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必修4 第三章 三角恒等变换 题库


必修 4 第三章 三角恒等变换 题库
3.1 两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 练习题

1.(2005 年全国卷Ⅰ)当

时,函数

的最小值为 ( )

(A)2

(B)

(C)4

(D) ( ) (D)3
<

br />2. (2006 全国 II)若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)= (A)3-cos2x (B)3-sin2x (C)3+cos2x +sin2x
2 3 5

3. (2006 湖北卷) ? A B C 的内角 A 满足 若
15 ? 15 3

sin 2 A ?

, sin A ? cos A ? ( 则
? 5 3

)

A.

3

B.

C. 3

D.

4.(江西理

?π ? tan ? ? ? ? ? 3 ?4 ? 3)若 ,则 co t ?

等于(



A. ? 2

?

1

1

B. 2

C. 2

D. 2

c o s 2? π? ? sin ? ? ? ? 4? ? 9)若

? ?

2 2

5.(海、宁文理
? 7 2

,则 cos ? ? sin ? 的值为(
1
7



?

1

A.

B. 2

C. 2

D. 2

co t A ? ?

12 5

6.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中,

,则 cos A ?

(

)

12

5

(A) 1 3

(B) 1 3

(C)

?

5 13

(D) 1 3

?

12

7.(陕西文理 4)已知
? 3 5

sin ? ?

5 5

,则 sin
1 5

4

? ? cos

4

?

的值为
1 3

(

)

(A)

(B)
?

?

(C) 5

(D) 5

? x?

?
2
3 , 则函数 y ? tan 2 x tan x 的最大值为

8. 2009 全国卷Ⅰ理) 4 ( 若 A. 2 B. -2

(

)

C.

3

D. -3

9. (2006 全国卷 I)设函数 奇函数,则 ?
?

f

? x ? ? co s ?

3x ? ?

? ? 0 ? ? ? ? ? 。若 f ? x ? ?

f

/

?x?



__________。
3

10. (2006

? 3? ? ?? ,? ? ? 重庆卷)已知 ? , ? ? 4

,sin( ?

? ?

,

)=- 5

? ? 12 ? , ?? ? ? ? 4 ? 13 ? sin



? ? ? ?? ? ? 4 ? ? cos

=________.

3.1 两角和与差的正弦、余弦、和正切公式练习题答案
1. C 2. C 3.A 4.A
?

5. C

6. D

7. A

8. A

9. 6

10.

1. 解 :f(x)=

=

=

=4tanx+

.

又 0<x<

,∴tanx>0.

因此 f(x)≥4(当 4tanx=

时)

2 2 2. 解 : f (sin x ) ? 3 ? cos 2 x ? 3 ? (1 ? 2 sin x ) ? 2 sin x ? 2

2 2 2 所以 f ( x ) ? 2 x ? 2 ,因此 f (co s x ) ? 2 co s x ? 2 ? (2 co s x ? 1) ? 3 ? 3 ? co s 2 x 故选 C

3. 解:由 sin2A=2sinAcosA?0,可知 A 这锐角,所以 sinA+cosA?0,又
(sin A ? co s A ) ? 1 ? sin 2 A ?
2

5 3

,故选 A
tan

?
4

? tan ?

4. 解 :由 ,选 A 5. 解 :
co s 2 ?

?π ? tan ? ? ? ? ? 3 ?4 ?



1 ? tan

?
4

? 3 ? tan ? ? ? tan ?

1 2

,所以 co t ? = ? 2

π? ? sin ? ? ? ? 4? ?

?

co s ? ? sin ?
2 2

? ?

2 (sin ? ? co s ? ) ? ?

2 2

,

2 2

(sin ? ? co s ? )

? co s ? ? sin ? ?

1 2

.

6. 解 : 本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA=
cot A ? cos A sin A ? ? 12 5 , 和 sin
2

?

12 5

知 A 为钝角,
12 13

A ? cos

2

A ? 1求得 cos A ? ?

cosA<0 排除 A 和 B, 再由 选D 7. 解 : sin
4

? ? cos

4

?

= sin ?
2

? cos

2

? = 2 sin ? ? 1 =
2

?

3 5

,选 A

8. 解:令

tan x ? t ,

?

?
4

? x?

?
2

?t ?1

,

? y ? tan 2 x tan x ?
3

2 tan x 1 ? tan x
2

4

?

2t

4 2

1? t

?

2 1 t
4

?

1 t
2

? (

2 1 t
2

?

