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聚焦高考中以球为载体的问题


聚焦高考中以球为载体的问题
(周斌 浙江岱山县东沙中学 Email:zhoubin1027@yeah.net) 球是特殊的几何体,具有多方位的对称性,从而具有很多特殊的性质。在高考以球为载体的问题中, 一方面可以考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算,另一方面可以考查球与多面体的相切接,能很 好地考查学生的空间想象能力、推理论证能力。在近几年高考题中,与球有关的问题频繁出现。随着新课 程“球面几何”在选修教材中的引入,球的有关问题显得更为重要,下面就近年来以球为载体的问题作简 要分析。 1. 体积和距离——球考查的热点 例 1.(2008 浙江)如右图,已知球 O 的面上四点 A、B、C、D,DA ? 平面 ABC,AB ? BC,DA=AB=BC= 3 , 则球 O 的体积等于________________. 解:要求球的体积,先求半径,则找出球心的位置是此题的关键。 ∵ AB ? BC, AB ? BC ? 3, ? AC ? 6,
O D

A

? DA ? 平面ABC,? DA ? AC, DA ? AB,? BD ? 6

C

B

?CD ? 3,?CD2 ? BC 2 ? BD2 ,? BCD为Rt?,? O 是两直角三角形斜边 CD 的中点,由于点 A,B,C,D 都 ?
在球上,? R=OA=OC=OD=

3 9 ,V ? ? 2 2

命题意图:本题利用四面体和球的位置关系,找出球心位置,考查学生的空间想象能力和推理能力。

例 2.(2008 辽宁卷)在体积为 4 3? 的球的表面上有 A,B,C 三点,AB=1,BC= 2 ,A,C 两点的球

面距离为

3 ? ,则球心到平面 ABC 的距离为_______________. 3

C O1

A

B O

解:欲求球心到平面 ABC 的距离,先球 A,C 两点对球面的张角,再经 过 A,B,C 三点的小圆圆心 O1 与 O 的连线长即可。

?V ? 4 3? ? R ? 3, 又? A, C 两点的球面距离为

? 3? ,??AOC ? , 3 3
3 3 ,? OO 1 ? ,即球心到平面 2 2

?OA ? OC ? AC ? 3 , ?? ABC为Rt? ,且 CA 为斜边,? AO 1 ?
ABC 的距离为

3 2

命题意图:本题以球面距离及球心与过三点的小圆圆心的连线和平面 ABC 的位置关系为载体,着重考 查了学生分析问题和解决问题的能力,一般地,对球面距离的考查是较常见的类型,其步骤为找球心→求 半径→求张角。 2. 与多面体的相切接——球考查的难点 例 3(2005 全国Ⅱ)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高 的最小值为

1

(A)

3?2 6 3

(B)2+

2 6 3

(C)4+

2 6 3

(D)

4 3?2 6 3

解:由题意,四个半径为 1 的小球的球心 O1 , O2 , O3 , O4 ,恰好构成一个棱长为 2 的正四面体,并且各 面与正四面体的容器 P ? ABC 的各对应面的距离都为 1 如图一所示显然
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P M O1

HO ? 1 设 N , T 分别为 AB, O2O3 的中点,在棱长为 2 的正四面
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3 2 6 体 O1 ? O2O3O4 中, O1T ? 3, HT ? , ∴ O1 H ? , 3 3
1 且 sin ?TO1 H ? .作 O1M ? PN ,则 O1M ? 1 ,由于 ?O1PM ? ?TO1H , 3
∴ PO1 ?
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O2 A N B T O3

H O

O4 C



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O1M O1M 2 6 2 6 故选 C ?1 ? 4 ? ? ? 3 ∴ PO ? PO1 ? O1O ? HO ? 3 ? 3 3 sin ?O1PM sin ?TO1H
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例 4. (2006 山东卷)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点,将△ADE 与 △BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则 P-DCE 三棱锥的 外接球的体积为 (A)

4 3? 27

(B)

6? 2

(C)

6? 8

(D)

6? 24

P

解:由题意易得为正四面体,设外接球半径为,则
O

DH ?

3 6 6 , PH ? , OH ? PH ? R ? ?R 3 3 3

D H 1 E c

1 6 6 在Rt? DOH中,有R 2 ? DH 2 ? OH 2 ,? R 2 ? ? ( ? R)2 ,? R ? 3 3 4 4 6 ?V ? ? R3 ? ? 3 8
命题意图:以上两题以四面体与球相切接为背景,着重考查几何体之间的位置关系,解决此类问题需 要较强的空间想象能力和正确的作图能力,如何正确的分析球心和四面体各顶点及侧面之间的关系是解决 这类问题的关键。 3. 化球为圆——球考查中常见转化方法 例 5.(2007 湖南)棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上, E,F 分别 1 是棱 AA1 , DD1 的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长为

A.

2 2

B. 1

C. 1 ?

2 2

D. 2

解:过 E,F 和 O 作截面,设直线 EF 被球 O 截得的线段为 MN,容易求得 R ? ON ?

3 1 , OP ? , 2 2
2

? MN ? 2 (

3 2 1 2 )? ) ? 2 . ( 2 2

例 6.(2008 全国二)已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦 长为 2,则两圆的圆心距等于
O1 C

A.1

B. 2

C. 3

D.2
O

O2

解:由题意,过两圆圆心及球心作截面的大圆,如右图,记公共弦的中点为 C, 易知四边形 OO1CO 2 为矩形,?OO2 ? OC ? 3 , 1 命题意图:上述考题都考查了球中的大圆截面,球中的大圆包含了球中全部元素,所以球问题常用转 化方法是化球为圆,再应用平面几何的有关定理去解决。 例 7.(2008 江西)连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为 4 的球的两条弦 AB 、CD 的长度分别 等于 2 7 、 4 3 ,每条弦的两端都在球面上运动,则两弦中点之间距离的最大值为 解:如图,易求两弦 AB 、 CD 的中点 M,N 到球心的距离分别为 3,2,类比平
B

________.
D

面内圆的情形可知当 M,N,O 三点共线时, MN 的值最大,由余弦定理得
A

M

N

O

MN ? OM ? ON ? 2ON ? ? ?MON , 所以当 ?MON ? 180? 时,MN 最 OM cos
2 2 2

C

大为 5 命题意图:本题给出球的弦的定义,要求学生类比圆的方法去解决问题,考查学生的类比、归纳的合 情推理能力。 总之,以球为载体,考查球的性质和应用的试题是今后高考试题的一个发展趋向,值得我们认真去研 究。

3


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