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2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(4)含答案


2016 年高考模拟试卷(4)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1. 已知集合 A ? ?x | ?2 ? x ? 2? ,集合 B 为自然数集,则 A ? B ? 2. 已知 z ? a2 ? 1 ? ? a ? 1? i ? a ? R? ,若 z 为纯虚数,则

a ? ▲ . .

?

?



3.在样本频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他 10 个小长方形 1 面积和的 ,且样本容量为 160,则中间一组的频数为__▲______. 4 4. 从 2 个红球,2 个黄球,1 个白球中随机取出两个球,则两球颜色 不同的概率是 ▲ . ▲ .
I ?1 While I ? 100 I ?I ?2 S ? 2I ? 3 End While Pr int S
(第 5 题)

5. 根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为

6.在三棱锥 S-ABC 中,面 SAB,SBC,SAC 都是以 S 为直角顶点的等腰直角三角形,且 AB=BC=CA= 2,则三棱锥 S-ABC 的表面积是___▲_____. 7 . 已 知 F 为 双 曲 线 C : 2x2 ? my 2 ? 4m(m ? 0) 的 一 个 焦 点 , 则 点 F 到 C 的 一 条 渐 近 线 的 距 离 为 ▲ 8. .

ln 2 2 与 2 的大小关系是 e 2



. (用“ ? ”或“ ? ”连接)

9. 为了得到 y ? cos π ? x 的图像,只需将 y ? sin x 的图像向左平移 ? ?? ? 0 ? 个单位,则 ? 2 6 2 的最小值为 ▲ . ▲ .

?

?

? x ? 2 x , x ≤ 0, 10. 若函数 f ( x) ? ? 在其定义域上恰有两个零点,则正实数 a 的值为 ?ax ? ln x, x ? 0

11.已知 ?an ?, ?bn ? 均为等比数列,其前 n 项和分别为 Sn,Tn ,若对任意的 n ? N* ,总有

a Sn 3n ? 1 ,则 3 ? ? b3 Tn 4





12.如图,在圆 O : x2 ? y 2 ? 4 上取一点 A(? 3, 1) , E, F 为 y 轴上的两点,且 AE ? AF , 延长 AE , AF 分别与圆交于点 M ,N ,则直线 MN 的斜率为 y ▲ .

E A F
O

M
N

P

x
A B
(第 13 题)

C

(第 12 题)

第 1 页,共 4 页

??? ? ??? ? 13.如图, AB ? BC ? 1,?APB ? 90o,?BPC ? 45o ,则 PA ? PC ?



. ▲ .

14.已知正实数 a,b,c 满足 1 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,则实数 c 的取值范围是 a b ab bc ca

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时写出文字说明、证明过 ....... 程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)已知向量 a ? (sin x,cos x) , b ? (sin x,sin x) , c ? (?1, 0) . (1)若 x ? π ,求向量 a , c 的夹角 ? ; 3 (2)若 x ? ?? 3π , π ? ,函数 f ( x) ? ? a ? b 的最大值为 1 ,求实数 ? 的值. ? 8 4? ? 2 ? 16. (本小题满分 14 分)如图,平面 ABC ? 平面 DBC , AB ? AC,AB ? AC,DB ? DC ,
DE ? 平面DBC , BC ? 2 DE .

A E C

(1)求证: DE // 平面ABC ; (2)求证: AE ? 平面ABC .

B
(第 16 题)

D

17. (本小题满分 14 分)现有一个以 OA、OB 为半径的扇形池塘,在 OA、OB 上分别取点 C、D,作 DE∥OA、CF∥OB 交弧 AB 于点 E、F,且 BD = AC,现用渔网沿着 DE、EO、OF、 FC 将池塘分成如图所示的三种的养殖区域.若 OA=1km, ?AOB ? π , ?EOF ? ? (0 ? ? ? π ) . 2 2 (1)求区域Ⅱ的总面积; (2)若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是 15 万元、20 万元、10 万元,记年总 收入为 y 万元. 试问当 ? 为多少时,年总收入最大? B D Ⅲ Ⅱ Ⅰ Ⅱ O
(第 17 题)

