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2013年高考数学(江苏卷)解析版Word版含答案(王琪)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (江苏卷) 数学Ⅰ 注意事项
绝密★启用前
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题).本卷满分为 160 分.考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置作答一律无效. 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. ........ 1.函数 y ? 3 sin( 2 x ? 解析: T =

?
4

) 的最小正周期为



.

2? =? 2
2

2.设 z ? (2 ? i) (i 为虚数单位),则复数 z 的模为 解析: Z ? 3 ? 4i, Z ? 32 ? ? ?4 ? =5
2



.

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为 3.双曲线 16 9
解析: y= ?



.

3 x 4
▲ 个子集. 开始
n ? 1,a ? 2

4.集合 ?? 1,0,1?共有 解析: 2 ? 8 (个)
3

5.右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是


a ? 20

n ? n ?1
Y
a ? 3a ? 2

解析:经过了两次循环,n 值变为 3

N 输出 n 结束
第1页

(第 5 题)

6.抽样统计甲,乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 ▲ . 第5次 93 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 解析:易知均值都是 90,乙方差较小,

s2 ?

1 n ? xi ? x n i ?1

?

?

2

?

1 2 2 2 2 2 ?89 ? 90? ? ?90 ? 90? ? ? 91 ? 90? ? ?88 ? 90? ? ?92 ? 90? ? 2 5

?

?

7.现有某类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m, n(m ? 7, n ? 9) 可以任意选取,则 m, n 都取到奇数的概 率为 ▲ .

解析: m 可以取的值有: 1, 2,3, 4,5, 6, 7 共 7 个

n 可以取的值有: 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 共 9 个
所以总共有 7 ? 9 ? 63 种可能 符合题意的 m 可以取 1,3,5, 7 共 4 个 符合题意的 n 可以取 1,3,5, 7,9 共 5 个 所以总共有 4 ? 5 ? 20 种可能符合题意 所以符合题意的概率为

20 63

8.如图,在三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, D, E , F 分别是 AB, AC, AA 的中点,设三棱锥 F ? ADE 的 1 体积为 V1 ,三棱柱 A1B1C1 ? ABC 的体积为 V 2 ,则 V1 :V2 ? 解析: ▲ .

C1 B1

1 1 1 1 1 V1 ? S ADE h1 ? ? S ABC ? h2 ? V2 3 3 4 2 24 1 所以 V1 : V2 ? 24

A1
F E A D

C
B

9.抛物线 y ? x 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部和边界).若点
2

P ( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是
解析:易知切线方程为: y ? 2 x ? 1



.

第2页

所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为 A? 0,0? B ? 0.5,0? C ? 0, ?1? 易知过 C 点时有最小值 ?2 ,过 B 点时有最大值 0.5 10.设 D, E 分 别 是 ?ABC 的 边 AB, BC 上 的 点 , AD ?

1 2 AB , BE ? BC , 若 2 3

DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1 , ?2 为实数),则 ?1 ? ?2 的值为
解析: 易知 DE ?



.

? ? ? ? ? 1 ??? 2 ??? 1 ??? 2 ???? ??? 1 ??? 2 ???? AB ? BC ? AB ? AC ? AB ? ? AB ? AC 2 3 2 3 6 3

?

?

所以 ?1 ? ?2 ?

1 2

11.已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区 间表示为 ▲ .

解析:因为 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数,所以易知 x ? 0 时, f ( x) ? ? x2 ? 4 x 解不等式得到 f ( x) ? x 的解集用区间表示为 ? ?5,0? ? ? 5, ???

12.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 F ,右准线 a 2 b2

为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d 1 , F 到 l 的距离为 d 2 .若 d 2 ? 6d1 ,则 椭圆的离心率为 解析:由题意知 d1 ? ▲ .

bc a2 b2 , d2 ? ?c ? a c c
两边平方得到 a b ? 6c ,即 a ? a c ? 6c
2 2 4 4 2 2 4

b2 bc ? 6 所以有 c a

4 2 4 两边同除以 a 得到 1 ? e ? 6e ,解得 e ?

