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归纳法解题


解题方法及提分突破训练:归纳法专题
不完全归纳法是指从一个或几个(但不是全部)特殊情况作一般性的结论的归纳推理。 这种归纳法是用一定数量数值为基础 ,进行分析探究,从中找出规律,并将此规律推广应用到 一般情况下的计算和证明.在初中数学教材中,经常会用这种方法进行定义、公式、法则、 定理的推导.学生在学习中,若能正确运用不完全归纳法,可提高分析、解决问题能力,发现、 探索

问题的能力。



真题链接

1.(2010 中考变式题)如图为手的示意图,在各个手指间标记字母 A,B,C,D.请你按图中 箭头所指方向 ( 即 A → B → C → D → C → B → A → B → C →?的方式 ) 从 A 开始数连续的正整数 1,2,3,4,?,当数到 12 时,对应的字母是________;当字母 C 第 201 次出现时,恰好数到 的数是________;当字母 C 第 2n+1 次出现时(n 为正整数),恰好数到的数是________.(用 含 n 的代数式表示)

2.(2011·北京)在下表中,我们把第 i 行第 j 列的数记为 ai,j(其中 i,j 都是不大于 5 的正 整数),对于表中的每个数 ai,j 规定如下:当 i≥j 时,ai,j=1;当 i<j 时,ai,j=0.例如: 当 i=2, j=1 时, ai, j=a2,1=1.按此规定, a1,3=________; 表中的 25 个数中, 共有________ 个 1;计算 a1,1·ai,1+a1,2·ai,2+a1,3·ai,3+a1,4·ai,4+a1,5·ai,5 的值为________. a1,1 a2,1 a3,1 a4,1 a5,1 a1,2 a2,2 a3,2 a4,2 a5,2 a1,3 a2,3 a3,3 a4,3 a5,3 a1,4 a2,4 a3,4 a4,4 a5,4 a1,5 a2,5 a3,5 a4,5 a5,5

3. (2011 内蒙古乌兰察布,18,4 分)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放,请 仔细观察,第 n 个图形 有 个小圆. (用含 n 的代数式表示)

第 1 个图形
第 1 个图形

第 2 个图形 第 3 个图形 第 18 题 图

第 4 个图形

4. (2011 湖南常德,8,3 分)先找规律,再填数:

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?1 ? , ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? , 1 2 2 3 4 2 12 5 6 3 30 7 8 4 56 ............ 则 1 1 1 + ? _______ ? . 2011 2012 2011? 2012

5. (2011 广东东莞,20,9 分)如下数表是由从 1 开始的连续自然数组成,观察规律并完 成各题的解答.

(1)表中第 8 行的最后一个数是 ,它是自然数 (2)用含 n 的代数式表示:第 n 行的第一个数是 行共有 个数; (3)求第 n 行各数之和.

的平方,第 8 行共有 ,最后一个数是

个数; ,第 n



名词释义

归纳猜想型问题也是探索规律型问题, 其特点是: 给出一组具有某种特定关系的数、 式、 图形,或是给出与图形有关的操作变化过程,或某一具体的问题情境,要求通过观察分析推 理,探究其中蕴含的规律,进而归纳或猜想出一般性的结论.归纳法主要运用于以下方面: 一 在推导法则、定理中的运用 1.利用不完全归纳法推导分式乘方的运算法则 根据乘方的意义和分式乘法法则,可得: ①( ) ?
2

a b

aa a 2 ? bb b 2

②( ) ?
3

a b

aaa a 3 = bbb b 3 a b

③( ) ?
7

a b

aaaaaaa a 7 ? ?? bbbbbbb b 7

由此可推出,当 n 为正整数时, ( ) ?
n

n个a ? ? ?? ? a a a aa ·   ? ?   · a an ··   ??· = ? b ? b ?? b bb·   ? ?   · b bn ? ? ? ? ? ? ?

(b≠0)

n个

a b

n个b

即分式乘方要把分子、分母分別乘方 2.利用不完全归纳法推导凸多边形内角和定律 将教材的推导过程整理成下表: 多边 从一个顶点出发的对角 形边 图 形 线把多边形分割成的三 数 角形个数

多边形边的内角和

2

4 4-2=2

(4-2)×180

0

5

5-2=3

(5-2)×180

0

6 6-2=4 (6-2)×180
0

? n

?

