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【全程复习方略】(福建专用)2013版高中数学 单元评估检测(七)训练 理 新人教A版


"【全程复习方略】 (福建专用)2013 版高中数学 单元评估检测(七)训练 理 新 人教 A 版 "
(第七章) (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.已知直线 a、b 是两条异面直线,直线 c 平行于直线 a,则直线 c 与直线 b

( ) (A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线 (C)不可能是平行直线 (D)不可能是相交直线 2.在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是 ( ) (A)

3 ? 2

(B)

5 ? 2

(C)

7 ? 2

(D)

9 ? 2

3.如图,在空间四边形 ABCD 中,点 E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 BC、CD 上的点,且

CF CG 2 ? ? ,则( CB CD 3

)

(A)EF 与 GH 互相平行 (B)EF 与 GH 异面 (C)EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上,也可能不在直线 AC 上 (D)EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上 4.(2012·泉州模拟)设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( (A)若 l⊥m,m? α ,则 l⊥α (B)若 l⊥α ,l∥m,则 m⊥α (C)若 l∥α ,m? α ,则 l∥m (D)若 l∥α ,m∥α ,则 l∥m 5.(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) )

-1-

(A)48 (C)48+ 8 17

(B)32+ 8 17 (D)80

6.(易错题)如图,下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点,能 得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( )

(A)①④ (B)②④ (C)①③④ (D)①③ 7.如图,平行四边形 ABCD 中,AB⊥BD,沿 BD 将△ABD 折起,使面 ABD⊥面 BCD,连接 AC,则在四面体 ABCD 的四个面中,互相垂直的平面的对数为( )

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 8.(2012·珠海模拟)如图为棱长是 1 的正方体的表面展开图,在原正方体中,给出下列三个命题: ①点 M 到 AB 的距离为

2 ; 2

②三棱锥 C-DNE 的体积是

1 ; 6
-2-

③AB 与 EF 所成的角是

? . 2
)

其中正确命题的个数是(

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

9.(2012·宁德模拟)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 R 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一 个大圆上,且该正三棱锥的体积是

3 ,则球的体积为( 4

)

? A?

1 4 32 1 ?????????? B? ?????????? C ? ????????????? D ? ? 3 3 3 6

10.(2012·北京模拟)如图,四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 2 ,BD⊥CD. 将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A′BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,则下列结论正确的是( )

(A)A′C⊥BD (B)∠BA′C=90° (C)CA′与平面 A′BD 所成的角为 30° (D)四面体 A′-BCD 的体积为

1 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 11.已知三个球的半径 R1,R2,R3 满足 R1+2R2=3R3,则它们的表面积 S1,S2,S3 满足的等量关系是___________. 12.如图,在正三棱柱 ABC -A1B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点,若截面△BC1D 是面积为 6 的直角三角形,则此三 棱柱的体积为__________.

-3-

13.(2012·宜春模拟)三棱锥 S-ABC 中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC 是斜边 AB=a 的等腰直角三角形,给出 以下结论:

①异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90°; ②直线 SB⊥平面 ABC; ③平面 SBC⊥平面 SAC; ④点 C 到平面 SAB 的距离是

1 a. 2

其中正确结论的序号是__________. 14.(2012·三明模拟)在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,过对角线 BD′的一个平面交 AA′于 E,交 CC′ 于 F, ①四边形 BFD′E 一定是平行四边形 ②四边形 BFD′E 有可能是正方形 ③四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 ④四边形 BFD′E 有可能垂直于平面 BB′D 以上结论正确的为_______.(写出所有正确结论的编号) 15.等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB,二面角 C-AB-D 的余弦值为 点,则 EM,AN 所成角的余弦值等于_____. 三 、解答题(本大题共 6 小 题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(13 分)(2011· 陕西高考)如图, 在△ABC 中, ∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD 是 BC 上的高, 沿 AD 把△ABD 折起,使∠BDC=90°.
-4-

3 , M,N 分别是 AC,BC 的中 3

(1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2)设 E 为 BC 的中点,求 AE 与 DB 夹角的余弦值.

??? ?

??? ?

17.(13 分)如图,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4.E、F 分别是棱 CC1、AB 的中点.