2

1 3 ,即 e ? 3 3
1 ( x ? 0) 图像上一动点,若点 P, A 之间 x
.

13.平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a ) , P 是函数 y ? 最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为 解析: 由题意设 P ? x0 , ▲

? ?

1? ? , ? x0 ? 0 ? x0 ?

则有

第3页

?1 ? ? ? ? 1 1? 1? 1? PA ? ? x0 ? a ? ? ? ? a ? ? x0 2 ? 2 ? 2a ? x0 + ? +2a 2 = ? x0 + ? -2a ? x0 + ? ? 2a 2 ? 2 x0 x0 ? x0 ? x0 ? ? x0 ? ? ? ?
2 2

2

2

令 x0 ?

1 ? t ? t ? 2? x0

则 PA2 =f (t)=t 2 ? 2at ? 2a2 ? 2 ?t ? 2? ,对称轴 t ? a 1. a ? 2 时,

PA2 min ? f (2) ? 2a 2 ? 4a ? 2
a ? ?1 , a ? 3 (舍去)

? 2a 2 ? 4a ? 2 ? 8

2. a ? 2 时,

PA2 min ? f (a) ? a 2 ? 2

? a2 ? 2 ? 8
a ? 10 , a ? ? 10 (舍去)

综上 a ? ?1 或 a ? 10 14.在正项等比数列 ?a n ?中, a5 ? 正整数 n 的值为 解析: ▲ .

1 , a6 ? a7 ? 3 .则满足 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? a1a2 a3 ...an 的最大 2

1 a5 ? , a6 ? a7 ? 3 2 ? a5 q ? a5 q 2 ? 3 q2 ? q ? 6 ? 0 ?q ? 0 ?q ? 2 an ? 2n ?6 ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? a1a2 a3 ...an ?2 ?2
n ?5 n 2 ?11n 2

?2 ? 2 ?2
n 2 ?11n 2

?5

n ?5

? 2?5 ? 0

n 2 ? 11n ?n ? 5 ? 2 13 ? 129 13 ? 129 ? ?n? 2 2

? n? N?
? ?1 ?n ?1 2 n ?N ,

第4页

又 n ? 12 时符合题意,所以 n 的最大值为 12

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 14 分) 已知 a ? ? cos?,sin? ? , b ? ? cos?,sin? ? , 0 ? (1) 若 a ? b ?

?

?

? ?? ?? .

?

?

2 ,求证: a ? b ;

?

?

(2) 设 c ? ? 0,1? ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值. 解:(1) a ? ? cos ? ,sin ? ? , b ? ? cos ? ,sin ? ? ,0 ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

? ? ? a ?b ? 2

? ?2 ? a ?b ? 2

?2 ?2 ?? ? a ? b ? 2ab ? 2

? ? 1 ? 1? 2 ? b ? 2 a
? ? a ?b ? 0 ? ? ?a ? b

? ? ? ? ? c ? ? 0 , 1 a? b c ? , ? ? ? c o s ? c o? ? s , sin ??

(2)

?? n ?s i ?

?

0,1

? c o s ? c o s? ①0 ? ? ? s i n ? s i?n? ②1 ?
①2 +②2 得: 2+2cos ?? ? ? ? ? 1
cos ?? ? ? ? ? ? 1 2

?0 ? ? ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2? 3

cos ? ? cos ? ? 0
又?? ? ? ? ?

?? ?