1 2

) ?
2

1 4

?

2 ? 1 4

? ?8

9. 解 :

f '( x ) ? ? 3 sin ( 3 x ? ? )

,则
?
6 ?

f

?x? ?

f

/

?x?

=
?

co s( 3 x ? ? ) ?

3 sin ( 3 x ? ? ) ? 2 sin (

3x ? ?)

为奇函数,∴ φ = 6 .
?
4 12 13 5 13

10. 解 :
? ? ?
4 ?(

?,? ??
3? 4

? 3?

? , ? ? , sin ? ? ? ? ? 4 ?

??
4 5

?

3 5

, sin ( ? ?

)?

? ?? ?(

3? 2

, 2? )





?
2

,

)

co s(? ? ? ) ?

co s( ? ?

?
4

)? ?

,∴
?
4 3 5 12 13 56 65




) ? sin (? ? ? ) sin ( ? ?

co s(? ?

?
4

) ? co s[(? ? ? ) ? ( ? ?

)]

co s(? ? ? ) co s( ? ?

?
4

?
4

)


4 ? (? 5 13

=

) ? (?

)?

? ?

=

5

3.2 简单的三角恒等变换 练习题
? ? ?? ? ? 1 的最小正周期为 ??

1. (江西卷)函数 y ? 4 sin ? 2 x ? A.
? ?

( D. 4 ?



B. ?

C. 2 ?

2.(辽宁卷)函数 y ? sin ? A.
π 2

?1

? x ? 3 ? 的最小正周期是 ?2 ?

( D. 4 π (



B. π

C. 2 π

3.(全国 II)函数 y=sin2xcos2x 的最小正周期是

)

(A)2π (B)4π (C)

π π (D) 4 2 )

4.cos(-15°)的值是( (A) ?
2 4

(B)

2 4

(C)

6 ? 4

2

(D)

6 ? 4

2

5.在△ABC 中,若 0<tanAtanB<1,则△ABC 是( ) (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形
tan 20 tan( ? 50 ) ? 1 tan 20 ? tan 50
? ? ? ?

(D)不确定

6.

的值是______.

7.

sin( ? ? 30 ) ? cos( ? ? 60 )
? ?

2 cos ?

=______.

8.(全国 1 文 2)? 是第四象限角,co s ? ?
5 13 5 13

12 13

,则 sin ? ?

(

)

A.

B. ?

C.

5 12

D. ?

5 12

9.(山东理 5) 函数 y ? sin ( 2 x ?

?
6

) ? co s( 2 x ?

?
3

)

的最小正周期和最大值分别为 ( )

(A) ? ,1 (B) ? , 2 (C) 2 ? ,1 10.(全国 2 理 1)sin2100 = (A)
3 2

(D) 2 ? , 2 ( (C)
1 2

)

(B) -

3 2

(D) -

1 2

简单的三角恒等变换 练习题 答案及解析

1. 解:T= 2. 解: T
?

2? 2
2? 1 2

=?

,故选 B ,选 D
2? 4

? 4?

3. 解 :

y ? sin 2 x co s 2 x ?

1 2

sin 4 x

所以最小正周期为 T

?

?

?
2

,故选 D

4. 解 : cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos30°· cos45°+sin30°· sin45°
? 3 2 1 2 . ? . ? 2 2 2 2 6 ? 4 2

.

5. 解:由 tanAtanB>0,知 A、B 不可能一个钝角,一个锐角, 又 A,B 不可能均为钝角,所以,A,B 均为锐角. 由 tanAtanB<1,得 :
sin A sin B cos A cos B

.

? 1 ,又

cosA>0,cosB>0,

所以 sinAsinB<cosAcosB, 整理得 cosAcosB-sinAsinB>0,cos(A+B)>0, 所以,cos(?-C)>0,即 cosC<0,所以,C 为钝角,△ABC 是钝角三角形.
1 ? tan 20 ? tan 50 tan 50 ? ? tan 20 ?
? ? ?

6.解: 原式 ?

?

1 tan 30
?

?

3



7. 解:

sin( ? ? 30 ) ? cos( ? ? 60 )
?

2 cos ?
? o ? o



cos ? sin 30 ? cos ? sin 60 ? cos ? cos 60 ? sin ? sin 60 2 cos ? cos ? sin 30 ? cos ? cos 60
? o



2 cos ?

?

sin 30 ? cos 60 2

?

?

?

1 2



8. 解 : ? 是第四象限角, co s ? ?

