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浙江省萧山区第五高级中学高考研讨课件:结构观下的数学解题与教学研究(杭州讲座2016.1.7)(共27张PPT)


结构观下的数学解题与教学研究 引例 则实数 a的 最 小 值 为 ( 6?2 A. 4 2?2 B. 4 ) 6? 2 C. 4 2 D. 3 例1.对 任 意 实 数 x ? 0, y ? 0, 若 不 等 式 x ? xy ? a( x ? 2 y )恒 成 立 , x ? xy a? x ? 2y 方法1.抓住“齐次”特征,巧施换元。 x x ? 2 x ? xy

y y t ?t ? ? 2 x x ? 2y t ? 2 ?2 y 引例 方法2.抓住“ xy”结构,巧用基本不等式。 1 kx ? y 1 2? k 1 k x ? kx ? y x? y x? x ? xy k 2k 2 ? ? ? 2 x ? 2y x ? 2y x ? 2y 1 x ? 2y 方法3.抓住“二元”结构,巧赋“一元” 函数。 x ? xy f ( x) ? ( y为 参 数 ) x ? 2y f ?( x) ? 4 x y ? x y ? 2y y x ( x ? 2 y) 2 f ( x) max 6?2 ? f [(10 ? 4 6 ) y ] ? 4 一、结构观的内涵 1. 数学结构定义 一类为纯数学结构,即纯粹为了数学自身发展 的需要而提出的一些数学结构。如代数结构、顺序 结构和拓扑结构等。 另一类为一般数学结构,即为了实现数学的教 育功能而强调的数学知识间的广泛关联性,在此前 提下提出的一些数学结构。如与数的知识有关的复 数的分类结构、方程或方程组的同解变换结构、数 学应用上的各式各样的数学模型结构、解题或证明 的程序结构等等。 本文阐述的数学结构更倾向于后者,泛指数学概 念、性质、法则、公式、公理、定理等内容中表现 的外在形式和蕴含的内在本质、逻辑思维的统一体, 特别指特征明显、属性显然、易于识别的结构。这 是一个模糊的概念,它可以是某一个具体的代数式、 几何图形,也可以是某一种抽象的模型结构、推理 方法等。 2.结构观下的解题与教学 结构观下的解题,强调数学解题应立足于数学结构, 解题者通过对结构的感知、识别、联想、归纳、类比、 转化、建构等方式实现问题解决。 结构观下的教学,强调凸显结构的地位,使学生的学 习、解题、反思等学习活动都能适度地从结构的形式、 特征与功能等角度出发思考。 二、结构与思维的关系 客体 主体 呈现结构 蕴含特征 运用思维 发现特征 三、结构观下的解题研究 1 感知结构、识别特征 联想结构、寻找联系 2 3 应用结构、实现目标 1 感知结构、识别特征 指问题解决中,解题者对结构能有效 识别,识别其形式、特征、功能、可能的 解决策略等,这是解题的基础。这也就要 求解题者有相应的知识基础,否则解题也 将失败。 例2.(2012全 国 卷 理 科 第 21题) 1 2 已知函数 f ( x )满 足f ( x ) ? f ?(1)e ? f (0) x ? x . 2 (1)求f ( x )的 解 析 式 及 单 调 区 间 ; x ?1 1 2 ( 2)若f ( x ) ? x ? ax ? b, 求(a ? 1)b的 最 大 值 . 2 x (1)略.(2)问 , 设 c ? a ? 1, 转 化 为 在 满 足 “ e ? cx ? b 对x ? R恒 成 立 ” 的 条 件 下 ,cb 求的 最 大 值 . 方法1.分离参数法 : 2 x b ? (e ? cx )min? b ? (1 ? ln c )c, c ? 0 ? cb ? (1

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