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4.1.2 圆的一般方程


4.1.2 圆的一般方程

复 习:
(1) 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0,圆的标准方程为: x2 + y2 = r2 (2)点M(x0, y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2有三种关系:

( x0 ? a )2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点M在圆上 ( x0 ? a )2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点M在圆内 ( x0 ? a )2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ? 点M在圆外

练习
Y

求以c(1、3)为圆心,并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程.

C(1、3)

0

X

3x-4y-6=0

将圆的标准方程 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
展开,得

x ? y ? 2ax ? 2by ? a ? b ? r ? 0
2 2 2 2 2

可见,任何一个圆的方程都可以写成下面的形式:

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 反过来,x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 所表示的曲线是圆吗? 将方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 左边配方,得
D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4

D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? ( x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4
2 2

(1) 当 D2 ? E2 ? 4F ? 0 时,
2 2 D ? E ? 4F 为半径的圆 ; D E 方程表示以 (? , ? ) 为圆心、 2 2 2

(2) 当 D2 ? E2 ? 4F ? 0 时,

方程只有实数解x ? ? D 、y ? ? E , 方程表示一个点(? D , ? E); 2 2 2 2

(3) 当 D2 ? E2 ? 4F ? 0 时,
因而它不表示任何图形 . 方程没有实数解,

综上: 当 D2 ? E2 ? 4F ? 0 时,
方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示一个圆,

此方程叫做圆的一般方 程.

结 论: 任何一个圆的方程都可以写成:

x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的形式,
反过来, 当 D2 ? E2 ? 4F ? 0 时,

方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示一个圆.
比较圆的标准方程和圆的一般方程:
2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 圆的标准方程
2 2 2 2 圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 (D ? E ? 4F ? 0)

圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径, 而圆的一般方程突出了方程形式上的特点.

1. (1) 点(0,0)

2. (1) 圆心(3,0),半径为 3 (3) 圆心(a, 3 a),半径为 |a|

(2)以(1,-2)为圆心, 11为半径的圆 (2) 圆心(0,-b),半径为 |b| (3)以(-a,0)为圆心,

a 2 ? b 2 为半径的圆

思考:

x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 (D2 ? E2 ? 4F ? 0)

二元二次方程 Ax 2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的条件是什么? (1) x2 和 y2 的系数相同且不为 0 ,即A=C≠0; (2)没有 xy 这一项,即B=0 . D E F D F 2 2 2 2 E 2 2 ?+ yE x4 ? y ( ? ( ? -) 4? (> ) ?? 0 ?0 ( 3) )(xD) AF 0 A A AA A

例1.判断 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2) 、 C(7,1) 四点是否共圆,若共圆,求出圆的半径和圆心坐标. 解:设过O、A、B的圆的方程为: ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 则由O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)都在圆上得, 2 2 2 y (0 ? a) ? (0 ? b) ? r ① ③ .O ?a ? 4 由①-②得: a ? b ? 1 ? 0 ? 得 ? b ? ?3 由②-③得: 3a ? b ? 9 ? 0 ?r ? 5 ? 2 2 2 ∴过O、A、B圆方程为 ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 5 . (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? 52 成立. 将C(7,1)代入方程:

(1 ? a)2 ? (1 ? b)2 ? r 2 (4 ? a)2 ? (2 ? b)2 ? r 2



A

.

.B

.C
x

? 3) ,半径5 . ∴ O、A、B、 C 四点共圆,圆心(4 ,

例1.判断 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2) 、 C(7,1) 四点是否共圆,若共圆,求出圆的半径和圆心坐标.
解 2: 设过O、A、B的圆方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
F ?0 ?F ? 0 则 ? ? ? ? ? D ? ?8 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ? E ? 6 ? ?
y
A

∴过O、A、B的圆方程为:

.O

.

.B

.C
x

x2 ? y2 ? 8x ? 6 y ? 0 将C(7,1)代入方程:7 2 ? 12 ? 8 ? 7 ? 6 ? 1 ? 0 成立.

圆心(4 , ? 3) ,半径5 . ∴ O、A、B、 C 四点共圆,
2 2 2 2 ? E 2 ? 4F D E D ( x(? ?(y ? 3) ? 5 . 圆心 ? 4), ? ) 、半径 . 2 2 2

例1.判断 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2) 、 C(7,1) 四点是否共圆,若共圆,求出圆的半径和圆心坐标. 解3: 由已知得,线段 OA、OB 的中点坐标分别为
1 1 1 kOB ? . 斜率为: kOA ? 1 , P( , ) 、 Q( 2 , 1) , 2 2 2
y
A

∴ 线段 OA、OB 中垂线方程分别为 1 1 y ? ? ?( x ? ) 2 2

y ? 1 ? ?2( x ? 2)
y ? ?3 . 解方程组得: x ? 4 ,

.O

.

.B
.C

.C
x

? 圆心C (4 , ? 3) , 半径r ?| OC |? 5 .

∴过O、A、B的圆方程为 ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 .

