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解析几何A卷答案


杭州师范大学理学院 2010—2011 学年第一学期期末试卷 《解析几何》试卷(A)

题目 得分











总分

一、是非题(设 a , b , c 为非零向量,下列等式是否成立?成立打√,不成立

打×。
姓名: 线

? ? ?

每小题 2 分,共 20 分)
则 1.若 a ? b ? 0 , a ? 0 或 b ? 0 。 ? ? ? ? ? ? ?

( ( ( (

× × √ √

) ) ) )
? ? ?
, , 3 3 3

2.若 a ? 0 , a ? b ? a ? c ,则 b ? c 。 订 3.若 a ? b ? b ? c ? c ? a ? 0 , 则 a , b , c 共面。 4.向量 a ( b ? c ) ? b ( a ? c ) 与 c 恒垂直。
? ? ? ? ? ?

?

? ? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

?

5 . 与 O x, O y, O z 三 个 坐 标 轴 之 正 向 有 相 等 夹 角 的 向 量 , 其 方 向 角 必 为 装 ( × 6.直线 学号: )
x 3 ? y ?2 ? z 7
2 2 2

与平面 3 x ? 2 y ? 7 z ? 8 平行。



×

) ( (

7.点 C (1, 3 , ? 2 ) 是球面 x ? y ? z ? 2 x ? 6 y ? 4 z ? 0 的球心。 8. 3 x ? y ? 2 z ? 2 y ? 1 表示的二次曲面是双叶双曲面。
2 2 2

√ × √

) )

9.平面 z ? 1 截曲面 z ?

x

2

?

y

2

所得截口曲线为一椭圆。





4

9

z ?x 2 2 2 ? 0 x y z ? ? 10.直线 ? a c 不在曲面 2 ? 2 ? 2 ? 1 上。 a b c ?y ? b ?



×



二、填空题(每空 2 分,共 34 分。)
1. a ? {1,1, 0}, b ? {1, 0 ,1}, c ? { 2 ,3 ,3} ,则 ( a ? b ) ? c ? 班级:
? ? ? ? ? ?
? ? ?

-4
? ? ? ?

。 -3/2 。 。

2.设 a , b , c 是单位矢量,且 a ? b ? c ? 0 ,那么 b ? c ? c ? a ? a ? b ? 3.平面 2 x ? y ? 0 与平面 x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 的相关位置是 相交

?

?

?

?

? ?

i 4. 一直线与三坐标轴间的夹角分别为 ? 、? 、? , s 则n
1

2

? ?s n i
1 2

2

? ?s n i

2

? =

2



5.点 (1,1,1) 在平面 x ? 2 y ? 3 z ? 1 ? 0 上的射影点为 ( , 0 , ?
2

)。

6. ?

? A1 x ? B 1 y ? C 1 z ? D 1 ? 0 ? A2 x ? B 2 y ? C 2 z ? D 2 ? 0

与 x 轴平行的条件是 A1 ? A 2 ? 0 , D 1 与 D 2 不全为零

, x 与

轴重合的条件是 A1 ? A 2 ? D 1 ? D 2 ? 0 。
2 2 ? 2 ?x ? y ? z ? 1

7. 曲线 L : ?

?x ? 2 y ? 3z ?
2 2

2

? 2

对 YOZ 坐标面的射影柱面方程为 y 2 ? 2 z 2 ? 1 。

? x ? 4t ? 3 ?x ? 2z ? 3 ? 2 8.参数方程 ? y ? ( t ? 1) ( ?? ? t ? ?? ) 的一般方程是 ? 。 2 ? y ? ( z / 2 ? 1) ? z ? 2t ?

9. 设动点与 ( 4 , 0 , 0 ) 的距离等 于这点到平 面 x ? 1 的距离的两倍,那么 动点的轨迹 为
3 x ? y ? z ? 12 ? 0 。
2 2 2

10.平面 x ? 2 y ? 2 z ? 3 ? 0 的法式方程为 ? 1 。

1 3

x?

2 3

y?

2 3

z ? 1 ? 0 ,原点到平面的距离

? y 2 ? 2 pz , 2 2 11.抛物线 ? 绕它的对称轴旋转产生的曲面方程为 x ? y ? 2 pz 。 ?x ? 0

12.方程 3 ( x ? y ) ? 16 z 表示
2 2

旋转抛物面 曲面,方程 z ? 圆

25 ? x ? y 表示
2 2

半球 曲面,它们的交线是

? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 25 , 曲线,其方程是 ? 。 ? z ? 3.

三、作图题(写出图形名称,共 6 分)
x
2

得分

?

y

2

? z ?1

4

9

(1)椭圆抛物面. (2)

10 y 0

-10 10

5 z 0

-5

-5 0 x 5

四、计算题(每小题 10 分,共 30 分。 )
1.求经过直线 ?
?x ? 5y ? z ? 0 ? x? z?4 ? 0

且与平面 ? : x ? 4 y ? 8 z ? 12 ? 0 组成

?
4

角的平面方程。

解:设经过直线 ?