(1)求证:CF⊥BB1; (2)求四棱锥 A-ECBB1 的体积. 18.(13 分) (预测题)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 底面是边长为 2 3 的正三角形,点 A1 在底面 ABC 上的射影 O 恰是 BC 的中点. (1)当侧棱 AA1 和底面成 45°角时,求二面角 A1-AC-B 的余弦值; (2)若 D 为侧棱 A1A 上一点,当

A1 D 为何值时,BD⊥A1C1. DA

19.(13 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=5,D,E 分别为 BC,BB1 的中点,四边形 B1BCC1 是边长 为 6 的正方形. (1)求证:A1B∥平面 AC1D; (2)求证:CE⊥平面 AC1D; (3)求二面角 C-AC1-D 的余弦值.

-5-

20.(14 分)(2011· 新课标全国卷)如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, ∠DAB=60°, AB=2AD, PD⊥底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高.

21.(14 分) (探究题) 如图, 已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体, 点 E 在 AA1 上, 点 F 在 CC1 上, 且 AE=FC1=1.

(1)求证:E,B,F,D1 四点共面; (2)若点 G 在 BC 上, BG ?

2 ,点 M 在 BB1 上,GM⊥BF,垂足为 H,求证:EM⊥平面 BCC1B1; 3

(3)用θ 表示截面 EBFD1 和侧面 BCC1B1 所成的锐二面角的大小,求 tanθ .

答案解析 1.【解析】选 C.若 c∥b,∵c∥a,∴a∥b,与已知矛盾. 2.【解题指南】△ABC 绕直线 BC 旋转一周后所得几何体为一圆锥,但其内部缺少一部分.用大圆锥的体积 减去小圆锥的体积即为所求几何体的体积. 【解析】选 A.旋转后得到的几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥.故所求体积为 V=V 大圆锥-V 小圆锥=

1 π 3
-6-

r (1+1.5-1)=

2

3 ?. 2 1 FG 2 BD, ? , 2 BD 3

3.【解析】选 D.依题意可得 EH∥BD,FG∥BD,故 EH∥FG,所以 E、F、G、H 共面,因为 EH=

故 EH≠FG,所 以四边形 EFGH 是梯形,EF 与 GH 必相交,设交点为 M,因为点 M 在 EF 上,故点 M 在平面 ACB 上,同理,点 M 在平面 ACD 上,即点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点,而 AC 是这两个平面的交线,所以 点 M 一定在平面 ACB 与平面 ACD 的交线 AC 上,故选 D. 4. 【解析】选 B.根据线面垂直的判定与性质,可知 B 正确,而 A 中由 l⊥m,m? α 可推出 l 与α 关系可能 l∥α ,可能 l 与α 相交,又可能 l? α ;C 中 l 与 m 可能平行也可能异面;D 中 l 与 m 可能相交,也可能平行或异面,故选 B. 5.【解题指南】由三视图得到几何体的直观图,根据直观图求得几何体的表面积. 【解析】选 C.由三视图知该几何体的直观图如图所示.

几何体的下底面是边长为 4 的正方形;上底面是长为 4、宽为 2 的矩形;两个梯形侧面垂直于底面,上底 长为 2、下底长为 4、高为 4;另两个侧面是矩形,且宽为 4、长为 4 ? 1 ? 17 .
2 2

所以 S 表=4 +2×4+

2

1 ×(2+4)×4×2+4× 17 ×2=48+8 17 . 2

6. 【解析】选 D.①取前面棱的中点,证 AB 平行于平面 MNP 即可;③可证 AB 与 MP 平行. 7.【解析】选 B.因为 AB⊥BD,面 ABD⊥面 BCD,且交线为 BD,故有 AB⊥面 BCD,则面 ABC⊥面 BCD,同理 CD⊥面 ABD,则面 ACD⊥面 ABD,因此共有 3 对互相垂直的平面. 8.【解析】选 D.依题意可作出正方体的直观图如图, 显然 M 到 AB 的距离为 而 VC?DNE ?

1 2 MC ? ,∴ ①正确, 2 2

1 1 1 ? ?1?1?1 ? ,∴②正确, 3 2 6

AB 与 EF 所成的角等于 AB 与 MC 所成的角,即为 ∴③正确.