5? ? ,? ? 6 6
第5页

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB . 过 A 作 AF ? SB , 垂足为 F ,点 E , G 分别是侧棱 SA , SC 的中点. 求证:(1) 平面 EFG / / 平面 ABC ; (2) BC ? SA . 解:(1)? E , G 分别是侧棱 SA, SC 的中点

? EG∥AC
? AC 在平面 ABC 中, EG 在平面外 ? EG∥平面 ABC

? AS ? AB, AF⊥SB

? F 为 SB 中点
? EF∥ AB

? AB 在平面 ABC 中, EF 在平面外

? EF∥平面 ABC
? EF 与 EG 相交于 E
EF , EG 在平面 EFG 中

? 平面 EFG / / 平面 ABC

(2) ? 平面 SAB⊥ 平面 SBC

SB 为交线

? AF 在 SAB 中, AF⊥SB

? AF⊥ 平面 SBC
? AF⊥BC ? BC⊥AB

AF 与 AB 相交于 A
AF , AB 在平面 SAB 中
? BC⊥平面 SAB

? BC⊥SA

第6页

17. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A ? 0,3? ,直线 l:y ? 2 x ? 4 .设圆的半径为 1,圆心在 l 上. (1) 若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2) 若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

解: (1)

y ? 2 x ? 4① y ? x ? 1②
①与②联立得到圆心坐标 C ? 3, 2 ?

? 圆方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

切线斜率不存在时,不合题意

? 设切线方程为 y ? kx ? 3

?

3k ? 2 ? 3 1? k 2

?1
3 4

解得 k ? 0 或 k ? ?

3 ? 切线方程为 y ? 3 或 y ? ? x ? 3 4
(2)设 C ? a,2a ? 4 ? ,则圆方程为 ? x ? a ? ? ? y ? 2a ? 4 ? ? 1
2 2

设 M ( x0 , y0 ) 由题意 ? x0 ? a ? ? ? y0 ? 2a ? 4 ? ? 1
2 2

? M A? 2 M O

? x0 2 ?? y0 ? ? 3

2

? x02 ? y02 4 4

2 即 x0 ? ? y0 ? 1? ? 4 2

? M 存在,? 圆 ? x ? a ? ? ? y ? 2a ? 4 ? ? 1 与圆 x 2 ? ? y ? 1? ? 4 有交点
2 2 2

即两圆相交或相切

? ? 2 ? 1? ? d 2 ? ? 2 ? 1?
2

2

第7页

即 1 ? ? a ? 0 ? ? ? 2a ? 4 ? (?1) ? ? 9
2 2

?0 ? a ?

12 5

18. (本小题满分 16 分) 如图,游客从某旅游景区的景点处下山至 C 处有两种路径. 一种是从沿 A 直线步行到 C ,另一种是 先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C . 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m/min. 在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1min 后,再从 B 匀速步行到 C . 假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min,山路 AC 长为 1260m,经测量, cos A ? (1) 求索道 AB 的长; (2) 问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3) 为使两位游客在 C 处相互等待的时间不超过 3 分钟, 乙 步行的速度应控制在什么范围内?

12 3 , cos C ? . 13 5

解:(1)

12 3 , cos C ? 13 5 ?0 ? A ? ? ,0 ? B ? ? ,0 ? C ? ? ? cos A ? ? sin A ? 5 4 ,sin C ? 13 5

? A ? B +C =?

? s i n = s ?i n C+ B A ?
?

= sin C os A c

5 3 12 4 + c o C ? i n =? A s s 13 5 13 5

63 + 65

=

AC AB BC = = sin B sin C sin A sin C 4 65 ? A B= ? AC ? = ? 2 6 0 =1 0 4 0 m 1 sin B 5 63
(2)

B C=

s i nA ? AC 500 = sin B

设乙出发 t ?t ? 8? 分钟后,甲到了 D 处,乙到了 E 处 则有 AD =50t+100
2

AE ? 130t
2 2

根据余弦定理 DE ? AE ? AD ? 2 AE ? AD ? cos A 即 DE ? 7400t ? 14000t ? 10000
2 2

第8页

?当 t ?
DE ?

14000 35 2 ? 时, DE 有最小值 2 ? 7400 37

250 74 37

(3)设甲所用时间为 t甲 ,乙所用时间为 t乙 ,乙步行速度为 V乙 由题意 t甲 =

1260 126 = min 50 5

t乙 =2+

1040 500 500 +1+ =11+ min 130 V乙 V乙

??3 ?
解不等式得

126 ? 500 ? ? ?11 ? ??3 5 ? V乙 ?

