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高中函数值域的12种求法


高中函数值域的 1 2 种求法!!!!2 0 1 0 - 1 1 - 2 7

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一.观察法 通功对函数定义域、性量的察看,联合函数的解析式,求得函数的值域。 例 1 求函数 y = 3 + √( 2 -3 x ) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√( 2 -3 x ) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知√

( 2 -3 x ) ≥0 , 故 3 + √( 2 -3 x ) ≥3 。 ?函数的知域为 . 点评:算术平方根具备单重非负性,即:(1 )被开方数的非负性,(2 ) 值的非负性。 原题通过直交观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域 的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数 y = ( 0 ≤x ≤5 ) 的值域。(答案:值域为:{0 ,1 ,2 , 3 ,4 ,5 })

二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例 2 求函数 y = ( x + 1 ) / ( x + 2 ) 的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数 y = ( x + 1 ) / ( x + 2 ) 的反函数为: x = ( 1 - 2 y ) / (y -1 ), 其定义域为 y ≠1 的实数, 故函数 y 的值域为{y ? y ≠1 , y ∈R }。 点评:害用反函数法求原函数的定义域的条件条件是原函数存在反函数。这 种方法体现逆向念维的思想,是数学解题的沉要方法之一。 练习:求函数 y = ( 1 0 x + 1 0 - x ) / ( 1 0 x -1 0 - x ) 的值域。 (答案:函数的值域为{y ? y < -1 或 y > 1 }) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时, 能够利用配方法求 函数值域 例 3 :求函数 y = √( -x 2 + x + 2 ) 的值域。 点拨:将被开方数配方成完整平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x 2 + x + 2 ≥0 , 可知函数的定义域为 x ∈[ -1 ,2 ] 。此时 -x 2 + x + 2 = -(x -1 / 2 )2 +9 / 4 ∈[ 0 ,9 / 4 ] ?0 ≤√-x 2 + x + 2 ≤3 / 2 , 函数的值域是[ 0 , 3 / 2 ] 点评:求函数的值域岂但要器重对应关系的利用, 而且要特殊注意定义域对 值域的造约息用。配方式是数教的一种主要的思维办法。 练习:求函数 y = 2 x -5 +√1 5 -4 x 的值域. ( 答案: 值域为 { y ? y ≤3 } ) 四.判别式法 若可化为对于某变质的二次方程的分式函数或无理函数, 可用判别式法求函 数的值域。 例 4 求函数 y = ( 2 x 2 -2 x + 3 ) / ( x 2 -x + 1 ) 的值域。

点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而 确定出原函数的值域。 解:将上式化为(y -2 )x 2 -( y - 2 ) x + ( y - 3 ) = 0 (*) 当 y ≠2 时, 由Δ= ( y -2 ) 2 -4 (y -2 )x + ( y -3 ) ≥0 ,解 得:2 <x ≤1 0 / 3 当 y = 2 时, 方程( *) 无解。?函数的值域为 2 <y ≤1 0 / 3 。 点评:把函数关系化为二次方程 F ( x , y ) = 0 ,因为方程有名数解,故 其判断式为非背数,可供得函数的值域。常适应于形如 y = ( a x 2 + b x + c ) / ( d x 2 + e x + f ) 及 y = a x + b ±√ ( c x 2 + d x + e ) 的函数。 练习:求函数 y = 1 / ( 2 x 2 -3 x + 1 ) 的值域。(答案:值域为 y ≤ -8 或 y > 0 )。 五.最值法 对于关区间[ a , b ] 上的连断函数 y = f ( x ) , 可求出 y = f ( x ) 在 区间[ a , b ] 内的极值, 并与边界值 f ( a ) . f ( b ) 作比较, 求出函数 的最值, 可得到函数 y 的值域。 例 5 已知( 2 x 2 - x - 3 ) / ( 3 x 2 + x + 1 ) ≤0 , 且知足 x + y = 1 , 求函数 z = x y + 3 x 的值域。 点拨:依据已知前提求出从变量 x 的弃值范畴,将目的函数消元、配方,可 求没函数的值域。 解:≧3 x 2 + x + 1 >0 ,上述分式不等式与不等式 2 x 2 - x - 3 ≤0 共解,解之得-1 ≤x ≤3 / 2 ,又 x + y = 1 ,将 y = 1 - x 代入 z = x y + 3 x 中,得 z = - x 2 + 4 x ( - 1 ≤x ≤3 / 2 ) , ?z = - ( x - 2 ) 2 + 4 且 x ∈[ - 1 , 3 / 2 ] , 函数 z 在区间 [ - 1 , 3 / 2 ] 上持续,故只要比拟边界的大小。 应 x = - 1 时,z = -5 ;该 x = 3 / 2 时,z = 1 5 / 4 。 ?函数 z 的值域为{z ? -5 ≤z ≤1 5 / 4 }。 点评:利题是将函数的值域答题转化为函数的最值。对启区间,若存在最值, 也可通过求出最值而取得函数的值域。 练习:若√x 为实数,则函数 y = x 2 + 3 x - 5 的值域 为 ( ) A .(-≦,+≦) B .[ -7 ,+≦] C .[ 0 ,+≦) D .[ - 5 ,+≦) (问案:D )。 六.图象法 通过视察函数的图象,应用数形结合的方法得到函数的值域。 例 6 求函数 y = ? x + 1 ? + √( x - 2 ) 2 的值域。 点拨:根据相对值的意思,往掉符号后转化为分段函数,作出其图象。 结:本函数化替 -2 x + 1 ( x ≤1 ) y = 3 ( - 1 < x ≤2 ) 2 x - 1 ( x > 2 ) 它的图象如图所示。 显然函数值 y ≥3 , 所以,函数值域[ 3 ,+≦] 。