?

?

n-2

(n-2)×180

0

通过引导学生填写上表内容,分析概括,总结归纳出多边形内角和定理:n 边形内角和等于 180 ×(n-2). 说明:本定理的推导,还可以在多边形内(或一边上)取任一点,分别连接多边形的顶 点,也可仿照上述方法,得到同样的结论,可让学有余力的学生在课外去探讨。 二.在解题中的应用 1 . 从计算结果中探究规律 例 计算:⑴ 11? 2 = 3 ⑷ 11111111 ? 2222=3333 请根据上述规律写出下式的结果: ⑵ 1111? 22 =33 ⑶ 111111 ? 222 =333
0

11111 ...... 11 ? 2222 .... 22 =______________. ??? ?? ? ? ? ? ?
2 n个1 n个 2

分析:①从⑴至⑵式的左边可以看出:被开方数中被减数 1 的个数是减数 2 的二倍,其 结果中 3 的个数是减数 2 的个数。

...... 11 ? 2222 .... 22 = 33 解: 11111 ?   3 ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 n个1 n个 2

n个3

说明:解此类题目关键是正确分析归纳出题中的结果数字与算式中数字之间的特殊关 系,再从特殊推广到一般. 2.从图形的特征中探究规律 例 1 下列各三角形图案是由若干个五角星组成的, 每条边 (包括两个顶点) 有n (n>1) 五角星,每个图案中五角星的总数为 s.按此规律推断:s 与 n 的关系.

3

★ ★ ★ ★ ★ ★ ?? ★ ★ ★ ★ n=2,s=3 n=3 s=6 n=4,s=9 图(1) 图(2) 图(3 分析方法一:由于每条边上的五角星数包括了两个顶点,若每边按 n 个计算,则重算了三 角形三个顶点上的三个。故有 s=3n-3. 分析方法二:由图可知,每个图案上的五角星总数,随着各边上五角星的增多而增多, 且前面一个图案中五角星总数总比其后面一个图案中五角星总数少 3 ,因此可猜想: s= ?n ? b ,根据图(1) 、图(2)中的条件就能求出 k,b 的值,再验证是否满足图(3)的 条件。 解:设 s= ?n ? b , 把 n=2,s=3;n=3,s=6 分别代入上式,得

★ ★ ★

★ ★ ★ ★ ★ ★

?2k ? b ? 3 ? ?3k ? b ? 6
解得 ?

?b ? ?3 ?k ? 3

∴s=3n-3 经检验:n=4,s=9 也满足 s=3n-3 所求 s 与 n 的关系为 s=3n-3 例 2 如图, ?ABC 中,A 1 、A 2 、A 3 、??A n 是边 AC 上不同的 n 个点,首先连接 BA 1 ,图 中有 3 个不同的三角形,再连接 BA 2 图中共有 6 个不同的三角形 (1)连接到 A n 时,请用 n 的代数式表示图中共有三角形的个数。 ( 2)若出现 45 个三角形,则共需连接多少个点? 分析:通过观察图知,当 AC 上有 1 个点 A 1 时,连接点 B,所得三角形的个数为(2+1) 个;当 AC 上有 2 个点 A 1 、A 2 时,分别连接点 B,所得三角形的个数为(3+2+1)个,当 AC 上有 3 个点 A 1 、A 2 、A 3 时,分别连接点 B,所得三角形的个数为( 4+3+2+1)个;?? 由 此可以推测出:当 AC 上有 n 个点 A 1 ,A 2 、A 3 ??A n 时,分别连接点 B,所得三角形的个 数为[(n+1)+n+(n-1)+ ??+3+2+1 ]个 解: (1)当连接到 A n 时,所得三角形总个数为: (n+1) +n+(n-1)+(n-2)+??+4+3+2+1 =[(n+1)+1]+(n+2)+(n-1+3)+??] B

4

= [( n ? 2) ? (n ? 2) ? ? ? (n ? 2)]

?????? ?????? ?

