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2013高考试题分类汇编(文科):圆锥曲线文


2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 9:圆锥曲线 A. 一、选择题 1 .已知 0 ? ? ?

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 4 2


D.

x2 y2 ? ?1 4 3

π x2 y2 y2 x2 ,则双曲线 C1 : 2 ? ? 1 与 C2 : ? 2 ? 1 的( 2 2 4 sin ? cos ? cos ? sin ?
B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等



8 .抛物线 y 2 ? 8x 的焦点到直线 x ? 3 y ? 0 的距离是( A. 2 3 B. 2 C. 3

A.实轴长相等

D.1

x2 y 2 2 . 从椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F , A 是椭圆与 x 轴 1 a b
正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB / / OP ( O 是坐标原点),则该椭圆的 离心率是( A. ) B.
2=

9

. 设 椭 圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , P 是 C 上 的 点 a 2 b2


PF2 ? F1F2 , ?PF1F2 ? 30? ,则 C 的离心率为(
1 2
C.

2 4

2 2

D.

3 2

A.

B.

C.

D.

3 .设抛物线 C:y 4x 的焦点为 F,直线 L 过 F 且与 C 交于 A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则 L 的方程 为( ) A.y=x-1 或 y=-x+1 B.y= (X-1)或 y=(x-1)

10.已知 F ? ?1,0? , F2 ?1,0? 是椭圆C的两个焦点, 过F2且垂直于x轴的直线交于 1

A、B两点, AB ? 3, C 的方程为( 且 则



A. C.y= (x-1)或 y=(x-1) D.y= (x-1)或 y=- (x-1)

x2 ? y2 ? 1 2

B.

x2 y 2 ? ?1 3 2

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4

4 . O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y ? 4 2 x 的焦点, P 为 C 上一点,若 | PF |? 4 2 ,则
2

11. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F F , C与过原点的直线相交于 A, B 两点, a 2 b2
4 ,则 C 的离心率为( 5 6 D. 7
0

?POF 的面积为(
A. 2

) B. 2 2 C. 2 3 D. 4

连接了 AF , BF ,若 AB ? 10, B F ? 8, cos ? ABF ? A.



5 .已知双曲线 C : A. y ? ?
2

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( 2 a b 2
B. y ? ?

3 5

B.

5 7

C.

4 5



12.设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相较于点 O 、所成的角为 60 的直线 A1B1 和

1 x 4
2

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2


D. y ? ? x

A2 B2 ,使 A1B1 ? A2 B2 ,其中 A1 、 B1 和 A2 、 B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该
双曲线的离心率的取值范围是( A. ( ) C. (

6 .双曲线 x ? y ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于(

A.

1 2

B.

2 2

C.1

D. 2 )

2 3 , 2] 3
2

B. [

2 3 , 2) 3

2 3 , ??) 3

D. [

2 3 , ??) 3

1 7 .已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于 ,则 C 的方程是( 2

13.已知抛物线 C : y ? 8x 与点 M ? ?2,2? ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点,

若 MAgMB ? 0 ,则 k ? (

uuu uuu r r



A.

1 2
2

B.

2 2

C. 2

D. 2

14.双曲线 x ? A. m ?

y2 ? 1 的离心率大于 2 的充分必要条件是( m
B. m ? 1 C. m ? 1

) D. m ? 2 A. 2

(第 9 题图) 3 C. 2 6 2

1 2

B. 3

D.

15.(2013 年上海高考数学试题(文科))记椭圆

x2 ny 2 ? ? 1 围成的区域(含边界)为 4 4n ? 1

二、填空题 20.设 F1,F2 是双曲线 C,

?n ? n ? 1,2,?? ,当点 ? x, y ? 分别在 ?1 , ?2 ,? 上时, x ? y 的最大值分别是 M1 , M 2 ,L ,则
lim M n ? (
n ??

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点.若在 C 上存在一点 P.使 a 2 b2

) B.

A.0

1 4
2 2

C.2

D. 2 2 )

PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为________. x2 y 2 21.双曲线 ? ? 1 的离心率为________. 16 9 22.已知 F 为双曲线 C :

16.直线 x ? 2 y ? 5 ? 5 ? 0 被圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为( A.1 B.2
2

x2 y 2 ? ? 1的左焦点, P, Q 为 C 上的点 ,若 PQ 的长等于虚轴长的 2 9 16

C. 4

D. 4 6

倍,点 A?5,0? 在线段 PQ 上,则 ?PQF 的周长为____________. 23.设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ? 点之间的距离为_______.
2 24.若抛物线 y ? 2 px 的焦点坐标为(1,0)则 p =____;准线方程为_____.