12 13

,则 sin ? ? ? 1 ? co s 2 ? ? ?

5 13

,选 B。

9. 解 :化成 y ? A sin(? x ? ? ) 的形式进行判断即 y ? co s 2 x 。 10. 解.sin2100 = ? sin 3 0 ? ? ?
1 2

,选 D。

第三章:三角恒等变换 练习题
1.已知 sin76°=a,则 cos7°的值为( (A)
1? a 2

) (C)
2 a 2

(B)
?
2

1? a 2

(D)

a 2

2.已知 sin

? cos

?
2

?

3 3

,且 cos??

<0,那么 tan??

等于(

)

(A)

2 2

(B) ?

2 2

(C)

2 5

5

(D)-

2 5

5

3.(全国 2 文 1) co s 3 3 0 ? ? A.
1 2

( C.
3 2



B. ?

1 2

D. ?

3 2

4.(北京文理 1)已知 cos ? ?tan ? ? 0 ,那么角 ? 是 A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 5.(北京文 3)函数 f ( x ) ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是 A.
π 2









B. π
1 ? cos 2 x cos x
π 2 ), [ π , 3π 2 3π 2 3π 2 ), ( 3π 2
3? 4

C. 2 π

D. 4 π

6.函数 f ( x ) ? (A)在 [ 0 , (B)在 [ 0 , (C)在 (
π 2 π 2 π 2 , π ], ( ), (

(

)
3π 2 ), ( 3π 2 3π 2 π 2 ), [ π , ), ( 3π 2 π 2
10 3

, π ] 上递增,在 [ π , )

, 2 π ] 上递减 , 2 π ] 上递减 )

上递增,在 (

π 2

, π ], (

, 2 π ) 上递增,在 [ 0 , ,2 π )

上递减

(D)在 [ π ,

上递增,在 [ 0 ,

π 2

, π ] 上递减

7. (安徽卷)已知 (Ⅰ)求 tan ?

? ? ? ? , tan ? ? co t ? ? ?

的值;

5 sin

2

?
2

? 8 sin

?
2

co s

?
2

? 1 1 co s

2

?
2

?8

? ? ? 2 sin ? ? ? ? 2 ? ? ? 4 8.(安徽卷)已知 0 ? ? ? , sin ? ? 2 5

(Ⅱ)求

的值。

(Ⅰ)求

sin ? ? sin 2 ?
2 2

co s ? ? co s 2 ? 5? (Ⅱ)求 tan (? ? ) 的值。 4

的值;

1?

2 sin ( 2 x ? co s x

?
4

)

9.(北京卷)已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求
f ( x ) 的定义域;



(Ⅱ)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? 10.(北京卷)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f(x)的定义域;
1 ? sin 2 x cos x

? ?

4 3

,求

f (? )

的值.

(Ⅱ)设α 是第四象限的角,且 tan ? = ?

4 3

,求 f( ? )的值.

11.(福建卷)已知函数 f(x)=sin2x+ 3 xcosx+2cos2x,x ? R. (I)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得 到? 本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性 质等基本知识,以及推理和运算能力。满分 12 分。 12.(广东卷)已知函数 (I)求
f (x)

f ( x ) ? sin x ? sin ( x ?

?
2

), x ? R

.

的最小正周期; 的的最大值和最小值;
3 4
sin(

(II)求

f (x)

(III)若

f (? ) ?

,求 sin 2? 的值.
?
2 cos( ? ? ? ) ? 2? ) ? cos ? ? 1, ? ? ( 0 , ? ),

13.(湖南卷)已知

3 sin ? ?

求 θ 的值.

14.(辽宁卷)已知函数 f ( x ) ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 3 cos 2 x , x ? R .求: (I) 函数
f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x

的集合;

(II) 函数

f ( x ) 的单调增区间.

15.(山东卷)已知函数 f(x)=A sin 2 (? x ? ? ) (A>0, ? >0,0< ? <

?
2

函数,且 y=f(x)

的最大值为 2,其图象相邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 ? ; (2)计算 f(1)+f(2)+… +f(2 008). π π )+2sin2(x- ) (x∈R) 6 12

16.(陕西卷)已知函数 f(x)= 3sin(2x- (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期 17.(上海卷)求函数 y =2 cos(
x?

;
?
4

(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合.
?
4 )+

) cos( x ?

3 sin 2 x 的值域和最小正周期.

18.(上海卷)已知 ? 是第一象限的角,且 co s ?

?