点评:分段函数应留神函数的端点。应用函数的图象 求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。 求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方 法求函数的值域。 七.枯燥法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例 1 求函数 y = 4 x -√1 - 3 x ( x ≤1 / 3 ) 的值域。 点拨:由已知的函数是复折函数,便 g ( x ) = -√ 1 - 3 x , y = f ( x ) + g ( x ) ,其定义域为 x ≤1 / 3 ,在此区间内分 辨探讨函数的增减性,从而断定函数的值域。 解:设 f ( x ) = 4 x , g ( x ) = -√1 - 3 x , ( x ≤1 / 3 ) , 易 知它们在定义域内为增函数,从而 y = f ( x ) + g ( x ) = 4 x -√ 1 - 3 x 在定义域为 x ≤1 / 3 上也为增函数,而且 y ≤ f ( 1 / 3 ) + g ( 1 / 3 ) = 4 / 3 , 因而,所求的函数值域为{y | y ≤ 4 / 3 }。 点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数现含 的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函 数的值域。 练习:求函数 y = 3 + √4 - x 的值域。( 答案:{y | y ≥3 }) 八.换元法 以新变量取代函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数情 势,进而求出值域。 例 2 求函数 y = x - 3 + √2 x + 1 的值域。 点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值, 确定原函数的值域。 解:设 t = √2 x + 1 (t ≥0 ), 则 x = 1 / 2 ( t 2 - 1 ) 。 于是 y = 1 / 2 ( t 2 - 1 ) - 3 + t = 1 / 2 ( t + 1 ) 2 - 4 ≥ 1 / 2 - 4 = - 7 / 2 . 所以,原函数的值域为{y | y ≥-7 / 2 }。 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最 值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化回的思惟方法。 它的运用非常普遍。 练习:求函数 y = √x - 1 ? x 的值域。(答案:{y | y ≤-3 / 4 } 九.结构法 根据函数的构造特点,赋夺几何图形,数形结合。 例 3 求函数 y = √x 2 + 4 x + 5 + √x 2 - 4 x + 8 的值域。 点拨:将原函数变形,构造立体图形,由多少何常识,肯定出函数的值域。 解:原函数变形为 f ( x ) = √( x + 2 ) 2 + 1 + √( 2 - x ) 2 + 2 2 作一个长为 4 、宽为 3 的矩形 A B C D ,再切割成 1 2 个单位 正方形。设 H K = x , 则 e k = 2 - x , K F = 2 + x , A K = √ ( 2 - x ) 2 + 2 2 , K C = √( x + 2 ) 2 + 1 。

由三角形三边关系知,A K + K C ≥A C = 5 。当 A 、K 、C 三点共 线时与等号。 ?原函数的知域为{y | y ≥5 }。 点评: 对于形如函数 y = √x 2 + a ±√( c - x ) 2 + b ( a , b , c 均 为正数) ,均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观亮了、便利简捷。这 是数形结合思想的体现。 练习: 求函数 y = √x 2 + 9 + √( 5 - x ) 2 + 4 的值域。 答案: y | y ( { ≥5 √2 }) 十.比例法 对一种露条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代进纲标函数, 入而求出原函数的值域。 例 4 已知 x , y ∈R ,且 3 x - 4 y - 5 = 0 , 求函数 z = x 2 + y 2 的 值域。 点拨:将条件方程 3 x - 4 y - 5 = 0 转化为比例式,设置参数,代入原函 数。 解: 3 x - 4 y - 5 = 0 变形得, x 3 ) / 4 = ( y - 1 ) / 3 = k ( k 由 ( 为参数) ?x = 3 + 4 k , y = 1 + 3 k , 好看的电影, ? z = x 2 + y 2 = ( 3 + 4 k ) 2 + ( 1 4 + 3 k ) 2 = ( 5 k + 3 ) 2 + 1 。 当 k = -3 / 5 时,x = 3 / 5 , y = -4 / 5 时,z m i n = 1 。 函数的值域为{z | z ≥1 }. 点评:标题是多元函数关系,个别含有束缚条件,将条件转化为比例式,通 过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法, 存在必定的翻新意识。 训练:未知 x , y ∈R ,且满意 4 x - y = 0 , 求函数 f ( x , y ) = 2 x 2 - y 的值域。(答案:{f ( x , y ) | f ( x , y ) ≥1 }) 十一.利用多项式的除法 例 5 求函数 y = ( 3 x + 2 ) / ( x + 1 ) 的值域。 点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式取一个分式之跟。 解:y = ( 3 x + 2 ) / ( x + 1 ) = 3 -1 / ( x + 1 ) 。 ≧1 / ( x + 1 ) ≠0 ,故 y ≠3 。 ?函数 y 的值域为 y ≠3 的所有真数。 点评:对于形如 y = ( a x + b ) / ( c x + d ) 的形式的函数均可利用这 种方法。 训练:求函数 y = ( x 2 - 1 ) / ( x - 1 ) ( x ≠1 ) 的值域。(谜底: y ≠2 ) 十二.不等式法 例 6 求函数 Y = 3 x / ( 3 x + 1 ) 的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值规模,构制不等式。 解:易求得原函数的反函数为 y = l o g 3 [ x / ( 1 - x ) ] , 由对数函数的定义知 x / ( 1 - x ) >0

1 - x ≠0 解得,0 <x < 1 。 ?函数的值域(0 ,1 )。 点评:考核函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求 出函数定义域,进而求值域。不等式法是重要的解题农具,它的应用十分广泛。 是数学解题的方法之一。 以下供练习选用:求下列函数的值域 1 .Y = √( 1 5 -4 x ) + 2 x - 5 ;({y | y ≤3 }) 2 .Y = 2 x / ( 2 x -1 ) 。 (y > 1 或 y < 0 ) 注意变量哦


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