 的极大值和极小值

二、总结提升 1、利用导数求函数单调区间的步骤: 2、利用导数求函数极值的一般步骤

[课后练习案]

-2-

1、已知函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图象如图,则函数

f ( x) 在区间 (a, b) 内有极小值点(
(A) 1 个
3 2

) (C) 3 个 ) (C) 1
2

(B) 2 个

(D)4 个

2、函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 3 x ? a 的极值个数是( (A) 2
3

(B)
2

1

(D) 与 a 有关 )

3、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在点 x ? 1 处有极值 10,则 f (2) =( (A) 11 或 18 (B) 11 (C) 18 ) (C)

(D) 17 或 18

4、函数 f ( x) ? (A) [e, ??)

ln x 的单调减区间是( x
(B) [1, ??)

[0, e]

(D) [0,1]

5、设 f ( x) ? kx ? ( ) (A) (??,1]

k ? 2 ln x ,若 f ( x) 在其定义域内为单调递增函数,则 k 的取值范围是 x
(B) [1, ??) (C)

(??,1]

(D) [?1, ??)

6、定义在 R 上的函数 y ? f ( x) ,满足 f (3 ? x) ? f ( x) , ( x ? ) f ?( x) ? 0 ,若 x1 ? x2 , 且 x1 ? x2 ? 3 ,则有( (A) f ( x1 ) ? f ( x2 ) 确定
3 2 7、、函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 1 x ?

3 2

) (B)

f ( x1 ) ? f ( x2 )

(C)

f ( x1 ) ? f ( x2 )

(D)不

取得极小值

8、函数 f ( x) ? 2 x ? 3 x ? 12 x ? 5 的单调增区间是
3 2

9、直线 y ? a 与函数 f ( x) ? x ? 3 x 的图象有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是
3

10、已知函数 y ? x ? 3a ? 2bx ? c 在 x ? 2 处有极小值,且其图象在 x ? 1 处的切线与直
3 2

线 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 平行 (1)求函数的单调递减区间 (2)求函数的极大值与极小值之差

ex 11、设 f ( x) ? ,其中 a ? 0 1 ? ax 2
(1)当 a ?

4 时,求 f ( x) 的极值点 3
-3-

(2)若 f ( x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围 12*、已知函数 f ( x) ? ( x ? k ) e k
2 x

(1)求 f ( x) 的单调区间 (2)若对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x) ?

1 ,求 k 的取值范围 e

-4-


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