5 13

,求

? ? ? sin ? ? ? ? 4 ? ?
c o s ? 2? ? 4 ?

?

的值。

19.(天津卷)已知 tan ?

? co t ? ?

5 2

,? ? ? , ? .求 cos 2? 和 sin ( 2 ?
?4 2?

?π π?

?

π 4

)

的值.

20.(浙江卷)如图,函数 y=2sin(π xφ ),x∈R,(其中 0≤φ ≤ 的图象与 y 轴交于点(0,1). (Ⅰ)求φ 的值;

?
2

)

(Ⅱ)设 P 是图象上的最高点, N 是图象与 x 轴的交点, PM 与 PN 的夹角 . M、 求 21.(上海春)已知函数 (1)若 sin 22.已知 sin ?
x? 4 5

? ? ? f ( x ) ? 2 sin ? x ? ? ? 2 cos x , 6 ? ?

?? ? x? ? ,? ? 2 ? ?

.

,求函数
,? ? (π, 3π 2

f ( x ) 的值; (2)求函数 f ( x ) 的值域.

? ?

2 3

), cos ? ?

1 3

,? ? (

3π 2

,2 π )

(1)求 sin2?? (2)求 cos(??

的值; -?? )的值.

23.已知 a=(sinx,cosx),b=(1,-1). (1)若 ? a , b ?
? π 2

,求 x;

(2)求|a-b|的最大值. 24.已知△ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0). (1)若 AB ? AC ? 0 ,求 c 的值; (2)若 c=5,求 sinA 的值. 25.已知函数 f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在区间 [
π 3π , ] 上的最小值和最大值. 8 4 π 6

26.已知函数

f ( x ) ? sin( x ?

π 6

) ? sin( x ?

) ? cos x ? a

(a∈R,a 是常数).

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 x ? [ ?
π π , ] 时,f(x)的最大值为 2 2

1,求 a 的值.

27.将一块圆心角为 120°,半径为 200cm 的扇形铁片截成一块矩形;如图有两 种截法:让矩形一边在扇形的一条半径 OA 上,或让矩形一边与弦 AB 平行。 请问哪种截法能得到最大面积的矩形,并求出这个最大值。

28.已知 sin ?

?

5 π , ? ? ( , π ) ,求下列各式的值. 5 2

(1)sin2?? (2) tan(
π 4



??).

29.已知 0 ? ?

?

π 2

? ? ? π

,且 cos ?

?

3 5

, sin( ? ? ? ) ?

5 13



(1)求 tan?? (2)求 cos??

; .

1?

2 sin( 2 x ? cos x

π 4

)

30.已知函数 f ( x ) ? (1)求 f(x)的定义域; (2)设??



是第四象限的角,且 tan ?

? ?

4 3

,求 f(??

)的值.

三角恒等变换 练习题 答案
1.解:由已知
1? a 2
1 ? cos 14 sin76°=cos14°= a ,所以 cos 7 ? 2
2 ? ?

?

1? a 2

,所以

cos 7 ?

?

.
? 1 3

2.解:由已知得, 1 ? sin ? 三象限角. 故 tan ? > 0 , tan ? ?
2 5 ?

,即 sin ?

? ?

2 3

,又 cos??

<0,可知??

是第

2 5 5



3.解: co s 3 3 0 ?

? co s 3 0 ? ?

3 2

,选 C。

4. 解: cos ? ?tan ? ? 0 , 当 cosθ <0, ∵ ∴ tanθ >0 时, ∈第三象限; cosθ >0, θ 当 tanθ <0 时,θ ∈第四象限,选 C。
?
4
1 ? cos 2 x ? cos x
, π ] 时, f ( x ) ? 3π 2

5. 解: 函数 f ( x ) ? sin 2 x ? cos 2 x = 2 sin ( 2 x ?
1 ? (1 ? 2 sin cos x
2 tan x , 2 tan x .
2

)

, 它的最小正周期是 π , B。 选

6.解: f ( x ) ? 当 x ? [0, 当 x ? [π,
π 2 3π 2 ), ( π 2 ), (

x)

?

2 | sin x | cos x



, 2 π ] 时, f ( x ) ? ?

据正切函数的图象可得(A)正确. 7. 解:(Ⅰ)由 tan ?
tan ? ? ? 3 或 tan ? ? ? ? co t ? ? ? 1 3 10 3

得 3 tan 2 ?

? 1 0 tan ? ? 3 ? 0

,即

,又

3? 4

?? ??