E

F

Ⅲ C A

第 2 页,共 4 页

18. (本小题满分 16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A,B 分别是椭圆 G: x ? y 2 ? 1 4 的左、右顶点, P ? 2,t ? ? t ? R,且t ? 0? 为直线 x ? 2 上的一个动点,过点 P 任意作一条直线
l 与椭圆 G 交于 C,D,直线 PO 分别与直线 AC,AD 交于 E,F.
y

2

(1)当直线 l 恰好经过椭圆 G 的右焦点和上顶点时,求 t 的值; (2)记直线 AC,AD 的斜率分别为 k1,k2 . ① 若 t ? ? 1 ,求证: 1 ? 1 为定值; k1 k2 ② 求证:四边形 AFBE 为平行四边形.
E A

C

O F D

B

x

P

(第 18 题)

19. (本小题满分 16 分)已知数列{an},{bn}满足:对于任意的正整数 n,当 n≥2 时,
2 2 an ? bn an ? 2n ? 1 . ?1

(1)若 bn ? (?1) n ,求 ? ai2 的值;
i ?1

18

(2)若数列{an}的各项均为正数,且 a1 ? 2 , bn ? ?1 .设 Sn ? 1 ? 2ai , Tn ? a1a2 L an , 4 i ?1 试比较 Sn 与 Tn 的大小,并说明理由. 20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ? x ? ? 1 x 2 , g ? x ? ? a ln x . 2 (1)若曲线 y ? f ? x ? ? g ? x ? 在 x ? 1 处的切线的方程为 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,求实数 a 的值; (2)设 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,若对任意两个不等的正数 x1 ,x2 ,都有 求实数 a 的取值范围; (3)若在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 f ? ? x0 ? ?
h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? 2 恒成立, x1 ? x2

n

1 ? g x ? g ? x 成立,求实数 a 的取值范围. ? 0? ? 0? f ? ? x0 ?

Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 共 4 小题,请选定其中两小题 ,并在相应的答题区域内作答 ........ ............ 若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. (选修4-1:几何证明选讲)在圆 O 中,AB,CD 是互相平行的两条弦,直线 AE 与圆 O 相切于点 A,且与 CD 的延长线交于点 E,求证:AD2=AB·ED. A B O · E D C

(第 21 题(A)

第 3 页,共 4 页

?1 a ? B. (选修4-2:矩阵与变换)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? y ? 2 ? 0 在矩阵 A= ? ? 对应的变 ?b 2 ?

换作用下得到的直线仍为 x ? y ? 2 ? 0 ,求矩阵 A 的逆矩阵 A ?1 .

? x ? t cos ? ? m x ? 5 cos? C. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知直线 l: ? (t 为参数)恒经过椭圆 C:? ? ? y ? t sin ? ? y ? 3 sin ?

(?为参数)的右焦点 F. (1)求 m 的值; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求 FA ? FB 的最大值与最小值.

b c 均为正数,且 a+2b+3c=9.求证: D. (选修4-5:不等式选讲)已知 a,,

1 1 1 1 + + ≥ . 4a 18b 108c 9

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 106 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的准线 l 与 x 轴交
(x1,y1) 于点 M ,过点 M 的直线与抛物线交于 A, B 两点.设 A 到准线 l 的距离 d ? ? p ( ? ? 0 ) .

(1)若 y1 ? d ? 1 ,求抛物线的标准方程;
???? ? ??? ? (2)若 AM ? ? AB ? 0 ,求证:直线 AB 的斜率为定值.
l

y B A
O

M

x

(第 22 题)

2 3 ?,n 中,任取 k 个元素位置保持不动,将其余 n ? k 个元素变 23. (本小题满分 10 分)在自然数列 1,,,

动位置,得到不同的新数列.由此产生的不同新数列的个数记为 Pn ? k ? . (1)求 P3 ?1? ; (2)求 ? P4 ? k ? ;
k ?0 4

(3)证明 ? kPn ? k ? ? n? Pn ?1 ? k ? ,并求出 ? kPn ? k ? 的值.
k ?0 k ?0 k ?0

n

n ?1

n

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