说明:一般地,求圆的方程有两种方法:

(1) 待定系数法:即设出圆的标准方程或一般方程, 利用条件求系数 . (2) 几何分析法:即利用平面几何中的有关性质求解 .
2 2 2 圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2 2 ( D ? E ? 4F ? 0) x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 圆的一般方程

例2、如下图,已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程.
y

M

B

A
o x

轨迹方程是指动点的坐标(x,y)满足的关系式。

练习:已知一曲线是与两个定点 O(0,0)、A(3,0) 距离的比为 1 2 的点的轨迹,求此曲线方程,并画出曲线. 解: 设点 M (x,y) 是曲线上的任 意一点,则
| OM | 1 ? | AM | 2
M
y

.
o



1 ? ( x ? 3)2 ? y 2 2

x ?y
2

2

A

x

化简得 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 即为所求的曲线方程.

配方 (x ? 1)2 ? y2 ? 4
曲线是以 C(-1,0) 为圆心,2为半径的圆,如图。

小 结:
但是方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的曲线不一定是圆 ,
只有在 D2 ? E2 ? 4F ? 0 时,
2 2 D ? E ? 4F 为半径的圆 ; D E 方程表示以 (? , ? ) 为圆心、 2 2 2

x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的形式, (1)任何一个圆的方程都可以写成:

(2) 一般地,求圆的方程有两种方法: ① 待定系数法:即设出圆的标准方程或一般方程,利用条件求系数 .

② 几何分析法:即利用平面几何中的有关性质求解 .

思考

已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一 y 点M(x0,y0)的切线方程.
M ( x0 , y 0 )
O

x

即 则由题意 即

| k ?1 ? 2 ? 2k ? 1 | k ? (?1)
2 2

? 2

故所求切线方程为:7 x ? y ?15 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .

则过切点A、过切点B的切线方程为:

PA : ( x1 ?1)(x ?1) ? ( y1 ? 2)( y ? 2) ? 2 PB : ( x2 ?1)(x ?1) ? ( y2 ? 2)( y ? 2) ? 2
∵ 切线 PA、PB 都过点 P (2,-1) ∴ 有 x1 ? 3 y1 ? 3 ? 0 ①

x2 ? 3 y2 ? 3 ? 0



x ? 3y ? 3 ? 0

例3:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的 y 长度(精确到0.01m)
解:建系如图, 由题意可设圆的方程: x2 + (y-b)2 = r2 因P(0,4)、B(10,0)都在圆上, 02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2 解得:b= -10.5 , r2=14.52 . x

所以圆的方程是: x2 +(y+10.5)2 = 14.52 把点P2的横坐标 x = -2 代入圆的方程,得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答:支柱A2P2的长度约为3.86m。

例3:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m, 拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m)
y 思考

利用圆的几 何性质,你能否 用直线方程求出 圆心坐标?进而 写出圆的方程?

x

C1

0) (a ? 4),B(0,b) (b ? 4),直线AB与圆 例4 已知点 A(a, x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 3 ? 0 相交于C、D 两点,且| CD |? 2 . (1) 求 (a ? 4)(b ? 4) 的值; (2) 求线段 AB 中点M的轨迹方程;

(3) 求 ?AOB 面积的最小值.

(1) 由题意知直线AB : 解:


b?4) bx ? ay ? ab ? 0 (a ? 4 , 且 | CD | ? 2 . 又由圆: ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 5,

x ? y ? 1 (a ? 4 , b?4) a b
y

知圆心到直线AB的距离 d ? 2 , 即

B 4 2 -2 O -2

D
E

.

M

C
x

| 2b ? 2a ? ab | a ?b
2 2

?2

2 4 A

化简为 ab ? 8 ? 4a ? 4b ? 0 ,

? (a ? 4)(b ? 4) ? 8 .

(2) 设线段 AB 的中点 M(x , y) ,则

x ? a?0, y ? 0?b 由中点坐标公式得: 2 2

y

即 a ? 2x , b ? 2y 将它代入 (a ? 4)(b ? 4) ? 8

B 4 2 -2

D
E

.

M

C
x

得( (2 xx ?? 24 )( y2 ? )4 ? )( y2 ? )4 ? 8 ( x ? 2 ,y ? 2)
即为所求线段 AB中点的轨迹方程.
(3) S?AOM ? 1 | OA | ? | yM | ? 1 a ? b ? 1 ab 2 2 2 4

O -2

2 4 A

由 (a ? 4)(b ? 4) ? 8 得 ab ? 4a ? 4b ? 8

? S?AOM ? a ? b ? 2 ? (a ? 4) ? (b ? 4) ? 6 ? 4 2 ( ?6 4)(b ? 4) ? 6 2a?
当且仅当 a ? 4 ? b ? 4 即 a ? b ? 2 2 ? 4 时, (a ? 4)(b ? 4) ? 8 ? (S?AOB )min ? 4 2 ? 6 .

2



② ③

( x1 ? ? x2 )2 ? ?4 36 x1x2 ? 36





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