17. 已知点 A(2,0),抛物线 C:x =4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于 点 N,则|FM|:|MN|=( ) A.2: 18.抛物线 C1 : y ? B.1:2 C.1: D.1:3

π .若 AB ? 4 , BC ? 2 ,则 ? 的两个焦 4

1 2 x2 x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 于第 2p 3


25.椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c .若直线y?3(x?c)与 a2 b2

一象限的点 M,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线,则 p =(

椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于__________ 26.已知抛物线 y 2 ? 8 x 的准线过双曲线 为 2, 则该双曲线的方程为______.
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点, 且双曲线的离心率 a 2 b2

A.

3 16

B.
2

3 8

C.

2 3 3

D.

4 3 3

x 2 19.如图 F1.F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点 A.B 分别是 C1.C2 在第二.四象限的公 4 共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )

三、解答题 27.已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点 F(0,1) (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A.B 两点.若直线 AO.BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M.N 两点, 求|MN|的最小值.

28. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率为

2 2
(I)求椭圆 C 的方程 (II)A,B 为椭圆 C 上满足 ?AOB 的面积为 椭圆 C 与点 P,设 OP ? tOE ,求实数 t 的值.

6 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线 OE 交 4

??? ?

??? ?

29.已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

3 2 . 2

30.如图,已知双曲线 C1 :

x2 ? y 2 ? 1,曲线 C2 : | y |?| x | ?1 . P 是平面内一点,若存在过点 2

P 的直线与 C1 、 C2 都有公共点,则称 P 为 “ C1 ? C2 型点”.
(1)在正确证明 C1 的左焦点是“ C1 ? C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一 条这样的直线的方程(不要求验证); (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“ C1 ? C2 型点; (3)求证:圆 x ? y ?
2 2

1 内的点都不是“ C1 ? C2 型点” 2

31.直线 y ? kx ? m ( m ? 0 ) W :

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A , C 两点, O 是坐标原点 4

(1)当点 B 的坐标为 (0,1) ,且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长. (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明四边形 OABC 不可能为菱形.

32.已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离 是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. 21 世纪教育网 (Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率.

x2 y 2 33.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左、右焦点分别为F1,F2, 离心率为 3, 直线 a b

34. 设椭圆

x2 y 2 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 2 a b 3
4 3 . 3

圆截得的线段长为

y ? 2与C的两个交点间的距离为 6.
(I)求 a, b; ; (II) 设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且 明: AF2 、 、 2 成等比数列 AB BF

AF1 ? BF1 , 证

(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 uuu uuu uuu uur r r r AC· ? AD· ? 8 , 求 k 的值. DB CB

35.如图,抛物线 C1 : x2 ? 4 y, C2 : x2 ? ?2 py ? p ? 0? ,点 M ? x0 , y0 ? 在抛物线 C2 上,过 M 作

36.在平面直角坐标系 xOy 中,己知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 段长为 2 .

,在 Y 轴上截得线

C1 的切线,切点为 A, B ( M 为原点 O 时, A, B 重合于 O ) x0 ? 1 ? 2 ,切线 MA. 的斜率为
1 - . 2
(I)求 p 的值; (II)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程. A, B重合于O时,中点为O .

(Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y=x 的距离为 ,求圆 P 的方程.

?

?

37.如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别 为 2m , 2n (m ? n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为 A,B,C,D.记 ? ? 38.如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 线交椭圆于 A 、 A? 两点, AA? ? 4 . (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂 2

m ,△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n

(Ⅰ)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (Ⅱ)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

(Ⅱ)取平行于 y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、 P? ,过 P 、 P? 作圆心为 Q 的圆, 使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.求 ?PP?Q 的面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q 的标准方

y A B

程.[来源:21 世纪教育网]

M

O

N x

C
D
第 22 题图

39.已知 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点 F1 , F2 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 的对称 5

40.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,且过点 P( 2,3) . a 2 b2

点是圆 C 的一条直径的两个端点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a , b .当 ab 最大时,求直线 l 的方程.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设 Q ( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 为 椭 圆 C 上 一 点 , 过 点 Q 作 x 轴 的 垂 线 , 垂 足 为 E . 取 点

A(0, 2 2) ,连接 AE ,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,
作直线 QG ,问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由

41.椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率

,a+b=3

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 如图,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 DP 交 x 轴于点 N 直 线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m,证明 2m-k 为定值.


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