?x ? 5y ? z ? 0 ? x? z?4 ? 0

的平面方程为

l ( x ? 5 y ? z ) ? m ( x ? z ? 4) ? 0 ,

整理得
( l ? m ) x ? 5 ly ? ( l ? m ) z ? 4 ? 0

它与平面 ? : x ? 4 y ? 8 z ? 12 ? 0 的交角为 所以
cos

?
4



?
4

?

2 2

? ?

| l ? m ? 20 l ? 8 l ? 8 m | ( l ? m ) ? 25 l ? ( l ? m )
2 2 2

1 ? 16 ? 64

可得 l ? 0



l : m ? 4 : ( ? 3) x ? 20 y ? 7 z ? 12 ? 0

所以平面方程为 x ? z ? 4 ? 0 或

2. 已知直线 l1 :

x?3 2

?

y 1

?

z ?1 0

和 l2 :

x ?1 1

?

y?2 0

?

z 1

,

(1)验证 l1 和 l 2 是异面直线; (2)求 l1 和 l 2 的公垂线方程和它们之间的距离。

解: (1)
4 ? ? 2 1 ?2 1 0 1 0 ? 7 ? 0 1

所以 l1 和 l 2 是异面直线 (2)
x 2 ? x1 X1 d ? Y1 Y2 ? 1 0 ? 0 1 7 1 ? ?? 2 ? ? ?? 1 ?
2 2 2 2

y 2 ? y1 Y1 Y2

z 2 ? z1 Z1 Z2

X Z1 Z2

2 2

? 7

Z1 Z2

X1 X
2

2

?

X1 X
2

Y1 Y2

2

?

0 1

2 1

2

?

2 1 ?

1 0 7

2

6

公垂线方程为
?x?3 ? 2 ? ? 1 ? ? x ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? y 1 ?2 y?2 0 ?2 z ?1 0 ?1 z 1 ? 0 ?1 ? 0


?x ? 2 y ? 5z ? 8 ? 0 ? ? x ? y ? z ?1 ? 0

3.求直线

x 2

?

y 1

?

z ?1 1

绕直线

x 1

?

y ?1

?

z ?1 2

旋转所得的圆锥面方程。

解:设 M 1 ( x1 , y 1 , z 1 ) 是母线上的任意点,因为旋转轴通过(0,0,1)点,所以过 M 1 的纬 圆方程是:
? ( x ? x1 ) ? ( y ? y 1 ) ? 2 ( z ? z 1 ) ? 0 ? 2 2 2 2 2 2 ? x ? y ? ( z ? 1) ? x 1 ? y 1 ? ( z 1 ? 1)

由于 M 1 ( x1 , y 1 , z 1 ) 在母线上,所以有

x1 2

?

y1 1

?

z1 ? 1 1

消去 x1 , y 1 , z 1 ,得圆锥面的方程为
3 ( x ? y ? z ? 2 z ? 1) ? 2 ( x ? y ? 2 z ? 2 )
2 2 2 2


x ? y ? 5 z ? 4 xy ? 8 xz ? 8 yz ? 8 x ? 8 y ? 2 z ? 5 ? 0
2 2 2

五、综合题(共 10 分)
已知曲面 x ? y ? 2 z 。
2 2

(1)写出 x ? y ? 2 z 的两族直母线;
2 2

(2)求出两族直母线在 xOz 平面上的射影直线;
?x2 ? 2z (3)证明这两族射影直线与抛物线 ? 相切。 ?y ? 0

解: (1) ?

? x ? y ? 2u ?u ( x ? y ) ? z

与?

? x ? y ? 2v ?v ( x ? y ) ? z



(2) u 族直母线在 xOz 平面上的射影直线为
? 2 ux ? z ? 2 u 2 ? 0 ? ?y ? 0
v 族直母线在 xOz 平面上的射影直线为

? 2 vx ? z ? 2 v 2 ? 0 ? ?y ? 0

(3)在 xOz 平面上考虑抛物线 ?

?x2 ? 2z ?y ? 0

与直线 ?

? 2 ux ? z ? 2 u 2 ? 0 ?y ? 0

的交点联立

? 2 ux ? z ? 2 u 2 ? 0 ? 2 ?x ? 2z ?x2 ? 2z dz 得一个交点 ?2 u , 2 u ? 。 ? 两边对 x 求导数, dx ?y ? 0
2

? 2 u ,所以过点 ?2 u , 2 u
x?2u

2

?的

切线为 ?
?

? z ? 2 u 2 ? 2 u ? x ? 2 u ?, y ? 0, ?x2 ? 2z ?y ? 0

即?

? 2 ux ? z ? 2 u 2 ? 0 ?y ? 0

。所以它们相切。同理可证另外一族

直母线与抛物线 ?

也相切。


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