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高中数学排列组合解题技巧有哪些


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高中数学排列组合解题技巧有哪些
排列组合问题的内容比较抽象,解题方法比较灵活,很多学生感到难学,尤其在解应用 题时不知从何入手。 针对上述情况, 本文从排列组合问题的解题原则和解题策略两方面阐述 了解排列组合应用题的方法,并附以相应的例题。 排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点,其思考方法独特,求解思路灵

活,因而在 解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误.虽然近几年高考将侧重点放在两个计数原理的 考察上,但当对问题类型把握准确时 ,解答的准确性上将会有很大的提升 ,解答速度也会大大 提高,本文结合教学实践探讨数学排列组合试题的解题技巧。 一、在具体的教学过程中一定要引导学生注意以下几点: 1、使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式 而定, “分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件,而“分步”必须把各步骤均 完成才能完成所给事件, 所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰, 相 互独立,彼此间交集为空集,并集为全集,不论哪类办法都能将事情单独完成,分步计数原 理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,步与步之间互不影响,即 前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。 2、处理排列、组合综合问题,一般思想是先选元素(组合) ,后排列,按元素的性质进 行“分类”和按事件的过程“分步” ,始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法,通过 解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能,保证每步独立,达到分类标准明确,分 步层次清楚,不重不漏。 3、在解决排列组合综合问题时,必须深刻理解排列组合的概念,能熟练地对问题进行 分类,牢记排列数与组合数公式与组合数性质,容易产生的错误是重复和遗漏计数。 二、具体的操作方法: 1、相邻捆绑、不邻插空法 对于某几个元素不相邻的排列问题, 可先将其他元素排好, 再将不相邻元素在已排好的 元素之间及两端空隙中插入即可。 例 16 名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()种。 a、720b、360c、240d、120 解:因甲、乙两人要排在一起,故将甲乙两人捆在一起视作一人,与其余四人进行全排 列,由乘法原理可知,共有 240 种不同排法,故选(c) 。 【解析】 :从上述解法可以看出,所谓“捆绑法” ,就是对元素进行整体处理的形象化表 述,体现数学中的整体思想。对于以“某些元素必须相邻”为附加条件的排列组合问题,只

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要把必须相邻的元素“捆”成一个整体,视作一个“大”元素,再考虑相邻元素内部的排列 或组合,就能保证这些元素相邻而不散乱。 2、插板法 一般解决相同元素分配问题,而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零),只 对分成的份数有要求。 例 2 把 20 台电脑分给 18 个村,要求每村至少分一台,共有多少种分配方法? a.190b.171c.153d.19 【答案】b。 【解析】此题的想法即是插板思想:在 20 电脑内部所形成的 19 个空中任 意插入 17 个板,这样即把其分成 18 份,那么共有:c(19,17)=c(19,2)=171 种。 3、特殊位置和特殊元素优先法 对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑。 例 3 从 6 名运动员中选 4 人参加 4×100 米接力,甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案各 有多少种? a.120b.240c.180d.60 【答案】b。 【解析】方法一:特殊位置优先法:首先填充第一棒,第一棒共有 5 个元素 可供选择,其次第 4 棒则有 4 个元素可以选择;然后第 2 棒则有 4 个元素可以选择,第 3 棒则有 3 个元素可以选择。则共有 5×4×4×3=240 种。 方法二:特殊元素优先法:首先考虑甲元素的位置 第一类,甲不参赛有 a(5,4)=120 种排法; 第二类,甲参赛,因只有两个位置可供选择,故有 2 种排法;其余 5 人占 3 个位置有 a(5,3)=60 种占法,故有 2×60=120 种方案。 所以有 120+120=240 种参赛方案。 4、分类法 解含有约束条件的排列组合问题, 应按元素性质进行分类, 按事情发生的连续过程分步, 保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。 例 4 三边长均为整数,且最大边长为 11 的三角形有多少个?

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解:设三角形的另外两个边分别为 x 和 y,要构成三角形,则分类讨论如下: 当 y 为 11 时,x 可以为:1,2,3,?,11,可有 11 个三角形; 当 y 为 10 时,x 可以为:2,3,4,?,10,可有 9 个三角形; 当 y 为 9 时,x 可以为:3,4,5,?,9,可有 7 个三角形; 当 y 为 8 时,x 可以为:4,5,6,7,8,可有 5 个三角形; 当 y 为 7 时,x 可以为:5,6,7,可有 3 个三角形; 当 y 为 6 时,x 可以为:6,只有 1 个三角形; 所以所求的三角形有 11+9+7+5+3+1=36 个。 总之, 课堂教学中教师应该发挥学生的主体意识和主观能动性, 让学生从具体问题的分 析过程中得到启发,逐步适应排列组合题的解题规律,从而做到以不变应万变。

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