,所以 ta n ?

? ?

1 3

为所求。

5 sin

2

?
2

? 8 sin

?
2

co s

?
2

? 1 1 co s

2

?
2

?8

(Ⅱ)
1 - co s ? 2

? ? ? 2 sin ? ? ? ? 2 ? ?
1 + co s ? 2 ? 2 co s ? ?8

=

5

? 4 sin ? ? 1 1

=

5 ? 5 co s ? ? 8 sin ? ? 1 1 ? 1 1 co s ? ? 1 6 ? 2 2 co s ?

=

8 sin ? ? 6 co s ? ? 2 2 co s ?

?

8 tan ? ? 6 ?2 2

=?

5 2 6



8. 解:(Ⅰ)由 0 ? ?
sin ? ? 2 sin ? co s ?
2

?

?
2

, sin ? ?

4 5

,得 co s ?

?

3 5

,所以

sin ? ? sin 2 ?
2 2

co s ? ? co s 2 ?



3 co s ? ? 1
2

? 20
?


? 4 3

(Ⅱ)∵ tan ?

sin ? co s ?

,∴ tan (?

?

5? 4

)?

tan ? ? 1 1 ? tan ?

?

1 7



9. 解: (1)依题意,有 cosx?0,解得 x?k?+
?
2
1? 2 sin ( 2 x ? co s x

?
2



即 f ( x ) 的定义域为{x|x?R,且 x?k?+
?
4

,k?Z}

)

(2) f ( x ) ?

=-2sinx+2cosx? f (? ) =-2sin?+2cos?
4 3

由 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ?
14 5

可得 sin?=-

4 5

,cos?=

3 5

? f (? ) =-2sin?+2cos?=

10. 解: :(Ⅰ)由 cosx≠0 得 x≠kπ + 故 f(x)的定义域为{|x|x≠kπ + (Ⅱ)因为 tanα = ? α =
3 5 4 3

?
2

(k∈Z),

?
2

,k∈Z}. 所以 sinα = ?
4 5

,且α 是第四象限的角,

,cos

,

故 f(α )=

1 ? sin 2? cos ?

=

1 ? 2 sin ? co s ? co s ?

? 4? 3 1? 2??? ?? ? 5? 5 = 3 5

=

49 15

.

11. 解: (I) f ( x ) ?

1 ? co s 2 x 2

?

3 2

sin 2 x ? (1 ? co s 2 x )

?

3 2

sin 2 x ?

1 2

co s 2 x ? 3 2 .

3 2

? sin ( 2 x ?
? f ( x ) 的最小正周期 T ?

?
6

)?

2? 2

??.

由题意得 2 k ?

?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ? Z,



k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ? Z.

? ? ? ? ? f ( x ) 的单调增区间为 ? k ? ? , k ? ? ? , k ? Z . 3 6? ?

(II)方法一: 到y
? sin ( 2 x ?

先把 y

? sin 2 x

图象上所有点向左平移

?
12 3 2

个单位长度, 得 个单位长度,就

?
6

) 的图象,再把所得图象上所有的点向上平移

得到 y

? sin ( 2 x ?

?
6

)?

3 2

的图象。 图象上所有的点按向量 a
? ? (?

方 法二:把
y ? sin ( 2 x ?

y ? sin 2 x

?

,

3

)

平移,就得到

12 2

?
6

)?

3 2

的图象。
?
2 2? 1 ) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

12. 解: f ( x ) ? sin x ? sin( x ? :

?
4

)

(Ⅰ) f ( x ) 的最小正周期为 T ?

? 2?

;

(Ⅱ) f ( x ) 的最大值为 2 和最小值 ? 2 ; ( Ⅲ ) 因 为 f (? ) ?
3 4 7 16

, 即 sin ? ? cos ? ?

3 4

? ? ? ① ? 2 sin ? cos ? ? ?

7 16

,即

sin 2 ? ? ?

13. 解: 即

由已知条件得
2

3 sin ? ?

cos 2? ? cos ?

? cos ? ? 1 .

3 sin ? ? 2 sin

? ?0

. .
3 2

解得 sin ?

?

3 2

或 sin ? ? 0

由 0<θ <π 知 sin ? 14. 解:(I) 解法一:
f (x) ?
?

?

,从而 ?

?

?
3

或? ?

2? 3

.

1 ? co s 2 x 2

? sin 2 x ?

3(1 ? co s 2 x ) 2

? 1 ? sin 2 x ? co s 2 x ? 2 ?