n ?1 个( n? 2) 2

(n ? 1)( n ? 2) 2 (n ? 1)( n ? 2) (2)由题意,得 =45 2
= 原方程化为:n +3n-88=0
2

A

A1

A2

A3

An

即(n+11) (n-8)=0 ∴ n=8 或 n=-11 (负值不合题意,舍去) 答:当出现 45 个三角形时,共连接 8 个点。 说明:从例 1、例 2 可以看出,解此类题目常常是先考虑特殊情况,由特殊情况下的结果, 推导出一般情况下的结果,它是从特殊到一般的归纳推理,因此必须要求学生对所得出的结 论要做出合理性的验证.学生往往会因所选取的数值不具有全面的代表性 ,使得结论产生错 误.如下面的例子就说明了这一点.如: ∵ 52 ? 5

0.872 ? 0.87

0 2 ? 0 ??

∴ a2 ? a

这里学生忽略了 a<0 的情况,导致最后的结论不正确. 在初中数学的学习过程中, 学生能够合理地运用数学不完全归纳法, 能使所解决的问题 变得简捷,并能够有效地提高探索发现问题的能力。为此,教师应鼓励学生从多层次多角度 去分析、思考,敢于大胆进行猜想,并通过观察、判断、归纳等一系列探索活动得出正确的 结果。


积木,第 n 个图案中共有

典题示例
块 块积木。

例 1.如图,是用积木摆放的一组图案,观察图形并探索:第五个图案中共有

解析:第一个图案有 1 块积木,第二个图案形有 1+3=4=2 的平方,第三个图案有 1+3+5= 9=3 的平方,??故第 5 个图案中积木有 1+3+5+7+9=25=5 的平方个块,第 n 个图案中积 木有 n 的平方个块。 综观规律性中考试题,考察了学生收集数据,分析数据,处理信息的能力,考生在回答 此类试题时,要体现“从特殊到一般,从抽象到具体”的思想,要从简单的情形出发,认真 比较,发现规律,分析联想,归纳猜想,推出结论,一举成功。 例 2.右图是一回形图,其回形通道的宽与 OB 的长均为 1,回形线与射线 OA 交于点 A1, A2,A3,…。若从 O 点到 A1 点的回形线为第 1 圈(长为 7) ,从 A1 点到 A2 点的回形线为第 2 圈,……,依此类推。则第 10 圈的长为 。
5

已知甲运动方式为:先竖直向上运动 1 个单位长度后,再水平向右运动 2 个单位长度;乙运 动方式为:先竖直向下运动 2 个单位长度后,再水平向左运动 3 个单位长度。在平面直角坐 标系内, 现有一动点 P 第 1 次从原点 O 出发按甲方式运动到点 P1, 第 2 次从点 P1 出发按乙 方式运动到点 P2,第 3 次从点 P2 出发再按甲方式运动到点 P3,第 4 次从点 P3 出发再按乙 方式运动到点 P4,……。依此运动规律,则经过第 11 次运动后,动点 P 所在位置 P11 的坐标 是 。 解析:我们从简单的情形出发,从中发现规律,第 1 圈的长为 1+1+2+2+1,第 2 圈的长为 2+3+4+4+2,第三圈的长为 3+5+6+6+3,第四圈的长为 4+7+8+8+4,??归纳得到第 10 圈的 长为 10+19+20+20+10=79。 例 3. “已知下列等式:

① 13=12; ② 13+23=32; ③ 13+23+33=62; ④ 13+23+33+43=102 ;
?? ?? 由此规律知,第⑤个等式是 .”

解析:这个题目,在给出的等式中,左边的加数个数在变化,加数的底数在变化,右 边的和也在变化。所以,需要进行比较的因素也比较多。就左边而言,从上到下进行比较, 发现加数个数依次增加一个。 所以, 第⑤个等式应该有 5 个加数; 从左向右比较加数的底数, 发现它们呈自然数排列。 所以, 第⑤个等式的左边是 1 +2 +3 +4 +5 。 再来看等式的右边, 指数没有变化,变化的是底数。等式的左边也是指数没有变化,变化的是底数。比较等式两 边的底数, 发现和的底数与加数的底数和相等。 所以, 第⑤个等式右边的底数是 (1+2+3+4+5) , 和为 15 。 “有比较才有鉴别”。通过比较,可以发现事物的相同点和不同点,更容易找到事物 的变化规律。找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的
2 3 3 3 3 3

