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3.3.2简单的线性规划1


一.复习回顾
1.在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
结 论 : 形 如2 x ? y ? t ( t ? 0) 的直线与 2 x ? y ? 0平 行.

o

x

1

y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40) x-4y+3=0

C
5

2.作出下列不 等式组的所表 示的平面区域

A

B
O
1 5 x=1

x
3x+5y-25=0

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

问题1:x 有无最大(小)值? 问题2:y 有无最大(小)值? 问题3:2x+y 有无最大(小)值?
2

二.提出问题 把上面两个问题综合起来:

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
时,求z的最大值和最小值.

3

思考:还可以运用怎样的方法得到目标函数 的最大、最小值?

可以通过比较可行域边界顶 y 点的目标函数值大小得到。
C
5 x-4y+3=0

A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)

? x ? 4 y ? ?3 ? 1.先 作 出 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ? 所表示的区域 .

2.作直线 l0 : 2 x ? y ? 0
直线l : 2 x ? y ? t , t ? R

3.作一组与直线 l 0 平行的

A B
O
1 5 x=1

2x ? y ? 0

直线L越往右平 移,t随之增大. x 以经过点A(5,2)的 3x+5y-25=0 直线所对应的t值 最大;经过点B(1,1) 的直线所对应的t 值最小. 4 Z max ? 2 ? 5 ? 2 ? 12, Z min ? 2 ? 1 ? 1 ?3

线性 规划

Z=2x+y称为目标函数,(因 这里目标函数为关于x,y的 一次式,又称为线性目标函 数 目标函数 (线性目标函数)

线性约 束条件

问题:

设z=2x+y,式中变量满足 下列条件:

y
x=1

象这样关 于x,y一 次不等式 组的约束 条件称为 线性约束 条件

x ? 4 y ? ? 3 ? ? ?3x ? 5 y ? 25 ? ?x ? 1
求z的最大值与最小值。

C B O

3x+5y-25=0 A x-4y+3=0

x
5

线性规划
线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
可行解 :满足线性约束条 件的解(x,y)叫可行解;
2x+y=12

2x+y=3

可行域 :由所有可行解组 成的集合叫做可行域;
最优解 :使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
可行域
(5,2)
(1,1)

6

目标函数所表 示的几何意义 ——在y轴上 的截距或其相 反数。

线性目 标函数

线性约 束条件

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 最优解 ? 任何一个满足
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
所有的

不等式组的 (x,y) 可行解
7

可行域

线性规划

也可以通过比较可行域边界 顶点的目标函数值大小得到。

例1 解下列线性规划问题: 求z=2x+y的最大值和最小值,使式中x、y满足下 列条件: 2x+y=0 y

解线性规划问题的一般步骤:

2x+y=-3 y ? x ? 1 1 第一步:在平面直角坐标系中作出可行域; C( , ) ? 2 2 第二步:在可行域内找到最优解所对应的点; ?x ? y ? 1 O x ? y ? ?1 第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数 B(2,-1) ? 2x+y=3

的最大值或最小值。

A(-1,-1)

答案:当x=-1,y=-1时,z=2x+y有最小值-3. 当x=2,y=-1时,z=2x+y有最大值3.
探索结论
8

线性规划
例2 解下列线性规划问题: 求z=300x+900y的最大值和最小值, 使式中x、y满足下列条件:

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 ? ? x+3y=0 x ? 0 ? ? ?y ? 0 300x+900y=0

y
2x+y=300 A
300x+900y=112500

125

C x+2y=250 150 B 250

O

答案:当x=0,y=0时,z=300x+900y有最小值0. 当x=0,y=125时,z=300x+900y有最大值112500.
探索结论

9

例3: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产 品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作 8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? 若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?

把例3的有关数据列表表示如下:

资源

A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)

甲产品 (1件) 4 0 1 2

乙产品 (1件) 0 4 2 3

资源限额 16 12 8
10

解:设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:
线 性 约 束 条 件

?x ? 2y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

y
4 3 4

8

x

0

将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内 所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y 都是有意义的.