1250 625 ? V乙 ? 43 14

19. (本小题满分 16 分) 设 ?an ? 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 ? d ? 0? , Sn 是其前 n 项和. 记 bn ? 其中 c 为实数. (1) 若 c ? 0 ,且 b1 , b2 , b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ? k,n ? N * ? ; (2) 若 ?bn ? 是等差数列,证明: c ? 0 . 解: (1) an ? a ? ? n ?1? d ? d ? 0?

nSn ,n ? N* , n2 ? c

n2 ? n S n ? na ? d 2
c ? 0 时, bn ?

Sn n

S1 ?a 1 S d b2 ? 2 ? a ? 2 2 S 3d b4 ? 4 ? a ? 4 2 b1 ?
成等比 ?b1 , b 2, b 4

?b1 b4 ? b2 2
第9页

3d ? ? d? ? ?a ?? a ? ? ? ? a ? ? 2 ? ? 2? ? 2 ? d ? 2ad ?d ? 0 ? d ? 2a ? Sn ? n 2 a Snk ? n 2 k 2 a n2 Sk ? n 2 k 2 a ? Snk ? n 2 Sk
(2)由已知 bn ?

2

nSn 2n 2 a ? n 3 d ? n 2 d ? n2 ? c 2n 2 ? 2c

?bn 是等差数列

? 设 bn ? kn ? b (k,b 为常数) ? 有 ? 2k ? d ? n3 ? ? 2b ? d ? 2a ? n2 ? 2ckn ? 2bc ? 0 对任意 n ? N ? 恒成立
?2k ? d ? 0 ?2b ? d ? 2a ? 0 ? ?? ?2ck ? 0 ?2bc ? 0 ?
?d ? 0

?k ? 0 ?c ? 0

此时

d 2 2a ? d b? 2 k?

命题得证

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? ax , g ? x ? ? e x ? ax ,其中 a 为实数. (1) 若 f ? x ? 在 ?1,?? ? 上是单调减函数,且 g ? x ? 在 ?1,?? ? 上有最小值,求 a 的范围; (2) 若 g ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上是单调增函数,试求 f ? x ? 的零点个数,并证明你的结论. 解: (1)
第 10 页

f ( x)' ? x?1 ? a g ( x)' ? e x ? a
由题意: f ( x)' ? 0 对 x ? ?1, ?? ? 恒成立 即 a ? x 对 x ? ?1, ?? ? 恒成立
?1

?a ?1

? g ? x ? 在 ?1,?? ? 上有最小值
a ? 0 时, g ( x)' ? 0 恒成立, g ( x) 在 ?1, ?? ? 无最值 a ? 0 时,由题意 ln a ? 1

a?e
综上: a 的范围是: a ? e (2)? g ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上是单调增函数

? g ( x)' ? 0 对 x ? ? ?1, ??? 恒成立
即 a ? e 对 x ? ? ?1, ??? 恒成立
x

? a ? e?1
令 f ( x) ? 0 ,则 a ?

ln x x ln x 图像交点的个数 x

则有 f ( x ) 的零点个数即为 y ? a 与 y ?

ln x ? x ? 0? x 1 ? ln x ' 则 h( x ) ? x2
令 h( x ) ? 易知 h( x) 在 ? 0, e ? 上单调递增,在 ? e, ?? ? 上单调递减 在 x ? e 时取到最大值 h(e) ?

1 ?0 e

ln x ? ?? x ln x ?0 当 x ??? 时, h( x ) ? x
当 x ? 0 时, h( x ) ?

? h( x) 图像如下

第 11 页

所以由图可知: a ? 0 时, f ( x ) 有 1 个零点

0?a?

1 时, f ( x ) 有 2 个零点 e

1 a ? 时, f ( x) 有 1 个零点 e 1 综上所述: a ? 0 或 a ? 时, f ( x ) 有 1 个零点 e 1 0 ? a ? 时, f ( x) 有 2 个零点 e

第 12 页


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