6

量找出一般规律。揭示的规律,常常包含着事物的序列号。所以,把变量和序列号放在一起 加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。



强化巩固

1. (2011 浙江省,10,3 分)如图,下面是按照一定规律画出的“数形图” ,经观察可以发 现:图 A2 比图 A1 多出 2 个“树枝” , 图 A3 比图 A2 多出 4 个“树枝” , 图 A4 比图 A3 多出 8 个 “树枝” ,??,照此规律,图 A6 比图 A2 多出“树枝” ( ) A.28 B.56 C.60 D. 124

2.(2010 山东东营)观察下表,可以发现: 第_________个图形中的“△”的个数是“○”的 个数的 5 倍.

3. (2011 广东肇庆,15,3 分)如图 5 所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边 上,按照这样的规律摆下去,则第 n ( n 是大于 0 的整数)个图形需要黑色棋子的个数 是 ▲ .

4. (2011 内蒙古乌兰察布,18,4 分)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放,请 仔细观察,第 n 个图形 有 个小圆. (用含 n 的代数式表示)

第 1 个图形
第 1 个图形

第 2 个图形 第 3 个图形 第 18 题 图

第 4 个图形

5. (2011 湖南益阳,16,8 分)观察下列算式: 2 ① 1 × 3 - 2 = 3 - 4 = -1
7

② 2 × 4 - 3 = 8 - 9 = -1 2 ③ 3 × 5 - 4 = 15 - 16 = -1 ④ ?? (1)请你按以上规律写出第 4 个算式; (2)把这个规律用含字母的式子表示出来; (3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗?并说明理由. 6. (2011 广东汕头,20,9 分)如下数表是由从 1 开始的连续自然数组成,观察规律并完 成各题的解答.

2

(1)表中第 8 行的最后一个数是 ,它是自然数 (2)用含 n 的代数式表示:第 n 行的第一个数是 行共有 个数; (3)求第 n 行各数之和.

的平方,第 8 行共有 ,最后一个数是

个数; ,第 n

7.有一组数:

1 3 5 7 9 , , , 2 5 10 17 26

,请观察它们的构成规律,用你发现的规律写出第 n(n .

为正整数)个数为

8.如图,在一个三角点阵中,从上向下数有无数多行,其中各行点数依次为 2,4,6,…, 2n,…,请你探究出前 n 行的点数和所满足的规律、若前 n 行点数和为 930,则 n=( )

A.29

B.30

C.31

D.32

9.(2010?恩施州)如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点,作为第一层,第 二层每边有两个点, 第三层每边有三个点, 依次类推, 如果 n 层六边形点阵的总点数为 331, 则 n 等于 .

10.一种长方形餐桌的四周可以坐 6 人用餐(带阴影的小长方形表示 1 个人的位置) .现把 n 张这样的餐桌按如图方式拼接起来. (1)问四周可以坐多少人用餐?(用 n 的代数式表示)

8

(2)若有 28 人用餐,至少需要多少张这样的餐桌

11.(2012 中考预测题)观察下列算式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37= 2 187,38=6 561,?通过观察,用你所发现的规律确定 32 012 的个位数字是( 第 10 题 A.3 B.9 C.7 D.1


)

12. (2011 年北京四中 33 模)如下图,第(1)个多边形由正三角形“扩展”而来,边数记 为 a3,第(2)个多边形由正方形“扩展”而来,边数记为 a4,??以此类推,由正 n 边形 “扩展”而来的多边形的边数记为 an(n≥3),则 a6= 则 n= 。 ,当

1 1 98 ??? ? 时, a3 an 303



参考答案

真题链接答案: 1.【解析】当数到 12 时,对应的字母是 B.根据已知条件将字母进行排列,发现字母 C 出现 的次数是奇数时,此时数到的数恰好是这个奇数的 3 倍.∵201,2n+1 都是奇数,∴数到的 数分别是 3×201=603,3(2n+1)=6n+3. 【答案】B 603 6n+3 2.【解析】∵1<3,∴a1,3=0.表中 i≥j 的数共有 15 个,∴表中 25 个数中有 15 个 1.根据规 定:无论 i=1,2,3,4 或 5,都有 a1,1·ai,1+a1,2·ai,2+a1,3·ai,3+a1,4·ai,4+a1,5·ai,5 =1+0+0+0+0=1. 【答案】0 15 1 3.【答案】 n(n ? 1) ? 4 或 n ? n ? 4
2