2 sin ( 2 x ?

?
4

)

当2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

,即 x

? k? ?

?
8

(k ? Z )

时,

f ( x ) 取得最大值 2 ?

2

.

函数

f ( x ) 的取得最大值的自变量 x

的集合为 { x / x ? R , x

? k? ?

?
8

( k ? Z )} .

解法二:
f ( x ) ? (sin x ? cos x ) ? 2 sin x cos x ? 2 cos x ? 2 sin x cos x ? 1 ? 2 cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2
2 2 2 2

? 2?
?

2 sin ( 2 x ?

?
4

)

当2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

,即 x

? k? ?

?
8

(k ? Z )

时,

f ( x ) 取得最大值 2 ?

2

.

函数

f ( x ) 的取得最大值的自变量 x

的集合为 { x / x ? R , x
2k? ?

? k? ?

?
8

( k ? Z )} .

(II)解: 即 :
[k? ? 3? 8

f (x) ? 2 ?
3? 8

2 sin ( 2 x ?

?
4

)

由题意得:

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

(k ? Z )

k? ?

? x ? k? ?

?
8

(k ? Z )

因 此 函 数

f (x)

的 单 调 增 区 间 为

, k? ?

?
8

]( k ? Z )

.

15. 解: (I) y ? A sin 2 (? x ? ? ) ?

A 2

?

A 2

co s( 2 ? x ? 2 ? ).

? y ? f ( x)

的最大值为 2, A ? 0 .?

A 2

?

A 2

? 2, A ? 2 .

又? 其图象相邻两对称轴间的距离为 2, ? ? 0 ,?
?
2

1 2? ? ( ) ? 2, ? ? . 2 2? 4

? f (x) ?

2 2

?

2 2

co s(

x ? 2 ? ) ? 1 ? co s(

?
2

x ? 2? )

.

? y ? f ( x)

过 (1, 2) 点,? co s(

?
2

? 2? ) ? ? 1 .

?

?
2

? 2? ? 2 k ? ? ? , k ? Z , ? 2? ? 2 k ? ?

?
2

, k ? Z , ? ? ? k? ?

?
4

,k ? Z,

又? 0 ? ? ?

?
2

,?? ?

?
4

.
?
4

(II)解法一:? ? ?

,? y ? 1 ? co s(

?
2

x?

?
2

) ? 1 ? sin

?
2

x.

? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4

.

又? y ? f ( x ) 的周期为 4, 2008 ? 4 ? 502 ,
? f (1) ? f (2) ? ? ? ? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008.

解法二:? f ( x ) ? 2 sin 2 (
?
2

?
4

x ? ? ) ? f (1) ? f (3) ? 2 sin (
2

?
4

? ? ) ? 2 sin (
2

3? 4

? ? ) ? 2,

f ( 2 ) ? f ( 4 ) ? 2 sin (
2

? ? ) ? 2 sin ( ? ? ? ) ? 2, ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 4.
2



y ? f (x)









4



2008 ? 4 ? 502



? f (1) ? f (2) ? ? ? ? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008.

16. 解:(Ⅰ) f(x)= 3sin(2x-

π π )+1-cos2(x- ) 6 12

= 2[

3 π 1 π sin2(x- )- cos2(x- )]+1 2 12 2 12 =2sin[2(x- π π )- ]+1 12 6 π ) +1 3

= 2sin(2x- 2π =π 2

∴T=

(Ⅱ)当 f(x)取最大值时, sin(2x- 5π 12

π )=1,有 3

2x-

π π =2kπ + 3 2 5π , 12 (k∈Z)}.

即 x=kπ +

(k∈Z)

∴所求 x 的集合为{x∈R|x= kπ +

17. 解:: y ? 2 c o s ( x ? ? ) c o s ( x ? ? ) ? 3 s in 2 x
4 4

1 1 ? 2 ( c o s 2 x ? s in 2 x ) ? 3 s in 2 x 2 2 ? c o s 2 x ? 3 s in 2 x ? 2 s in ( 2 x ?

?)
6

∴函数 y ? 2 c o s ( x ? ? ) c o s ( x ? ? ) ? 3 s in 2 x 的值域是 [ ? 2, 2 ] ,最小正周期是 ? ;
4 4

sin( ? ?

?

)

2

18. 解:

4 cos( 2 ? ? 4 ? )
? 12 13

(cos ? ? sin ? ) cos 2 ? ?

= ,

2

(cos ? ? sin ? ) 2 ? 2 2 cos ? ? sin ?