问题:求利润2x+3y的最大值.
11

若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为: 当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少? 2 z 2 把z=2x+3y变形为y=- x+ ,这是斜率为- , 3 3 3 z 在y轴上的截距为 的直线, 3

当点P在可允许的取值范围变化时,
z 求截距 的最值,即可得z的最值. 3
12

问题:求利润z=2x+3y的最大值 . y

?x ? 2y ? 8 4 ? 4 x ? 16 3 M(4,2) ? ? x 8 4 ? 4 y ? 12 1 y? ? x?4 0 ?x ? 0 2 ? 2 z ? y? ? x? ?y ? 0 3 3 Zmax ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 14
变式:若生产一件甲产品获利1万元,生产一件乙 13 产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?

变式:求利润z=x+3y的最大值 . y

?x ? 2y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

3

4 N( 2, 3)

4

0

1 z y? ? x? 3 3

x 8 1 y? ? x?4 2

zmax ? 2 ? 3 ? 3 ? 11
14

解线性规划应用问题的一般步骤:
1)理清题意,列出表格:

2)设好变元并列出不等式组和目标函数
3)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域;

画出线性约束条件所表示的可行域,画图力保准确;
4)在可行域内求目标函数的最优解 法1:移-在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的 方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线; 法2:算-线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处 取得,也可能在边界处取得(当两顶点的目标函数值相等时最优 解落在一条边界线段上)。此法可弥补作图不准的局限。 5)还原成实际问题 (准确作图,准确计算)
15

例4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生 产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式, 并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料 各多少车皮,能够产生最大的利润? 分析:设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车 y 皮数,于是满足以下条件:

?4x+y ≤10 ?18x +15y ≤ 66 ? ? ?x ≥ 0 ? ?y ≥ 0

x

o

16

解:设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮, 能够产生利润Z万元。目标函数为Z=x+0.5y, 约束条件为下例不等式组,可行域如图红色阴影部分: 线 ?4 x+y ? 10 把Z=x+0.5y变形为y 性 ? =-2x+2z,它表示斜 约 ?18x+15y ? 66 束 ?x ? 0 率为-2,在y轴上的截 条 ? 距为2z的一组直线系。 件 ?y ? 0
?

由图可以看出,当直线经 过可行域上的点M时,截 距2z最大,即z最大。 容易求得M点的坐标为 (2,2),则Zmax=3 答:生产甲种、乙种肥料各2车皮,能 够产生最大利润,最大利润为3万元。

y

M x

o

17

三、课堂练习

(1)已知

?x - y ? 0 ? ?x ? y - 1 ? 0 ?y ? 1 ? 0 ?

求z=2x+y的最大值和最小值。

18

y

y-x=0

5

1

O

1 A(2,-1) 5

x

y+1=0

B(-1,-1) -1

z max ? 3

zmin ? ?3

x+y-1=0
19

练习2、已知 ?y ? x ? 1 ? ?x - 5y ? 3 ?5x ? 3y ? 15 ? 求z=3x+5y的最大值和最小值。

20

5x+3y=15 y y=x+1
5

B(3/2,5/2)
1

X-5y=3 x

O
-1

1 5

A(-2,-1)

Z max ? 17; Z min ? ?11

21

练习3:

某工厂生产甲、乙两种产品,生产1t甲种产品需 要A种原料4t、 B种原料12t,产生的利润为2万元;生 产1t乙种产品需要A种原料1t、 B种原料9t,产生的利 润为1万元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t,如何 安排生产才能使利润最大?

相关数据列表如下:
A种原料 B种原料 利润

甲种产品
乙种产品 现有库存

4
1 10

12
9 60

2
1
22

设生产甲、乙两种产品的吨数

?4 x ? y ? 10 ?12x ? 9 y ? 60 ? ? x ? 0 ? ? ?y ? 0
利润

分别为x、y

P ? 2x ? y

何时达到最大?
23

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