? , 2

9. 【解析】选 B.设球的半径为 R,则正三棱锥的底面边长为 3 R,高为 R,

-7-

1 3 3 2 ? V ? ? ( 3R) ?R= , ? R= 1, 3 4 4 4 4 ? V球= ?R 3= ?. 3 3
10.【解析】选 B.在题图(2)中取 BD 的中点 M,连接 MC、A′M. ∵A′B=A′D,∴A′M⊥BD. 又∵平面 A′BD⊥平面 BCD, ∴A′M⊥平面 BCD. ①选项 A 中,若 A′C⊥BD,那么 BD⊥平面 A′MC? BD⊥MC. 而 BD⊥CD,显然 BD⊥MC 不可能, ∴A 不正确; ②选项 B 中,∵BD⊥CD 且平面 A′BD⊥平面 BCD, 可得 CD⊥平面 A′BD,可知 CD⊥A′D, 在△A′CD 中,A′D=CD=1? A′C= 2 . 又∵A′B=1,∴ CB ?
2

BD2 ? CD2 ? 2 ? 1 ? 3 .
2 2

∴在△A′BC 中,A′B +A′C =BC , ∴∠BA′C=90°,故 B 正确; ③选项 C 中,由②分析知,∠CA′D 即为 CA′与平面 A′BD 所成的角, 在 Rt△A′DC 中,

cos?CA?D ?

A?D 1 2 ? ? , A?C 2 2

∴∠CA′D 为 45°,故 C 不正确; ④选项 D 中,由①知 A′M⊥平面 BCD,得 VA′-BCD=

1 S△BCD×A′M 3

1 1 2 1 ? ? ? 2 ? 1? ? ,故 D 不正确.故选 B. 3 2 2 6
11. 【解析】S1=4π R1 , S1 ? 2 ?R1 ,
2

同理: S2 ? 2 ?R 2,S3 ? 2 ?R 3 , 故 R1 ?

S1 2 ?

,R 2 ?

S2 2 ?

,R 3 ?

S3 2 ?



由 R1+2R2=3R3, 得 S1 ? 2 S2 ? 3 S3 . 答案: S1 ? 2 S2 ? 3 S3 12.【解析】设正三棱柱的底面边长为 a,高为 2h,则 BD=C1D= a +h ,
-82 2

BC1 ? a 2+4h 2 ,由△BC1D 是面积为 6 的直角三角形,

? 2 ? (a 2+h 2 ) ? a 2+4h 2 ?a 2 ? 8 ? 得 ?1 2 ,解得 , ? 2 ?h ? 2 ? (a +h ) ? 6 ?2
故此三棱柱的体积为 V ? 答案: 8 3 13.【解析】由题意知 AC⊥平面 SBC, 故 AC⊥SB,SB⊥平面 ABC, 平面 SBC⊥平面 SAC, ①②③正确; 取 AB 的中点 E, 连接 CE, 可证得 CE⊥平面 SAB, 故 CE 的长度即为 C 到平面 SAB 的距离,为 ④正确. 答案:①②③④ 14.【解析】根据平行平面的性质可知①正确,③正确.当 E、F 分别为 AA′, CC′的中点时四边形 BFD′E 与平面 BB′D 垂直,故④正确;当 E、F 分别为 AA′、CC′的中点时,四边形 BFD′E 虽然为菱形,但对角线 EF 与 BD′不相等,故 BFD′E 不可能为正方 形,即②不正确. 答案:①③④ 15.【解析】设 AB=2,作 CO⊥平面 ABDE,OH⊥AB,则 CH⊥AB,∠CHO 为二面角 C-AB-D 的平面 角,CH= 3 ,OH=CH·cos∠CHO=1,结合等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥,则

1 ? 8 ? sin 60?? 4 ? 8 3 . 2

1 a, 2

AN ? EM ? CH ? 3. ???? 1 ??? ? ??? ? ???? 1 ??? ? ??? ? AN ? AB ? AC , EM ? AC ? AE, 2 2 ???? ???? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 AN ?EM ? AB ? AC ?( AC ? AE) ? . 2 2 2 ???? ???? AN ?EM 1 故 EM,AN 所成角的余弦值为 ?????????? ? . AN EM 6

?