4.【答案】

1 1006
2

5.【解】 (1)64,8,15; (2) (n ? 1)2 ? 1 , n , 2n ? 1 ; (3) 第 2 行各数之和等于 3×3; 第 3 行各数之和等于 5×7; 第 4 行各数之和等于 7×7-13;
2 类 似的,第 n 行各数之和等于 (2n ?1)(n ? n ? 1) = 2n ? 3n ? 3n ? 1 .
3 2

巩固强化答案: 1.【答案】C 2. 分析:本题将规律探索题与方程思想结合在一起,是一道能力题,有的学生可能无法探 寻“△ ”与“○”出现的规律,或者不知道通过列方程解答问题. 解答:解:观察图形可发现第 1、2、3、?、n 个图形: “△”的个数规律为 1、4、9、?、

9

n2; “○”的个数规律是 4、8、12、?、4n.由题意可得 n ? 4n ? 5 ,
2

解之得 n1 ? 20 , n2 ? 0 (不合题意,舍去) . 3.【答案】 n(n ? 2) 4.【答案】 n(n ? 1) ? 4 或 n ? n ? 4
2

5.【答案】解:⑴ 4 ? 6 ? 52 ? 24 ? 25 ? ?1 ; ⑵答案不唯一.如 n ? n ? 2? ? ? n ? 1? ? ?1 ;
2

⑶ n ? n ? 2? ? ? n ? 1?

2

? n2 ? 2n ? ? n2 ? 2n ? 1?
? n2 ? 2n ? n2 ? 2n ? 1 ? ?1 .

6.【解】 (1)64,8,15; (2) (n ? 1)2 ? 1 , n , 2n ? 1 ;
2

(3) 第 2 行各数之和等于 3×3; 第 3 行各数之和等于 5×7; 第 4 行各数之和等于 7×7-13; 类似的,第 n 行各数之和等于 (2n ?1)(n2 ? n ? 1) = 2n ? 3n ? 3n ? 1 .
3 2

7.分析:观察式子发现分子变化是奇数,分母是数的平方加 1.根据规律求解即可. 解答:解:

1 2 ?1 ? 1 ? ; 2 12 ? 1 3 2 ? 2 ?1 ? 2 ; 5 2 ?1 5 2 ? 3 ?1 ? 2 ; 10 3 ?1 7 2 ? 4 ?1 ? 2 ; 17 4 ?1 9 2 ? 5 ?1 ? ;…; 26 52?1
∴ 第 n(n 为正整数)个数为

2n ? 1 . n2 ? 1

8.分析:有图个可以看出以后每行的点数增加 2,前 n 行点数和也就是前 n 个偶数的和。 解答:解:设前 n 行的点数和为 s. 则 s=2+4+6+…+2n=

(2n ? 2)n =n(n+1) . 2

若 s=930,则 n(n+1)=930. ∴(n+31) (n﹣30)=0. ∴n=﹣31 或 30.故选 B.
10

9. 分析:分析可知规律,每增加一层就增加六个点. 解答:解:第一层上的点数为 1; 第二层上的点数为 6=1×6; 第三层上的点数为 6+6=2×6; 第四层上的点数为 6+6+6=3×6; …; 第 n 层上的点数为(n﹣1)×6. 所以 n 层六边形点阵的总点数为 1+1×6+2×6+3×6+…+(n﹣1)×6 =1+6[1+2+3+4+…+(n﹣1)]=1+6[(1+2+3+…+n﹣1)+(n﹣1+n﹣2+…+3+2+1)]÷2

=1+6× =1+3n(n﹣1)=331. n(n﹣1)=110; (n﹣11) (n+10)=0 n=11 或﹣10. 故 n=11. 10.解:①4n+2, ②4n+2≥28,n≥6.5, n=7

12.答案:42;100 11.【解析】观察算式,可发现每 4 个数字的个位数字循环一次,因为 2012÷4=503,故 32 012 的个位数字是 1. 【答案】D

11


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