2

2 2

?

1 cos ? ? sin ?

由已知可得 sin ? ∴原式=
2 2 ? 1 5 13 ?

12 13

? ?

13 14

2

.

19. 解:
2 sin ? ? 5 2

解 法 一 : 由
, sin 2 ? ? ?( 4 5 .

tan ? ? co t ? ?

5 2

,



sin ? co s ?

?

co s ? sin ?

?

5 2

,



因为 ?

? ?
, 4 2

), 所以 2 ? ? (

?
2

, ? ),

co s 2 ? ? ? 1 ? sin 2 ? ?
2

3 5

,

sin ( 2 ? ?

?
4

) ? sin 2 ? . co s 5 2

?
4

? co s 2 ? . sin

?
4

?
1

4 5

?

2 2

?

3 5

?

2 2

?

2 10

.

解法二:由 tan ?

? co t ? ? ? 1 2

,



tan ? ?

tan ?

?

5 2

, 1 2 , 得 tan ? ? 2.

解得 tan ? ? 2 或 tan ? 因此, sin ? ?

. 由已知 ? ? (

? ?
, 4 2

), 故舍去 tan ? ?

2 5 5

, co s ? ?

5 5

. 那么

co s 2 ? ? co s ? ? sin ? ? ?
2 2

3 5

,

且 sin 2 ?

? 2 sin ? co s ? ?

4 5

,

故 sin ( 2 ?

?

?
4

) ? sin 2 ? . co s

?
4

? co s 2 ? . sin

?
4

?

4 5

?

2 2

?

3 5

?

2 2

?

2 10

.

20. 解: I) ( 因为函数图像过点 (0,1) , 所以 2 sin ? ? 1, 即 sin ? ?
?
6

1 2

.

因为 0 ? ? ?

?
2



所以 ? ?

.
?
6

(II)由函数 y ? 2 sin (? x ?

)

及其图像,得 M ( ? , 0 ), P ( , ? 2 ), N ( , 0 ),
6 3 6

1

1

5

???? ???? ? ???? ???? ? ???? ? ???? 15 PM ? PN 1 1 ? ???? ? 所以 P M ? ( ? , 2 ), P N ? ( , ? 2 ), 从而 c o s ? P M , P N ? ? ???? 17 2 2 | PM | ? | PN |



故 ? P M , P N ? ? arcco s

???? ???? ?

15 17
4 5

.
?? ? x? ? ,? ?, ?2 ?

21. 解: (1)?

sin x ?

,

?

cos x ? ?

3 5



? 3 ? 1 f ( x ) ? 2? sin x ? cos x ? ? 2 cos x ? 2 ? 2 ? ?

?

3 sin x ? cos x

?

4 5

3 ?

3 5

. ,
?
6 5? 6

(2)
?
2

? ? ? f ( x ) ? 2 sin ? x ? ? 6 ? ?

?

? x??



?

?
3

? x?

?



1

? ? ? ? sin ? x ? ??1, 2 6 ? ?

?

函数

f ( x)

的值域为 [ 1,

2].

22. 解:(1)由 sin ?

? ?

2 3

, ? ? ( π,

3π 2

) ,得 cos ? ? ?

5 3



所以 sin 2?

? 2 sin ? cos ? ? 2 ? ( ?

2 3

) ? (?

5 4 5 ) ? 3 9



(2)由 cos ? 所以

?

1 3

,? ? (

3π 2

,2 π ) ,得 sin ? ? ?

2 2 3



cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

5 1 2 2 2 4 2 ? ? ? (? ) ? (? )? 3 3 9 3 3

5

. .

23. 解: (1)因为 a, 〉 , 〈 b 所以 a· =0, sinx-cosx=0, x b 即 ∴
2

π

? kπ ?

π 4

,k ? Z

(2)因为 | a ? b | 2 ? 3 ? 2 (cos

x ? sin x ) ? 3 ? 2 2 cos( x ?

π 4

)



所以|a-b|2 的最大值是 3 ? 2 2 ,|a-b|的最大值是 1 ? 2 . 24. 解:(1) AB ? ( ? 3 , ? 4 ), AC ? ( c ? 3 , ? 4 ) , 由 AB ? AC ? ? 3 ( c ? 3 ) ? 16 ? 25 ? 3 c ? 0 得 c
? 25 3


AB ? AC | AB || AC | ? ? 6 ? 16 5 20 ? 1 5

(2)AB=(-3,-4), AC ? ( 2 , ? 4 ) , cos ? A ? 所以 sin
2 5 5 π 4



?A ?