?

?

?

答案:

1 6

16.【解析】(1)∵折起前 AD 是 BC 边上的高, ∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB∩DC=D,∴AD⊥平面 BDC, ∵AD? 平面 ABD. ∴平面 ABD⊥平面 BDC.
-9-

(2)由∠BDC=90°及(1)知 DA,DB,DC 两两垂直,不妨设|DB|=1,以 D 为坐标原点,以 DB, DC, DA 所在 直线为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,

??? ? ??? ? ????

易得 D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0, 3 ),

1 3 2 2 ??? ? ??? ? 1 3 ∴ AE ? ( , , ? 3), DB ? (1, 0,0) , 2 2 ??? ? ??? ? ∴ AE 与 DB 夹角的余弦值为
E( ,, 0 ),

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE?DB ? ??? ? ? cos<AE, DB> ? ??? | AE |? | DB |

1 2 1? 22 4

?

22 . 22

17.【解析】(1)∵三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱, ∴BB1⊥平面 ABC, 又∵CF? 平面 ABC, ∴CF⊥BB1. (2)∵三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱, ∴BB1⊥平面 ABC, 又∵AC? 平面 ABC,∴AC⊥BB1, ∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC, ∵BB1∩BC=B.∴AC⊥平面 ECBB1, ∴ VA?ECBB1 ? S四边形ECBB ? AC , 1

1 3

1 AA1=2, 2 1 1 ∴ S四边形ECBB ? ? EC ? BB1 ?? BC ? ? ? 2 ? 4 ? ? 2 ? 6 , 1 2 2 1 1 ∴ VA?ECBB1 ? S四边形ECBB ? AC ? ? 6 ? 2 ? 4 . 1 3 3
∵E 是棱 CC1 的中点,∴EC= 18.【解析】以 O 点为原点,OC 所在直线为 x 轴, OA 所在直线为 y 轴,OA1 所在直线为 z 轴建立 空间直角坐标系.
- 10 -

(1)由题意知∠A1AO=45°,A1O=3. ∴O(0,0,0),C( 3 ,0,0), A(0,3,0),A1(0,0,3), B( ? 3 ,0,0). 设面 ACA1 的法向量为 n1 =(x,y,z),

??? ? ?n1 ?AC ? ? x, y, z ?? 3, ?3, 0 ? 3x ? 3y ? 0 ? 则 ? ???? , ? ? 0, ?3,3? ? ?3y ? 3z ? 0 ?n1 ?AA1 ? ? x, y, z ??

?

?

令 z=1,则 x=

3 ,y=1,∴ n1 ?

?

3,1,1 ,

?

而面 ABC 的法向量为 n 2 =(0,0,1),

cos〈n1 , n 2〉 ?

3 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1? 1 12 ? 12 ?

? 3? ? 1
2

?

1 , 5

又显然所求二面角的平面角为锐角, ∴所求二面角的余弦值为

5 . 5
2 2 a, a), 2 2

(2)A1C1∥AC,故只需 BD⊥AC 即可,设 AD=a,则 D(0,3 ?

又 B( ? 3 ,0,0) ,则 BD ? ( 3,3 ?

??? ?

2 2 a, a), 2 2

??? ? AC ?

?

3, ?3, 0 .

?

AC ? 3 ? 3(3 ? 要使 BD⊥AC,需 BD?
得 a ? 2 2, 而AA1 ? 3 2,? A1D ?

??? ? ??? ?

2 a)=0, 2
2,

?

A1D 2 1 ? ? . DA 2 2 2

19.【解析】(1)连接 A1C,与 AC1 交于 O 点,连接 OD.

- 11 -

因为 O,D 分别为 AC1 和 BC 的中点, 所以 OD∥A1B. 又 OD? 平面 AC1D,A1B ? 平面 AC1D, 所以 A1B∥平面 AC1D. (2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, BB1⊥平面 ABC,又 AD? 平面 ABC, 所以 BB1⊥AD. 因为 AB=AC,D 为 BC 的中点, 所以 AD⊥BC.又 BC∩BB1=B, 所以 AD⊥平面 B1BCC1. 又 CE? 平面 B1BCC1,所以 AD⊥CE. 因为四边形 B1BCC1 为正方形,D,E 分别为 BC,BB1 的中点, 所以 Rt△CBE≌Rt△C1CD,∠CC1D=∠BCE. 所以∠BCE+∠C1DC=90°.所以 C1D⊥CE. 又 AD∩C1D=D, 所以 CE⊥平面 AC1D. (3)如图,以 B1C1 的中点 G 为原点,建立空间直角坐标系. 则 A(0,6,4),E(3,3,0),C(-3,6,0),C 1(-3,0,0). 由(2)知 CE⊥平面 AC1D, 所以 CE = (6,-3,0)为平面 AC1D 的一个法向量.

??? ?

设 n =(x,y,z)为平面 ACC1 的一个法向量,

???? ? ??? ? AC =(-3,0,-4), CC1 =(0,-6,0).

- 12 -

??? ? ? n ? AC ? 0, ? ?3x ? 4z ? 0, ? 由 ? ???? 可得 ? ? ? ?6y ? 0. ? ?n?CC1 ? 0. 3 令 x=1,则 y=0, z ? ? . 4 3 所以 n ? (1, 0, ? ) . 4 ??? ? ??? ? CE ? n 8 ? ? 5. 从而 cos<CE, n > ? ??? | CE |? | n | 25
因为二面角 C-AC1-D 为锐角, 所以二面角 C-AC1-D 的余弦值为

8 5 . 25

20.【解析】(1)因为∠DAB=60°,AB=2AD, 由余弦定理得 BD= 3 AD, 从而 BD +AD = AB ,故 BD⊥AD, 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD,又 PD∩AD=D, 所以 BD⊥平面 PAD,故 PA⊥BD. (2)如图,作 DE⊥PB,垂足为 E.
2 2 2

已知 PD⊥底面 ABCD,则 PD⊥BC. 由(1)知 BD⊥AD, 又 BC∥AD,所以 BC⊥BD,因为 BD∩PD=D, 故 BC⊥平面 PBD,所以 BC⊥DE. 则 DE⊥平面 PBC. 由题设知,PD=1,则 BD= 3 ,PB=2, 根据 DE·PB=PD·BD,得 DE ?

3 , 2

即棱锥 D-PBC 的高为

3 . 2
???? ?

21.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 BE =(3,0,1), BF =(0,3,2), BD1 =(3,3,3), 所以 BD1 ? BE ? BF ,
- 13 -

??? ?

??? ?

???? ?

??? ? ??? ?

故 BD1 , BE , BF 共面. 又它们有公共点 B, 所以 E,B,F,D1 四点共面. (2)设 M(0,0,z),则 GM ? (0, ? , z) , 而 BF =(0,3,2), 由题设得 GM? BF ? ? ? 3 ? z?2 ? 0 , 得 z=1.因为 M(0,0,1),E(3,0,1),有 ME =(3,0,0), 又 BB1 =(0,0,3), BC =(0,3,0),

???? ?

??? ?

??? ?

???? ?

2 3

??? ?

???? ? ??? ?

2 3

????

???? ?

??? ?

BB1 ? 0, ME?BC ? 0, 所以 ME?
从而 ME⊥BB1,ME⊥BC. 又 BB1∩BC=B, 故 ME⊥平面 BCC1B1. (3)设向量 BP =(x,y,3)且 BP⊥截面 EBFD1,

???? ???? ?

???? ??? ?

??? ?

, BP ? BF . 于是 BP ? BE
而 BE =(3,0,1), BF =(0,3,2), 得 BP · BE =3x+3=0, BP · BF =3y+6= 0, 解得 x=-1,y=-2, 所以 BP =(-1,-2,3) . 又 BA =(3,0,0)且 BA⊥平面 BCC1B1, 所以 BP 和 BA 的夹角等于θ 或π -θ (θ 为锐角).

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? | BP?BA | 1 ? ??? ? ? 于是 cos? ? ??? . | BP |? | BA | 14
故 tanθ = 13 .

- 14 -


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