1 ? cos ? A ?
2

.

25. 解:(1)解:f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1
? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? )


π 4 π 3π , ] 8 8

因此,函数 f(x)的最小正周期为?. (2)解法一:因为
[ f (x) ? 2 sin( 2 x ? )

在区间 [
2

上为增函数,在区间

3π 3π π 3π , ] 上为减函数,又 f ( ) ? 0 , f ( )? 8 4 8 8 3π 4 )? 2 sin( 3π 2 ? π 4 )? ? 2 cos π 4 ? ?1 ,



f(

故函数 f(x)在区间 [

π 3π , ] 上的最大值为 8 4

2

,最小值为-1.

解法二: 作函数

f (x) ?

2 sin( 2 x ?

π 4

) 在长度为一个周期的区间 [

π 9π , ] 上的图 8 8 3π 4

象如上图所示: 由图象得函数 f(x)在区间 [ 26. 解:(1)
f ( x ) ? sin( x ? ? π 6 π 3π , ] 上的最大值为 8 4 π 6 π 6 )?a ) ? cos x ? a

2

,最小值为

f(

) ? ?1 .

) ? sin( x ?

3 sin x ? cos x ? a ? 2 sin( x ?

∴f(x)的最小正周期为 2?. (2)?
x ? [? π π π π 2 , ], ∴ x ? ? [ ? , π ] 2 2 6 3 3

∴f(x)的最大值为 2+a,∴2+a=1,∴a=-1. 27. 解: :在方案一中,令∠AOM=?? ,则 0<?? <90°, 在 Rt△OMP 中,MP=200sin?? ,OP=200cos?? , 所以,SOPMN=20000sin2?? , 当 2?? =90°,即?? =45°时,SOPMN 取得最大值 20000cm2. 在方案二中,令∠AOM=?? , 则 0<?? <60°, 在 Rt△OMS 中,MS=200sin?? ,OS=200cos?? , 在 Rt△MQS 中,∠MQS=60°,
MQ ? MS ? 2 3 ? 400 3 sin ? , QS ? 1 2 MQ ? 200 3 sin ?

在 Rt△OCQ 中,
CQ ? 3 OQ ? 2 3 ( OS ? QS ) 2

?

3 200 ? ( 200 cos ? ? sin ? ) ? 100 2 3

3 cos ? ? 100 sin ?



所以, S MNPQ ? 2 CQ ? MQ ? 200 ( 3 cos ? ? sin ? ) ?
? 80000 3 ( 3 cos ? ? sin ? ) sin ? ?

400 3

sin ?

80000 3

( 3 sin ? cos ? ? sin ? )
2

?

80000 3
80000 3

(

3 1 ? cos 2? 80000 3 1 1 sin 2? ? ) ? ( sin 2? ? cos 2? ? ) 2 2 2 2 2 3
1 2

?

[sin( 2? ? 30 ) ?
?

],
40000 3 3

当 2??

+30°=90°,即??

=30°时,SMNPQ 取得最大值

cm

2



比较两种方案的最大值可知,第二种截法能得到最大面积,最大面积为
40000 3 3 cm
2



28. 解:答:(1) sin 2? 29. 解: :(1)由 0 ? ? (2)由 0 ? ?
? ?

? ? π 2

4 5

;(2) tan(
3 5

π 4

??) ?

1 3 ?


4 5 , tan ? ? 3π 2 4 3 , cos( ? ? ? ) ? ? 12 13 ,

, cos ? ?

,所以 sin ?
π 2 16 65



π π , ? ? ? π 2 2

,所以,

?? ?? ?

所以, cos ?

? cos[( ? ? ? ) ? ? ] ? ?


π 2 (k ? Z )

30. 解 : (1) 由 cosx ≠ 0 得
{ x | x ? kπ ? ? π 2 ? ? 4 3 , k ? Z} .

x ? kπ ? ?

, 故 f(x) 的 定 义 域 为

(2)因为 tan ?
1?

,且??
π 4

是第四象限的角,所以 sin ?
1? 2 ( ? 2 sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ) 2 2 cos

? ?

4 5

, cos ? ?

3 5

2 sin( 2 ? ? cos ?

)

故 f (? ) ?

?

1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? cos ?

?

2 cos ? ? 2 sin ? cos ?
2

cos ?

? 2 (cos ? ? sin ? ) ?

14 5

?


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